淺析Vandermonde行列式的性質(zhì)與應(yīng)用摘要：在線性代數(shù)與高等代數(shù)的學(xué)習(xí)中，行列式無疑是一個重點和難點，它是后續(xù)課程矩陣、向量空間和線性變換等的基礎(chǔ)，且其計算具有一定的規(guī)律性和技巧性.而Vandermonde行列式是一類很重要的行列式,它構(gòu)造獨特、形式優(yōu)美、性質(zhì)特殊，是行列式中的一顆璀璨明珠.為了使我們對vandermonde行列式進一步加深了解與應(yīng)用，同時開闊數(shù)學(xué)視野、培養(yǎng)發(fā)散思維能力，以便更好地為我們的科研和生活服務(wù)，本文主要闡述了Vandermonde行列式的證法與其相關(guān)性質(zhì),并用例舉法介紹與總結(jié)了如何利用Vandermonde行列式計算某些特殊的行列式與其在多項式、向量空間等中的簡單應(yīng)用.關(guān)鍵詞：行列式VandermondeVandermonde行列式AnalysisofVandermondedeterminantPropertiesandApplications

Abstract:Linearalgebraandadvancedalgebralearning,thedeterminantisundoubtedlyakeyanddifficultpoints,itisthefollow-upcoursematrix,thebasisofvectorspacesandlineartransformations,anditscalculationwithacertainregularityandskill.Vandermondedeterminantisaveryimportantdeterminant,itconstructsaunique,beautifulformofspecialnature,isashiningpearlinthedeterminant.ToenableustofurtherdeepentheunderstandingandapplicationoftheVandermondedeterminant,andatthesametimebroadentheirmathematicalhorizons,developdivergentthinkingabilityinordertobetterserveourresearchandlivingservices,thepapermainlyexpoundstheVandermondedeterminantpermitlawanditsrelatedproperties,andintroducedwithexamplesofFranceandsummarizeshowtousetheVandermondedeterminantforthecalculationofsomeofthespecialdeterminantoftheVandermondedeterminantpolynomial,thevectorspace.

Keywords:DeterminantVandermondeVandermondedeterminant目錄1引言12Vandermonde行列式的定義與證法22.1Vandermonde行列式的定義22.2Vandermonde行列式的證法23Vandermonde行列式的性質(zhì)43.1Vandermonde行列式的翻轉(zhuǎn)與變形43.2Vandermonde行列式為0的充分必要條件53.3Vandermonde行列式推廣的性質(zhì)定理54Vandermonde行列式的應(yīng)用74.1Vandermonde行列式在行列式計算中的應(yīng)用74.1.1計算準(zhǔn)Vandermonde行列式74.1.2計算特殊的行列式74.2Vandermonde行列式在多項式與向量空間中的應(yīng)用104.2.1Vandermonde行列式在多項式中的應(yīng)用104.2.2Vandermonde行列式在向量空間中的應(yīng)用135小結(jié)15參考文獻16辭171引言行列式最早出現(xiàn)在17世紀(jì)關(guān)于線性方程組的求解問題中，由日本數(shù)學(xué)家關(guān)孝和德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨分別發(fā)明，而法國數(shù)學(xué)家德蒙德(A-T.Vander-monde，1735-1796)對行列式理論做出了連貫的、邏輯的闡述，并命名了著名的Vandermonde行列式.后許多數(shù)學(xué)家如柯西、雅可比、泰勒等對其不斷發(fā)展完善，做了進一步的解析與應(yīng)用，使得19世紀(jì)中期行列式與向量、矩陣完美融合.