第12講直線和圓的方程

【考點(diǎn)1】直線的傾斜角與斜率

【考點(diǎn)2】宜線的方程

直績口圓的方程【考點(diǎn)3】兩直線的位置關(guān)系

【考點(diǎn)4】直線與圓的位置關(guān)系

【考點(diǎn)5】圓與國的位置關(guān)系

Q【考點(diǎn)梳理】

一、直線與方程

1.直線的傾斜角

(1)定義：x軸正向與直線向上的方向所成的角叫做這條直線的傾斜角，規(guī)定與X軸平行或重合的直線的傾

斜角為零度角.

(2)規(guī)定：當(dāng)直線/與x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定它的傾斜角為。；

(3)范圍：直線的傾斜角a的取值范圍是［0,n).

2.直線的斜率

(1)定義：直線尸履+6中的系壑幺叫做這條直線的斜率，垂直于“軸的直線斜率不存在.

(2)計(jì)算公式：若由4(小，%),8(如及)確定的直線不垂直于x軸，則a=絲二&EWX2).若直線的傾斜角

―一汨-------

為。。#方)，則仁tan夕.

3.直線方程的五種形式

名稱幾何條件方程適用條件

斜截式縱截距、斜率y=:x+b

與X軸不垂直的直線

點(diǎn)斜式過一點(diǎn)、斜率y-—=一(才一照)

與兩坐標(biāo)軸均不垂直的直

y-y\x^x\

兩點(diǎn)式過兩點(diǎn)

%M-——Xi線

x,y

截距式縱、橫截距=+彳=1

a-b----

不過原點(diǎn)且與兩坐標(biāo)軸均

不垂直的直線

Ax~\~By+C=Q

一般式所有直線

(4+##0)

二、兩條直線的位置關(guān)系

1.兩條直線平行與垂直的判定

(1)兩條直線平行

對于兩條不重合的直線九12,其斜率分別為人，4,則有乙〃拉包丘及.特別地，當(dāng)直線九八的斜率都

不存在時(shí)，八與&平行.

(2)兩條直線垂直

如果兩條直線九人斜率都存在，設(shè)為&,則dk\?4=-1,當(dāng)一條直線斜率為零，另一條直線

斜率不存在時(shí)，兩條直線垂直.

2.兩直線相交

[4x+5y+G=0,

直線人4x+8y+G=0和44x+民y+C=O的公共點(diǎn)的坐標(biāo)與方程組,,的解一一對應(yīng).

{Aix-\-B2y+Ci—Q

相交Q方程組有唯一解,交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組的解;

平行o方程組無解;

重合o方程組有無數(shù)個(gè)解.

3.距離公式

(1)兩點(diǎn)間的距離公式

平面上任意兩點(diǎn)m)，P"⑸間的距離公式為I尸內(nèi)=、廠(XLE)2+(%—必)2

特別地，原點(diǎn)0(0,o)與任一點(diǎn)尸(無力的距離I而=、產(chǎn)7.

(2)點(diǎn)到直線的距離公式

|Ax(s~\-C\

平面上任意一點(diǎn)氣(施，㈤到直線1-.Ax+By+C=Q的距離d=

q+行

⑶兩條平行線間的距離公式

r-rI

一般地，兩條平行直線/i：Ax+By+C\=Q,A：力/+取+禪=0間的距離+j

三、圓的方程

1.圓的定義和圓的方程

定義在平面內(nèi)，到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合叫做圓

方程標(biāo)準(zhǔn)(%—a)2+(y—Z?)2=r(r>0)圓心C(a,6)

半徑為r

充要條件：7+戶一4/>0

x+y+^+￡y+A=O

一般圓心坐標(biāo)：(一§,-g

?+片-4/>0)

半徑r=*戶+層一4F

2.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

平面上的一點(diǎn)"(刖，㈤與圓G(x—aL+Q—而2=/之間存在著下列關(guān)系：

⑴\MC\>r=M在圓外,即(沏-a)，'+(為一⑻+/田獷在圓外；

(2)|MC\=r=M在圓上,即(照一a)'+(%—Z?)'=/?"<=>.)/在圓上；

(3)\MC\在圓內(nèi),即(劉-a)"'+(為一在圓內(nèi).

