微積分§21§22§23§24§25§26§28§2.1 一個定義在正整數集合上的函數ynf(n)(稱為整函數)n123依次增大的順序取值時f(1)f(2)f(3)f(n)稱為一個無窮數列簡稱數列數列中的每一個數稱為數列的項f(n)稱為數列的一般項(通項 11 11112482 11 n

3 4 5 yn=2n:2,4,6,8,

12

0, 0,RR割圓術:半徑為r的圓內接正多邊形的面積snf(n)(n形的邊數)當n越來越大時sn就越來越接近于圓的面積當n無限增大時sn就無限地接近圓的面積這時sn以圓面積為極

1(1)n n時的變化趨勢

1(1)n n時的變化趨勢

1(1)n n時的變化趨勢

1(1)n n時的變化趨勢

1(1)n n時的變化趨勢

1(1)n n時的變化趨勢

1(1)n n時的變化趨勢

1(1)n n時的變化趨勢

1(1)n n時的變化趨勢

1(1)n n時的變化趨勢

1(1)n n時的變化趨勢

1(1)n n時的變化趨勢

1(1)n n時的變化趨勢 一般說來yn|ynA|ynA定義22(數列的極限)如果對于任意給定的正數N當nN時|ynA|恒成立n趨于無窮大時ynA為極限limyn nlim????=??→∞

yn收斂否則發(fā)散 2

1 1 1 1 11

3 4 5 yn=2n:2,4,6,8,

12

0, 0,lim????=??→∞

0,Ns.t.nN時|ynA| yN

AyN2 ??>??????(????,????)內只有有限個(至多有??個)落在其外2??+例5

=??→∞ §2.2xf(x定義23M當|x||f(x)A|恒成立x趨于無窮大時f(xA為極限limf(x) f(x)A(x0,M0,s.t.|x|M時|f(xA|<

yA

X

yf(x)xyAyf(x)的水平漸近線極限的其他形式x+x例1

lim1x limf(x)Alimf(x)limf(x)

limex limarctanx;limarctanx

limarccotx0;limarccotx xx0f(x2.4f(xx0的某去心鄰域內有定義如果0,>0,當0<|xx0|<時,總有|f(x)A|<Af(xxx0時的極限limf(x f(xA(x

AAA

yf(x)x0x0 例2證 例3

limf(x)0000,0,當x0xx0時0|f(x)A|<

limf(x)0000,0,x0xx0時0|f(x)A|<

limf(x)Alimf(x)limf(x) x

例4

f(x)

xxx0時f(x的極限是否存在例5x0時f(x|x|的極限定理2.2(函數極限的局部保號性若limfx)A 則0,若x0|xx0|時,f(xx0f(x0(f(x0),且則A0(或A0).

limf(x)x P73習題二(A)2(1),4(1)(2),5,§2.3定義2.60,y的變化過程中總存在某個時刻在此時刻之后|yA|<恒成立y在此變化過程中的極限為Alimy=例1證明limc= (c為常數定義2.7y的某一變化過程中My在某一時刻之后,恒有|y|M,則稱y在那一時刻之后為有界變量.2.4如果在某一變化過程中y有極限y是有界變量.注意:反之不成立.即有界變量未必有極限. x反例:yn= f(x) x0.§2.4定義2.8Ey在其變化過程中|y|>恒成立y是無窮大量y趨于無窮大limy=說明+1 =??→1???li??tan??=

lim??tan??= ????= ln??=定義2.90為極限的變量稱為無窮小量,變量y在其變化過程中,總有那么一個時刻,在那個時刻之后,不等 |y|<恒成立y是無窮小量例1

lim1 n n時

例2因 lim1x 所以當x時,變量y 例3因 limx2x0時yx2是無窮小量定理2.5limy=Ay=A+ 定理2.6有界量與無窮小的乘積是無窮小推論常量與無窮小量的乘積是無窮小1例4