時至今日，行列式成為了線性代數(shù)與高等代數(shù)的主要容與重點容之一，是后續(xù)課程矩陣、向量空間和線性變換等的基礎(chǔ)，而vandermonde行列式在多項式、向量空間、線性方程組、線性變換、矩陣的特征值與特征向量、微積分等理論中都有大量應(yīng)用，例如對Cramer法則的補充、Lagrange插值公式的推導(dǎo)、向量空間基的證明、與Taylor公式結(jié)合求微積分問題等起了重要的作用[1]X賢科，許甫華.高等代數(shù)[M].:清華大學(xué),1998年4月:102.，而其在簡化行列式計算方面，更是靈活巧妙，成為了廣大學(xué)生的有力工具.出于對n階[1]X賢科，許甫華.高等代數(shù)[M].:清華大學(xué),1998年4月:102.2Vandermonde行列式的定義與證法2.1Vandermonde行列式的定義我們把型如的行列式叫做Vandermonde行列式，其值為，即=其中表示這個數(shù)的所有可能的差（）的乘積（）[2]王萼芳，石生明.高等代數(shù)[M].:高等教育.2003年6月:79-81..[2]王萼芳，石生明.高等代數(shù)[M].:高等教育.2003年6月:79-81.2.2Vandermonde行列式的證法方法一：消元法（降階法）[3][3]李師正.高等代數(shù)解題方法與技巧[M].:高等教育.2004年7月:95-96.證明從第行開始，每一行加上前一行的倍，根據(jù)行列式的性質(zhì)可知行列式的值不變，此時有=再按行列式首項展開得：=1·各列提公因式得：·注意到行列式是階Vandermonde行列式，即已經(jīng)將用表示出來,降了一階，并且少了一元.重復(fù)用上述方法對再進行求解，經(jīng)過有限步則可以得到：=（…）·()…()=即證.方法二：數(shù)學(xué)歸納法[4][4]X禾瑞，郝炳新.高等代數(shù)[M].:高等教育.1999年5月:119-120.證明（1）當(dāng)時,成立.（2）假設(shè)對于階成立，則對于階，首先構(gòu)造一個輔助的n階行列式：顯然，，將按第n列展開，得：····其中是行列式中元素的代數(shù)余子式，且不含，因此可知是一個n-1次的多項式，它的最高次的系數(shù)是，按定義知.另一方面，根據(jù)行列式的性質(zhì)知是的n-1個根，根據(jù)多項式的理論，得：取代入，得：即根據(jù)歸納假設(shè)，=，因此=.由（1）（2）結(jié)論得證.3Vandermonde行列式的性質(zhì)3.1Vandermonde行列式的翻轉(zhuǎn)與變形(1)將Vandermonde行列式逆時針旋轉(zhuǎn)，得.(2)將Vandermonde行列式順時針旋轉(zhuǎn)，得.(3)將Vandermonde行列式旋轉(zhuǎn)，得.3.2Vandermonde行列式為0的充分必要條件一個Vandermonde行列式為0的充分必要條件是：這n個數(shù)中至少有兩個相等.3.3Vandermonde行列式推廣的性質(zhì)定理行列式==·(k=0,1,2…n-1)其中符號“”中的下標(biāo)“n”表示n階行列式，“(k)”表示僅缺少的k次方冪元素行；是中（）個數(shù)的一個正序排列；表示對所有（）階排列求和；[5]黃玉蟬.多項式、線性方程組與Vandermonde行列式的相互應(yīng)用[J].XX大學(xué)學(xué)報.1994(2):4-6..[5]黃玉蟬.多項式、線性方程組與Vandermonde行列式的相互應(yīng)用[J].XX大學(xué)學(xué)報.1994(2):4-6.證明（i）在行列式中增補第（）行和（）列相應(yīng)的元素，考慮（）階Vandermonde行列式=··…………·=·(ii)由上式的兩端分別計算多項式中項的系數(shù).在上式左端，由行列式計算的系數(shù)為：行列式中該元素對應(yīng)的代數(shù)余子式·，在上式右端，由多項式計算知為的個不同根，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，項的系數(shù)為：··(k=0,1,2…n-1)其中是1，2…中（）個數(shù)的一個正序排列，表示對所有（）階排列求和.（iii）比較中項的系數(shù)，計算行列式.因為(*)式左右兩端項系數(shù)應(yīng)該相等，所以···，則··(k=0,1,2…n-1)定理得證.4Vandermonde行列式的應(yīng)用4.1Vandermonde行列式在行列式計算中的應(yīng)用4.1.1計算準(zhǔn)Vandermonde行列式利用Vandermonde行列式推廣的性質(zhì)定理可以計算各階準(zhǔn)Vandermonde行列式（缺行的Vandermonde行列式也叫做超Vandermonde行列式或準(zhǔn)Vandermon-de行列式），簡便易行[6]X建中.X德蒙德行列式的一個性質(zhì)的證明與其應(yīng)用[J].XX大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版）.2000(4):8-10..特別地，當(dāng)時，令=1，即為Vandermonde行列式.