四、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系

1.直線與圓的位置關(guān)系

設(shè)圓C-.(X—a)''+(y—b)2=r,直線1：Ax+By+C=0,圓心C(a,6)到直線1的距離為d,由

(%—a)2+(j>-b)'—r,

/x+處+C=0

消去y(或x),得到關(guān)于x(或力的一元二次方程，其判別式為4

方法位置

幾何法代數(shù)法

關(guān)系

相交cKr4>0

相切d=r4=0

相離d>rJ<0

2.圓與圓的位置關(guān)系

設(shè)兩個(gè)圓的半徑分別為凡r,R>r,圓心距為d,則兩圓的位置關(guān)系可用下表來表示:

位置關(guān)系相離外切相交內(nèi)切內(nèi)含

R—r<

幾何特征d>R+rd=R+rd=R-rd<R-r

d<R+r

代數(shù)特征無實(shí)數(shù)解一組實(shí)數(shù)解兩組實(shí)數(shù)解一組實(shí)數(shù)解無實(shí)數(shù)解

公切線條數(shù)43210

【解題方法和技巧】i.求傾斜角的取值范圍的一般步驟

(1)求出斜率A:=tana的取值范圍.

(2)利用三角函數(shù)的單調(diào)性，借助圖象，確定傾斜角a的取值范圍.求傾斜角時(shí)要注意斜率是否存在.

2.已知兩直線的一般方程

兩直線方程/i：A\x+B\y-YC\=0,，2：A2%+&y+C2=0中系數(shù)4,B\,Ci,A2,&,C2與垂直、平行的關(guān)

系：

4也+21&=0Q/IJ_，2；

A\Bz-AzB\=0且A\C2-A2CI，0Q/I//h.

3.判斷直線與圓的位置關(guān)系常見的方法：

(1)幾何法：利用d與廠的關(guān)系.

(2)代數(shù)法：聯(lián)立方程隨后利用△判斷.

(3)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法：若直線恒過定點(diǎn)且定點(diǎn)在圓內(nèi)，可判斷直線與圓相交.

上述方法中最常用的是幾何法，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法適用于動(dòng)直線問題.

4.求圓的弦長的常用方法

(1)幾何法：設(shè)圓的半徑為r,弦心距為d,弦長為/,則(*2=/一液

(2)代數(shù)方法：運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系及弦長公式：

設(shè)直線與圓的交點(diǎn)為A(xi,yi),8(x2,”)，

22

則|4B|=、1+2.11-x2|=^/(1+A)[(X1+X2)-4XIX2].

5.(1)判斷兩圓的位置關(guān)系常用幾何法，即用兩圓圓心距與兩圓半徑和與差之間的關(guān)系，一般不采用代數(shù)法.

(2)當(dāng)兩圓相交時(shí)求其公共弦所在直線方程或是公共弦長，只要把兩圓方程相減消掉二次項(xiàng)所得方程就是公

共弦所在的直線方程，再根據(jù)其中一個(gè)圓和這條直線就可以求出公共弦長.

6.在解決直線與圓的位置關(guān)系時(shí)要充分考慮平面幾何知識(shí)的運(yùn)用，如在直線與圓相交的有關(guān)線段長度計(jì)算

中，要把圓的半徑、圓心到直線的距離、直線被圓截得的線段長度放在一起綜合考慮，不要單純依靠代數(shù)

計(jì)算，這樣既簡單又不容易出錯(cuò).

【考點(diǎn)剖析】

【考點(diǎn)1】直線的傾斜角與斜率

一、單選題1.(2022?上海?高三專題練習(xí))"/=[，，是“直線》+-=1與奴+丫=1平行，，的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

2.（2022.上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校模擬預(yù)測）已知點(diǎn)勿與點(diǎn)N（0,-l）在直線3x-4y+5=0的兩側(cè)，給出以下

結(jié)論：

①3a-4）+5>0；

②當(dāng)a>0時(shí)，a+6有最小值，無最大值：

③/+從>］；

④當(dāng)a>0且4X1時(shí)，的取值范圍是（-8,-；）^1弓,+°°）.

正確的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

二、填空題

3.（2022?上海?華師大二附中模擬預(yù)測）直線2ar-3y+8=0與直線x-y-l=0垂直，則。=.

4.（2022?上海?高三專題練習(xí)）過圓V+y2-4x=0的圓心且與直線2x+y=0垂直的直線方程為

5.（2022?上海?高三專題練習(xí)）求直線x=-2與直線?-y+l=0的夾角為.

6.（2022?上海?高三專題練習(xí)）已知雙曲線「三-匯=1的左右焦點(diǎn)分別為號(hào)、F2,直線/與「的左、右支

45

分別交于點(diǎn)尸、。（尸、Q均在X軸上方）.若直線PK、的斜率均為3且四邊形居”的面積為20面,

貝麟二.

三、解答題

7.（2022?上海?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)/（"=2'-2：

（1）設(shè)（孫幻（用X%）是y=f（x）圖象上的兩點(diǎn)，直線AB斜率/存在,求證:&>0;

（2）求函數(shù)g（x）=22,+2-2，_4W（x）（,〃eR）在區(qū)間［0,1］上的最大值.

