第24章

圓第2課時(shí)

正多邊形的性質(zhì)24.6正多邊形與圓1課堂講解正多邊形的性質(zhì)正多邊形的有關(guān)計(jì)算2課時(shí)流程逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升觀察下列圖形，你能說出這些圖形的特征嗎？1知識(shí)點(diǎn)正多邊形的性質(zhì)1．任何正多邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓，并且

這兩個(gè)圓是同心圓．2．正多邊形的各邊相等，且邊數(shù)為：；3．正n邊形的各角相等，且每個(gè)內(nèi)角為：；

每個(gè)外角為：.知1－講知1－講要點(diǎn)精析：(1)當(dāng)邊數(shù)為偶數(shù)時(shí)，正多邊形具有：軸對(duì)稱性、中心

對(duì)稱性、旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性．(2)當(dāng)邊數(shù)為奇數(shù)時(shí)，正多邊形具有：軸對(duì)稱性、旋轉(zhuǎn)

對(duì)稱性．其中：對(duì)稱軸條數(shù)與邊數(shù)相等．求邊長(zhǎng)為a的正六邊形的周長(zhǎng)和面積.如圖，過正六邊形的中心O作OG⊥BC，垂足是G，連接OB，OC，設(shè)該正六邊形的周長(zhǎng)和面積分別為C

和S.∵多邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠BOC=60°，△BOC是等邊三角形.∴C=6BC=6a.在△BOC中，有OG=∴知1－講解：例1例2如圖是兩個(gè)相同的正六邊形，其中一個(gè)正六邊形的頂點(diǎn)在另一個(gè)正六邊形外接圓圓心O處．求重疊部分面積與陰影部分面積之比．

要求兩個(gè)正六邊形重疊部分

面積與陰影部分面積之比，

只要找到重疊部分面積、陰

影部分面積與正六邊形ABCDEF面積之間的關(guān)系

即可解決問題.知1－講導(dǎo)引：如圖，連接OA，OB，OC，設(shè)OA′交AB于點(diǎn)K，OE′交CD于點(diǎn)M.∵∠AOK＝∠AOC－∠KOC＝120°－∠KOC，∠MOC＝∠A′OE′－∠KOC＝120°－∠KOC，∴∠AOK＝∠MOC.

易知∠KAO＝∠MCO＝60°，OA＝OC，∴△AOK≌△COM.知1－講解：∴S五邊形OKBCM＝S四邊形ABCO＝2S△OBC，∴S陰影＝S正六邊形ABCDEF－S五邊形OKBCM

＝6S△OBC－2S△OBC＝4S△OBC.∴S五邊形OKBCM∶S陰影＝

，

即重疊部分面積與陰影部分面積之比為.知1－講總

結(jié)知1－講利用正六邊形的有關(guān)性質(zhì)，構(gòu)造全等三角形，將不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則的同一個(gè)三角形的面積，體現(xiàn)了一種數(shù)學(xué)思想——轉(zhuǎn)化思想，這也是解決正多邊形有關(guān)問題常用到的數(shù)學(xué)思想．1一個(gè)不等邊三角形是否一定有一個(gè)外接圓和內(nèi)切圓？如果有，它們是不是同心圓？2下列正多邊形中，中心角等于內(nèi)角的是(

)A．正六邊形B．正五邊形C．正方形D．正三角形知1－練3在正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形中，中心對(duì)稱圖形有(

)A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．4個(gè)4下列正多邊形中，對(duì)稱軸條數(shù)是6條的是(

)A．正三角形B．正方形C．正六邊形D．正五邊形知1－練5若一個(gè)四邊形既有外接圓，又有內(nèi)切圓，且這兩個(gè)圓是同心圓，則這個(gè)四邊形一定是(

)A．平行四邊形B．矩形C．菱形D．正方形知1－練2知識(shí)點(diǎn)正多邊形的有關(guān)計(jì)算知2－講正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n個(gè)全等的直角三角形．知2－講例3一個(gè)上、下底面為全等正六邊形的禮盒，高為10cm，上、下底面正六邊形的邊長(zhǎng)為12cm，如果用彩色膠帶按如圖所示方式包扎禮盒，所需膠帶長(zhǎng)度至少為________________．知2－講膠帶包括上、下面各3段，側(cè)面6段．上、下面中的每段膠帶長(zhǎng)等于圖中的OC的2倍．利用中心角可求得∠COB＝30°，由正六邊形的邊長(zhǎng)為12cm，易得BC＝6cm，所以O(shè)B＝12cm，由勾股定理得OC＝

cm，從而求得上、下面每段膠帶長(zhǎng)為cm，進(jìn)而求出所需膠帶的長(zhǎng)度．導(dǎo)引：知2－講例4如圖(1)(2)(3)…，M，N分別是⊙O的內(nèi)接正三角形ABC、正方形ABCD、正五邊形ABCDE……的邊AB，BC上的點(diǎn)，且BM＝CN，連接OM，ON.(1)求圖(1)中∠MON的度數(shù)；(2)圖(2)中∠MON的度數(shù)是________，圖(3)中∠MON

的度數(shù)是________；(3)試探究∠MON的度數(shù)與正n邊形邊數(shù)n(n≥3)的關(guān)系式(直接寫出答案)．知2－講如圖(1)，連接OB，OC，因?yàn)锽M＝CN，OB＝OC，且易知∠OBM＝∠OCN，所以△BOM≌△CON，所以∠BOM＝∠CON，進(jìn)而易得∠MON＝∠BOC，即轉(zhuǎn)化為求正三角形的中心角．類似地，其他圖形中∠MON也可轉(zhuǎn)化為求正多邊形的中心角．導(dǎo)引：知2－講(1)如圖(2)，連接OB，OC.易知∠BOC＝＝120°，∠OBM＝∠OCN＝30°.又∵BM＝CN，OB＝OC，∴△OBM≌△OCN.∴∠BOM＝∠CON.∴∠BON＋∠BOM＝∠BON＋∠CON，

∴∠MON＝∠BOC＝120°.(2)90°；72°

(3)∠MON＝(n≥3)．解：總

結(jié)知2－講此題運(yùn)用了從特殊到一般的思想．解決此類問題，關(guān)鍵是對(duì)未知角先進(jìn)行分析，再通過三角形全等進(jìn)行角度的等量轉(zhuǎn)化．有一正六邊形ABCDEF的內(nèi)切圓半徑為R，求R與這個(gè)正六邊形ABCDEF的外接圓半徑之比.證明：在正n邊形中，中心角與正n邊形的每個(gè)外角相等.知2－練33知2－練3正多邊形的一邊所對(duì)的中心角與該多邊形的一個(gè)內(nèi)角的關(guān)系為(

)A．兩角互余B．兩角互補(bǔ)C．兩角互余或互補(bǔ)D．不能確定4正六邊形的邊心距與邊長(zhǎng)之比為(

)A.∶3B.∶2C．1∶2D.∶25(中考·成都)如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，半徑為4，則這個(gè)正六邊形的邊心距OM和弧BC的長(zhǎng)分別為(

)A．2，B．2，π，D．

，知2－練6(中考·隨州)如圖，⊙O是正五邊形ABCDE的外接圓，這個(gè)正五邊形的邊長(zhǎng)為a，半徑為R，邊心距為r，則下列關(guān)系式錯(cuò)誤的是(

)A．R2－r2＝a2

B．a(chǎn)＝2Rsin36°C．a(chǎn)＝2rtan36°D．r＝