limx 定理2.7yy是無窮大量1/y是無窮小量y是無窮小量1/y(y0)是無窮大量引例 x0時,3x,x2,sinx都是無窮小2 lim2

1x03limsinx

3x 0 若lim若lim若lim

0高階的無窮小,低階的無窮小C0的同階無窮小

若若

C0是關于的k階無窮小1,則稱是的等價無窮小 記作~或~§2.5 定理2.6有界量與無窮小的乘積是無窮小推論常量與無窮小量的乘積是無窮小:定理2.9

limfxAlimgx)B,

=AB0,

=AB推論(1)limcyclimyc為常數(2)limyn=(lim例1 lim(3x22x例2

2x2x53x例3

5x 練習:P74x2x2練習:P74nPn(xa0a1x ((

其中P(x都是多項式若Q(x00,例4

3n24x32x2

例6

2x31例5

x8x2 3x

7x

,當na

axm

lim xbxn

bxn1

0,當n

,當n為非負常數練習練習:P74例7 limx3x3x2

例8

2.xxx例9

x

8練習:P74練習:P74例10設f(x

12

x

求limf(xlimf(xlimf(x). x3x1 x x

P73習題二(A)11(7)(17)(18)(22)(25)(29),17,§2.6 定理2.11(準則I)如果在某個變化過程中xyzyxzlimylimzAlimx=例1

例2

1 ynf(nnf(n)<f(n+1),(f(n)>f(n+f(n為單調增加(減少)數列mM(mMnmf(nf(n為有界數列定理2.12(準則II)單調有界數列一定有極限ab lim11ab nBoxBox Alimsin(x)(例4 例5練習:P76練習:P76lim(11()(x)e

e=2.718281828459例7 例8練習練習:P76復利問題A0rt若每期結算一次A=A0(1+如果每期結算m次,t期本利和Am A=A0(1+§2.7limf(x)=lim1flim??=lim x0時

x~sinx~tanx~arcsinx~arctanxx~ex1~ln(1+x)1?cos??211+?1~??例1 例2練習:P77例練習:P77例4x0時sinsinx~ln(1 P76習題二(A)23(3)(5),24(3)(4),§2.8定義2.11tt1t2t2t的改變量注意增量可正可負

t=t2yf(xxx0x時y=f(x0+x)f例1一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響x0x0xA=(x0+x)2 =2x0x+定義2.12yf(xx0的某個鄰域內有定義lim???=或lim????0+ ???(??0)=或f(xx0處連續(xù)例2yx2x0處連續(xù)定義2.13yf(xx0

yf(x)lim??(??)=f(xx0處連續(xù)

x0

說明yf(x在其定義域內連續(xù)則稱其為連續(xù)函數定義2.14f(x[ab上的每一點都是連續(xù)的f(x在[ab上連續(xù)并稱[abf(x的連續(xù)區(qū)間.意在[abxab處為單側連續(xù)f(xxa處為右連續(xù)f(xxb處為左連續(xù)

lim??(??)=??????→??+lim??(??)=??????→???例3ysinx在()內連續(xù)ysin(xx)sin 若f(x)在點x0不滿足連續(xù)條件f(xx0不連續(xù)(間斷三種情形f(xx0無定義f(xx0雖有定義f(xx0雖有定義x0稱為間斷點

存在 y=1/x在x=0處的連續(xù)性x1 x例5 yf(x) x1

x x1f(x)在x=0處的連續(xù)性 1例6

?? =???+

??≠1 ??=f(xx1處的連續(xù)性例7

?? =

ysinf(x)在x=0處的連續(xù)性 +定義2.16間斷點分類+

f

f(x0

f(x0)=f(x0),稱x0為可去間斷點.若f(x0)f(x0+)稱x0

f(x0)f(x0中至少一個不存在若其中有一個為,稱x0為無窮間斷點.若其中有一個為振蕩x0為振蕩間斷點.例8

??

??≤1且??≠1??2?1??2????練習練習P77定理2.13f(xg(xx0處連續(xù)f(xf(xg(xf(x)g(xf(x)/g(x)(g(x00),x0處也連續(xù)定理2.14yf(x[ab上連續(xù)f(x在[ayyf(x)

oa12 b定理2.15yf(x在閉區(qū)間[ab上連續(xù)f(x在[a定理2.16(介值定理)如果f(x)在[a,b]上連續(xù),m和M分別為f在[a,b]上的最小值與最大值,則對介于m和M之間的任一實數(即c[mM(abf(yyy yf 推論(零點定理)f(x[ab上連續(xù),