【考點(diǎn)2】直線的方程

一、單選題

1.（2022?上海?高三專題練習(xí)）若點(diǎn)和NS」）都在直線/：x+y=l上，又點(diǎn)P（cJ）和點(diǎn)。（,力），則

bcac

A.點(diǎn)尸和。都不在直線/上B.點(diǎn)尸和Q都在直線/上C.點(diǎn)尸在直線/上且。不在直線/上

D.點(diǎn)戶不在直線/上且。在直線/上

2.（2022?上海?高三專題練習(xí)）如下圖，直線/的方程是（）

B.y/3x-2y-y/3=0

D.x—\f3y-1=0

“、x+1

3.(2022?上海市七寶中學(xué)高三期中)在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)/5)=阡彳的圖象上有三個(gè)不同的點(diǎn)位

于直線上，且這三點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為0,則這條直線必過定點(diǎn)()

A.1;，。[B.(-1,0)C.(-1.-1)D.(1,1)

4.(2022.上海.高三專題練習(xí))設(shè)｛4｝是公比為4(#1),首項(xiàng)為“的等比數(shù)列，5“是其前〃項(xiàng)和，則點(diǎn)0,5,出)

()

A.一定在直線y=上B.一定在直線>=奴+4上

C.一定在直線丁=依一4上D.一定在直線y="+a上

二、填空題

5.(2022.上海奉賢.二模)構(gòu)造一個(gè)二元二次方程組,使得它的解恰好為=：,[*

[g(x,y)=0[y=2[y2=-4

要求〃x，y)=o與g(x,y)=o的每個(gè)方程均要出現(xiàn)x，y兩個(gè)未知數(shù).答：.

6.(2022?上海?高三專題練習(xí))在△A8C中，AC=3,AB=4,BC=5,P為角平分線AT上一點(diǎn)，且在

△ABC內(nèi)部，則P到三邊距離倒數(shù)之和的最小值為

7.(2022?上海?高三專題練習(xí))已知直線/過點(diǎn)P(-2,l),直線/的一個(gè)方向向量是2=(-3,2),則直線/的點(diǎn)

方向式方程是.

8.(2022?上海?復(fù)旦附中模擬預(yù)測)經(jīng)過點(diǎn)A(l,0)且法向量為3=(2,1)的直線/的一般式方程是.

【考點(diǎn)3】兩直線的位置關(guān)系

一、單選題

1.(2021?上海市七寶中學(xué)模擬預(yù)測)“帆=-2”是“直線(2-，")x+沖+3=0與直線x-沖-3=0垂直”的()

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

二、填空題

2.（2022?上海徐匯?二模）己知meR,若直線4：,a+y+l=0與直線4：9x+,”y+2機(jī)+3=0平行，則

tn=.

3.（2022.上海市行知中學(xué)高二期中）若直線4：ar-2y+l=O與4：x+（a+l）y+l=0互相垂直，則。=.

4.（2022.上海寶山.二模汨知直線》+2"行=0與直線》-力+110=0互相平行且距離為切.等差數(shù)列｛6｝

的公差為d,且%&=35,%+”“><。，令S”差4|+|021+3H+1%1,則公的值為,_.

5.（2022?上海?同濟(jì)大學(xué)第一附屬中學(xué)高二階段練習(xí)）若直線4：取+2〉+“-1=0與直線/2：2x+ay+3-a=0

平行，則4與/,之間的距離為.

【考點(diǎn)4】直線與圓的位置關(guān)系

一、單選題

1.（2022?上海?模擬預(yù)測）設(shè)集合。=｛（x,y）1x-幻2+（y-公）2=4同,Zez1①存在直線/,使得集合。中不

存在點(diǎn)在/上，而存在點(diǎn)在/兩側(cè)；②存在直線/，使得集合。中存在無數(shù)點(diǎn)在/上：（）

A.①成立②成立B.①成立②不成立

C.①不成立②成立D.①不成立②不成立

2.（2022?上海?高三專題練習(xí)）直線/：丫=丘+1與圓0:/+丫2=1相交于兩點(diǎn)，則"％=1"是"AO4B的

面積為;”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件

二、填空題

3.（2022?上海?模擬預(yù)測）設(shè)直線系M:（x—I）cos0+（y—2）sin0=l（04042;r）,對于下列四個(gè)命題：

①M(fèi)中所有直線均經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)；

②存在定點(diǎn)P不在M中的任一條直線上；

③對于任意整數(shù)”523）,存在正〃邊形，使其所有邊均在陽中的直線上；

@M中的直線所能圍成的正三角形面積都相等.

其中真命題的序號(hào)是（寫出所有真命題的序號(hào)）4.（2022?上海?高三開學(xué)考試）已知點(diǎn)尸是直線

3x+4y-2=0上的點(diǎn)，點(diǎn)。是圓（x+l）2+（y+l）2=l上的點(diǎn)，則|尸。的最小值是.

5.（2022?上海?高三專題練習(xí)）若直線/：x+y=5與曲線C:x2+V=i6交于兩點(diǎn)A（%，x）、貝lj

%%+%%的值為.

6.（2022?上海?高三專題練習(xí)）過原點(diǎn)且與圓/+9+4》-2丫=0相切的直線方程為.

7.（2022?上海?高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系屹丫中，過點(diǎn)尸（Ta）作圓/+/2-2*=（）的兩條切線，

切點(diǎn)分別為N（x”力）.若5f）5+占）+（%-%）（必+y-2）=0,則實(shí)數(shù)。的值等于.

8.（2022.上海.高三專題練習(xí)）若斜率為右的直線與軸交于點(diǎn)A,與圓/+（），-1>=1相切于點(diǎn)8,則

|陰=-------------

9.（2021?上海?高三專題練習(xí)）過直線l：x+y=2上任意點(diǎn)尸向圓C:/+丁=i作兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B,

線段AB的中點(diǎn)為。，則點(diǎn)。到直線/的距離的取值范圍為.

10.（2022.上海交大附中高三期中）圓C的圓心C在拋物線V=2x上，且圓C與V軸相切于點(diǎn)A,與x軸

相交于產(chǎn)、。兩點(diǎn)，若祝.函=9（。為坐標(biāo)原點(diǎn)），則歸。=.

II.（2022?上海?高三專題練習(xí)）已知圓外：V+y2=l,圓處：x2+V=4,尸為例上的動(dòng)點(diǎn)，M、N為叫上

的動(dòng)點(diǎn)，滿足|MN|=26,則兩.麗的取值范圍是.

12.（2022?上海?華師大二附中模擬預(yù)測）已知曲線C：y=-內(nèi)二/，直線，：丫=2,若對于點(diǎn)40,〃?），存

在C上的點(diǎn)P和/上的點(diǎn)Q,使得Q+福=0,則切取值范圍是.

三、解答題

13.（2022.上海.模擬預(yù)測）如圖，由半圓/+,2=嚴(yán)640,廣，（^和部分拋物線丫“‘一“”。”>0）

合成的曲線C稱為“羽毛球開線”，曲線C與x軸有48兩個(gè)焦點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)

⑴求4、r的值；

⑵設(shè)N（0,2）,M為曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，求|MN|的最小值;

(3)過A且斜率為k的直線/與“羽毛球形線”相交于點(diǎn)夕、4。三點(diǎn)，問是否存在實(shí)數(shù)％，使得

NQ84=NP8A?若存在，求出&的值；若不存在，請說明理由.

14.(2022?上海?高三專題練習(xí))某景區(qū)欲建造同一水平面上的兩條圓形景觀步道、M2(寬度忽略不計(jì))，

已知ABJ_4C,AB=AC=AD=60(單位：米)，要求圓與A3、分別相切于點(diǎn)B、D,%與AC、

AO分別相切于點(diǎn)C、。，且NC4￡)+/B4Z)=90°.

(1)若NBAD=60°,求圓“I、圓的半徑(結(jié)果精確到().1米)；

(2)若景觀步道的造價(jià)分別為每米0.8千元、().9千元，如何設(shè)計(jì)圓加|、圓的大小，使總造

價(jià)最低？最低總造價(jià)為多少(結(jié)果精確到()1千元)？

【考點(diǎn)5】圓與圓的位置關(guān)系

一、單選題

1.(2020?上海?高三專題練習(xí))已知且/+/+2工<0,則().

A.x2+j2+6%+8<0B.x2+y2+6x+8>0

C.x2+y2+4x+3<0D.x2+y2+4x+3>02.(2022,上海,高三專題練習(xí))若圓：AT+=1和圓

C2：f+y2-6x_8y_k=0沒有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)人的取值范圍是()

A.(-9,11)B.(-25,-9)

C.(^o,-9)U(11,+a))D.(-25,-9)U(ll,x)

fx=-2+5cos0

3.(2022?上海黃浦?模擬預(yù)測)已知圓C：一.八(8為參數(shù))，與圓C關(guān)于直線x+y=0對稱的

[y=3+5sin。

圓的普通方程是().

A.(x+3)2+(y-2)2=25B.(x-2)2+(y+3)2=25

C.(x+3『+(y-2)2=5D.(x+3)2+(y-2)2=5

二、填空題

4.(2020?上海?高三專題練習(xí))若圓Y+丁=25與圓/+丁一6x+8y+加=0的公共弦長為8,則m=.

三、解答題

5.(2020?上海?高三專題練習(xí))求經(jīng)過兩圓G：x2+V+4x+y+l=0與。2：苫2+/+2》+2,+1=0的兩個(gè)交

點(diǎn)且半徑最小的圓的方程.

9【真題模擬題專練】

一、單選題

1.（2022?上海?華師大二附中模擬預(yù)測）已知平面直角坐標(biāo)系中的直線4：y=2x、4：y=-2x.設(shè)到4、4距

離之和為2c：的點(diǎn)的軌跡是曲線C-到4距離平方和為2q的點(diǎn)的軌跡是曲線其中qq〉。.則G、Q

公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)不可能為（）A.0個(gè)B.4個(gè)C.8個(gè)D.12個(gè)

2.（2022.上海閔行.二模）已知直線/:土+4=1與圓Y+y2=ioo有公共點(diǎn)，且公共點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù),

ab

則滿足4>/5〃+5尸>\ab\的/有（）

A.40條B.46條C.52條D.54條

3.（2022?上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校模擬預(yù)測）直線/：丘-y+k+l=0與圓V+y2=8交于A,8兩點(diǎn)，且|4卻=4近,

過點(diǎn)A,B分別作/的垂線與y軸交于點(diǎn)M,N,是|MN|等于（）

A.272B.4C.4拒D.8

二、填空題

fx+2y—4

4.（2022.上海奉賢.二模）若關(guān)于小丁的方程組。,乙有唯一解，則實(shí)數(shù)〃滿足的條件是________.

=6

x=2+2cos，

5.（2022?上海靜安?二模）直線/的方向向量J=（1,-1）,且經(jīng)過曲線j7+2sin。的中心'則直線’的方

程為.

fX=]+/

6.（2022.上海浦東新.二模）直線/：（一，（f為參數(shù)，twR）的斜率為________

1>=1一

7.（2022?上海松江，二模）設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，P是以尸為焦點(diǎn)的拋物線V=2px（p>0）上任意一點(diǎn)，M是

線段P尸上的點(diǎn)，且兩=4標(biāo)，則直線O"斜率的最大值為.

8.（2022?上海黃浦?二模）設(shè)reR,直線｛,（f為參數(shù)）的傾斜角的大小為____________.

[），=—-

9.（2022?上海靜安?二模）雙曲線1-4小的焦點(diǎn)到其漸近線的距離是__________.

169

10.（2022.上海靜安.模擬預(yù)測）已知雙曲線￡-g=l（a>0,b>0）的兩條漸近線均與圓C:（x-3p+y2=4

相切，右焦點(diǎn)和圓心重合，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

11.（2022?上海市光明中學(xué)模擬預(yù)測）設(shè)有直線/：kx+y-3=Q,/的傾斜角為a.若在直線/上存在點(diǎn)A滿

足網(wǎng)=2,且tana<0,則氏的取值范圍是.

12.（2022?上海虹口?二模）設(shè)aeR,keR,三條直線（：ar—y—2a+5=0,/,：x+ay-3a-4=0,l3：

y=kx,貝也與4的交點(diǎn)M到4的距離的最大值為.13.（2022?上海崇明?二模）已知平面直角坐標(biāo)

系中的點(diǎn)皿：）、、cj2+5,0）,”eN*.記S.為必紇C,,外接圓的面積，則則邑..

14.（2022.上海市七寶中學(xué)模擬預(yù)測）若圓0:/+尸=/上有且只有兩點(diǎn)到直線/：3》+4k15=0的距離

為2,則圓的半徑,的取值范圍是.

15.（2022?上海黃浦?二模）已知復(fù)數(shù)z滿足|z|=l,則|z-2］的最大值為.

16.（2022?上海?華師大二附中模擬預(yù)測）已知M="：一"$E9+1（"&氏R,a*0）,則M的取值范圍是

a-acos0+1

17.（2022?上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校模擬預(yù)測）已知直線/：mx+y+3m-石=0與圓Y+）2=12交于A,8兩點(diǎn),

過A,B分別作/的垂線與x軸交于C,。兩點(diǎn)，若|A8|=26,貝”8|=.

18.（2022.上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校模擬預(yù)測）已知產(chǎn)點(diǎn)為圓。|與圓O?公共點(diǎn)，圓a：（x-a）2+（y-力2=/+1,圓

a：（x-c）2+（y-d>=/+l,若ac=8,/=$,則點(diǎn)P與直線/：3x-4y-25=0上任意一點(diǎn)M之間的距離的

ba

最小值為.

19.（2022?上海市七寶中學(xué)模擬預(yù)測）設(shè)直線2x+3y+l=0和圓/+/一2》_3=0相交于點(diǎn)A、B,則弦48

的垂直平分線方程是—.

20.（2022?上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校模擬預(yù)測）已知函數(shù)-4/）x+2a-b是偶函數(shù)，則函數(shù)圖像與y

軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值是

21.（2022?上海徐匯?二模）圓。:丁+9-2了-4），+4=0的圓心至IJ直線入3x+4y+4=0的距離4=

三、解答題

（2022?上海?模擬預(yù)測）設(shè)有橢圓方程r：］+，

22.=l(a>/?>0),直線l.x+y-4>/2=0,「下端點(diǎn)為A,M

在/上，左、右焦點(diǎn)分別為耳(-血,0),乙(&,0)

(1)。=2,4M中點(diǎn)在x軸上，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

3

(2)直線/與y軸交于3,直線AM經(jīng)過右焦點(diǎn)工，在中有一內(nèi)角余弦值為《，求〃；

(3)在橢圓「上存在一點(diǎn)P到/距離為“，使|「制+|P閭+d=6,隨a的變化，求d的最小值.

23.(2022?上海奉賢?二模)橢圓/+4＞，2=68上有兩點(diǎn)4(8,以)和T(巧,Y),力＞°，與＜°.點(diǎn)A關(guān)于橢圓

中心。的對稱點(diǎn)為點(diǎn)B,點(diǎn)P(r,-2r)(fx0)在橢圓內(nèi)部，”是橢圓的左焦點(diǎn)，人是橢圓的右焦點(diǎn).

(1)若點(diǎn)尸在直線A7上，求點(diǎn)尸坐標(biāo)；

(2)是否存在一個(gè)點(diǎn)P,滿足卜可卜|西卜2百，若滿足求出點(diǎn)P坐標(biāo)，若不存在請說明理由；

s

(3)設(shè)AAO尸的面積為就，ABTP的面積為邑，求段的取值范圍.

?2

24.(2022?上海崇明?二模)已知雙曲線「：/-/=4,雙曲線「的右焦點(diǎn)為尸，圓C的圓心在)'軸正半軸上,

且經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O,圓C與雙曲線「的右支交于A、B兩點(diǎn).

(1)當(dāng)AOE4是以F為直角頂點(diǎn)的直角三角形，求△。州的面積；

(2)若點(diǎn)A的坐標(biāo)是(右,1),求直線A8的方程；(3)求證：直線A8與圓V+y=2相切.

25.(2022?上海?模擬預(yù)測)已知直線/:x+百y-c=0(c＞0)為公海與領(lǐng)海的分界線，一艘巡邏艇在原點(diǎn)O

處發(fā)現(xiàn)了北偏東60°海面上A處有一艘走私船，走私船正向停泊在公海上接應(yīng)的走私海輪B航行，以便上

海輪后逃竄.已知巡邏艇的航速是走私船航速的2倍，且兩者都是沿直線航行，但走私船可能向任一方向逃

竄.

(1)如果走私船和巡邏船相距6海里，求走私船能被截獲的點(diǎn)的軌跡；

(2)若。與公海的最近距離20海里，要保證在領(lǐng)海內(nèi)捕獲走私船，則°,A之間的最遠(yuǎn)距離是多少海

里？

第12講直線和圓的方程

【考點(diǎn)1】直線的傾斜角與斜率

【考點(diǎn)2】直線的方程

直線和圓的方程【考點(diǎn)3】兩百線的位置關(guān)系

【考點(diǎn)4】直線與圓的位置關(guān)系

【考點(diǎn)5】圓與國的位置關(guān)系

O【考點(diǎn)梳理】

一、直線與方程

1.直線的傾斜角

(1)定義：x軸正向與直線向上的方向所成的角叫做這條直線的傾斜角,規(guī)定與x軸平行或重合的直線的傾

斜角為零度角.

(2)規(guī)定：當(dāng)直線/與x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定它的傾斜角為。；

(3)范圍：直線的傾斜角a的取值范圍是［0,2.

2.直線的斜率

(1)定義：直線中的系數(shù)A叫做這條直線的斜率,垂直于x軸的直線斜率不存在.

(2)計(jì)算公式：若由4(為，/),6(①㈤確定的直線不垂直于x軸，則A=絲二及(小士及).若直線的傾斜角

——X1

為。。二三)，則"=1an°?

3.直線方程的五種形式

名稱幾何條件方程適用條件

斜截式縱截距、斜率y=-x+b

與X軸不垂直的直線

點(diǎn)斜式過一點(diǎn)、斜率y——=A（x—照）

與兩坐標(biāo)軸均不垂直的直

y——x—修

兩點(diǎn)式過兩點(diǎn)

—一%———X1線

x,y

截距式縱、橫截距=+彳=]

a-b----

不過原點(diǎn)且與兩坐標(biāo)軸均

不垂直的直線

Ax~\~By+C=Q

一般式所有直線

(4+##0)

四、兩條直線的位置關(guān)系

1.兩條直線平行與垂直的判定

(1)兩條直線平行

對于兩條不重合的直線九12,其斜率分別為人，4,則有乙〃拉包丘及.特別地，當(dāng)直線九八的斜率都

不存在時(shí)，八與&平行.

(2)兩條直線垂直

如果兩條直線九人斜率都存在，設(shè)為&,則dk\?4=-1,當(dāng)一條直線斜率為零，另一條直線

斜率不存在時(shí)，兩條直線垂直.

2.兩直線相交

[4x+5y+G=0,

直線人4x+8y+G=0和44x+民y+C=O的公共點(diǎn)的坐標(biāo)與方程組,,的解一一對應(yīng).

{Aix-\-B2y+Ci—Q

相交Q方程組有唯一解,交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組的解;

平行o方程組無解;

重合o方程組有無數(shù)個(gè)解.

3.距離公式

(1)兩點(diǎn)間的距離公式

平面上任意兩點(diǎn)m)，P"⑸間的距離公式為I尸內(nèi)=、廠(XLE)2+(巳一必)2.

特別地，原點(diǎn)0(0,o)與任一點(diǎn)尸(無力的距離I而=、產(chǎn)7.

(2)點(diǎn)到直線的距離公式

I4XO+8M，+a

平面上任意一點(diǎn)氣(施，㈤到直線1-.Ax+By+C=Q的距離d=

(3)兩條平行線間的距離公式

r-rI

一般地，兩條平行直線/i：Ax+By+C\=Q,A：力/+取+禪=0間的距離+j

五、圓的方程

1.圓的定義和圓的方程

定義在平面內(nèi)，到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合叫做圓

方程標(biāo)準(zhǔn)(%—a)2+(y—Z?)2=r(r>0)圓心C(a,6)

半徑為r

充要條件：7+戶一4/>0

x+y+^+￡y+A=O

一般圓心坐標(biāo)：(一§,-g

?+片-4/>0)

半徑r=*戶+層一4F

2.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

平面上的一點(diǎn)"(刖，㈤與圓G(x—aL+Q—而2=/之間存在著下列關(guān)系：

⑴\MC\>r=M在圓外,即(沏-a)，'+(為一⑻+/田獷在圓外；

(2)|MC\=r=M在圓上,即(照一a)'+(%—Z?)'=/?"<=>.)/在圓上；

(3)\MC\在圓內(nèi),即(劉-a)"'+(為一在圓內(nèi).

四、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系

1.直線與圓的位置關(guān)系

設(shè)圓C-.(X—a)''+(y—b)2=r,直線1：Ax+By+C=0,圓心C(a,6)到直線1的距離為d,由

(%—a)2+(j>-b)'—r,

/x+處+C=0

消去y(或x),得到關(guān)于x(或力的一元二次方程，其判別式為4

方法位置

幾何法代數(shù)法

關(guān)系

相交cKr4>0

相切d=r4=0

相離d>rJ<0

2.圓與圓的位置關(guān)系

設(shè)兩個(gè)圓的半徑分別為凡r,R>r,圓心距為d,則兩圓的位置關(guān)系可用下表來表示:

位置關(guān)系相離外切相交內(nèi)切內(nèi)含

R—r<

幾何特征d>R+rd=R+rd=R-rd<R-r

d<R+r

代數(shù)特征無實(shí)數(shù)解一組實(shí)數(shù)解兩組實(shí)數(shù)解一組實(shí)數(shù)解無實(shí)數(shù)解

公切線條數(shù)43210

【解題方法和技巧】i.求傾斜角的取值范圍的一般步驟

(1)求出斜率A:=tana的取值范圍.

(2)利用三角函數(shù)的單調(diào)性，借助圖象，確定傾斜角a的取值范圍.求傾斜角時(shí)要注意斜率是否存在.

2.已知兩直線的一般方程

兩直線方程/i：A\x+B\y-YC\=0,，2：A2%+&y+C2=0中系數(shù)4,B\,Ci,A2,&,C2與垂直、平行的關(guān)

系：

4也+21&=0Q/IJ_，2；

A\Bz-AzB\=0且A\C2-A2CI，0Q/I//h.

3.判斷直線與圓的位置關(guān)系常見的方法：

(1)幾何法：利用d與廠的關(guān)系.

(2)代數(shù)法：聯(lián)立方程隨后利用△判斷.

(3)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法：若直線恒過定點(diǎn)且定點(diǎn)在圓內(nèi)，可判斷直線與圓相交.

上述方法中最常用的是幾何法，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法適用于動(dòng)直線問題.

4.求圓的弦長的常用方法

(1)幾何法：設(shè)圓的半徑為r,弦心距為d,弦長為/,則(*2=/一液

(2)代數(shù)方法：運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系及弦長公式：

設(shè)直線與圓的交點(diǎn)為A(xi,yi),8(x2,”)，

22

則|4B|=、1+2.11-x2|=^/(1+A)[(X1+X2)-4XIX2].

5.(1)判斷兩圓的位置關(guān)系常用幾何法，即用兩圓圓心距與兩圓半徑和與差之間的關(guān)系，一般不采用代數(shù)法.

(2)當(dāng)兩圓相交時(shí)求其公共弦所在直線方程或是公共弦長，只要把兩圓方程相減消掉二次項(xiàng)所得方程就是公

共弦所在的直線方程，再根據(jù)其中一個(gè)圓和這條直線就可以求出公共弦長.

6.在解決直線與圓的位置關(guān)系時(shí)要充分考慮平面幾何知識(shí)的運(yùn)用，如在直線與圓相交的有關(guān)線段長度計(jì)算

中，要把圓的半徑、圓心到直線的距離、直線被圓截得的線段長度放在一起綜合考慮，不要單純依靠代數(shù)

計(jì)算，這樣既簡單又不容易出錯(cuò).

【考點(diǎn)剖析】

【考點(diǎn)1】直線的傾斜角與斜率

一、單選題1.(2022?上海?高三專題練習(xí))"/=[，，是“直線》+-=1與奴+丫=1平行，，的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】首先根基兩直線平行求出。的值，再根據(jù)小范圍推大范圍選出答案.

【詳解】因?yàn)橹本€》+歐=1與?+"1平行，

所以a彳0且兩直線的斜率相等即。解得a=±1；

a

而“'ia=l時(shí)直線x+ay=l為x+y=l,同時(shí)以+y=l為x+y=l,兩直線重合不滿足題意：當(dāng)a=-l時(shí)，

x-y=l與-x+y=l平行，滿足題意；

故a=—1,

根據(jù)小范圍推大范圍可得：/=［是。=_1的必要不充分條件.

故選：B

【點(diǎn)睛】（1）當(dāng)直線的方程中存在字母參數(shù)時(shí)，不僅要考慮到斜率存在的一般情況，也要考慮到斜率不存在

的特殊情況.同時(shí)還要注意x,y的系數(shù)不能同時(shí)為零這一隱含條件.

（2）在判斷兩宜線的平行、垂直時(shí)，也可宜接利用宜線方程的系數(shù)間的關(guān)系得出結(jié)論.

（3）兩直線平行時(shí)要注意驗(yàn)證，排除掉兩直線重合的情況.

2.（2022?上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校模擬預(yù)測）已知點(diǎn)加①力）與點(diǎn)N（0,-l）在直線3x-4），+5=0的兩側(cè)，給出以下

結(jié)論：

①3a-46+5>0；

②當(dāng)。>0時(shí)，4+匕有最小值，無最大值；

@a2+b2>1:

④當(dāng)a>0且awl時(shí)，合的取值范圍是（-8,-京嗎y）.

正確的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】由胡與N的位置關(guān)系有力-助+5<0,數(shù)形結(jié)合法判斷M位置，結(jié)合組的幾何意義判斷。+。、

a-1

空的范圍，應(yīng)用點(diǎn)線距離公式有Y+卜>（工25判斷③?

a-1V32+42

【詳解】將N（0,-l）代入有3x0-4x（T）+5=9>0,而M與N在3x-4y+5=0的兩側(cè)，則3a—4〃+5<0,

①錯(cuò)誤；

由3x-4y+5=0過（0,點(diǎn)目/>0艮。/1,即M在直線上方與y軸右側(cè)部分，

而合表示（1）與〃連線的斜率，由圖知：合9，-2K）'④正確?

故選：B

二、填空題

3.（2022?上海?華師大二附中模擬預(yù)測）直線2ar-3y+8=O與直線x-y-l=0垂直，貝匹=.

3