[6]X建中.X德蒙德行列式的一個性質(zhì)的證明與其應(yīng)用[J].XX大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版）.2000(4):8-10.例1計算準(zhǔn)Vandermonde行列式解由定理，=6,=3,所以·=·4.1.2計算特殊的行列式Vandermonde行列式在行列式計算中的應(yīng)用，除了應(yīng)用其推廣的性質(zhì)定理來計算各階準(zhǔn)Vandermonde行列式之外，還可以用以下一些方法來計算某些類似Vandermonde行列式的特殊的行列式.（1）法一:所給行列式各行（列）都是某元素的不同方冪，但其方冪次數(shù)或其排列與Vandermonde行列式不完全一樣，需利用行列的性質(zhì)（如提取公因式，調(diào)換各行（列）的次序等）將其化為Vandermonde行列式[7]袁旭華，楊海文，趙耀峰.幾種類Vandermonde行列式的計算[J].XX大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版）.2006[7]袁旭華，楊海文，趙耀峰.幾種類Vandermonde行列式的計算[J].XX大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版）.2006(1):7-9.例2計算n階行列式解·····（2）法二：利用行列式性質(zhì)，改變原行列式中的元素，產(chǎn)生以新元素為行（列）的Vandermonde行列式.例3計算階行列式其中，，（）解提取各行的公因式，得：·（Vandermonde行列式）上式右端的行列式是以新元素為列元素的階Vandermonde行列式，所以：=·（3）法三：如階行列式的第行（列）由兩個分行（列）所組成，其中任意相鄰兩行（列）均含有一樣分行（列），且中含有個分行（列）組成的Vandermonde行列式，那么將的第行（列）乘以（）加到（）行（列），消除一些分行（列），即可化成Vandermonde行列式[8]王新長.Vandermonde行列式在高等代數(shù)中的應(yīng)用[J].井岡山師X學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版）.2002(3):3-5..[8]王新長.Vandermonde行列式在高等代數(shù)中的應(yīng)用[J].井岡山師X學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版）.2002(3):3-5.例4計算行列式△=解在△的第2行中去掉與第一行成比例的分行，得到△=在上面行列式的第3行中去掉與第2行成比例的分行，得到一個新的行列式，在此新行列式的第4行中去掉與第3行成比例的分行，得:△==（4）法四：行列式中其他各行（列）都是元素的不同方冪，只有一行（列）的元素不是相應(yīng)元素的零次冪（即該行（列）元素都不是1），而是各行（列）元素的函數(shù)，利用行列式的性質(zhì)將這一行（列）元素化為全是1的元素.例5證明△=證明將△的第1行加到第3行上，得到△==4.2Vandermonde行列式在多項式與向量空間中的應(yīng)用在線性方程組中，Cramer法則有著非常重要的作用，它給出了一類重要的線性方程組的解的存在唯一性.而在許多行列式的計算與證明中，Vandermonde行列式又是一個十分重要的行列式.兩個如此“重要”的數(shù)學(xué)元素相結(jié)合，其產(chǎn)生的作用將更重要.Vandermonde行列式在多項式與向量空間中的應(yīng)用，主要就是結(jié)合Cramer法則來證明相關(guān)的問題[9]宴林.X德蒙行列式的應(yīng)用[J].XX師X高等?？茖W(xué)校學(xué)報.2001[9]宴林.X德蒙行列式的應(yīng)用[J].XX師X高等專科學(xué)校學(xué)報.2001(2):10-13.4.2.1Vandermonde行列式在多項式中的應(yīng)用例6證明一個n次多項式至多有n個互異的根.證明用反證法.設(shè)有n+1個互異的根，分別為：，則有：（）即這個關(guān)于的齊次線性方程組的系數(shù)行列式是一個Vandermonde行列式:則由Cramer法則知該方程組只有零解，即，而n次多項式的最高次項的系數(shù)是不為零的.這個矛盾表明至多有n個互異的根.例7設(shè)多項式，，，，，則不可能有非零且重數(shù)大于的根.證明用反證法.設(shè)是的重數(shù)大于的根，則進而有即：把上式看作是以為未知量的齊次線性方程組，則其系數(shù)行列式為：由Cramer法則知上面的齊次線性方程組只有零解，從而因為，所以必須，這與假設(shè)矛盾，故沒有非零且重數(shù)大于的根.例8證明：對于平面上n個點（互不相等），必存在唯一的一個次數(shù)不超過n-1的多項式通過這n個點，即.分析要證明n個等式成立，也就是要證明n個方程組成的方程組有解，很自然地會想到Cramer法則，再根據(jù)系數(shù)行列式的特點，考慮用Vandermonde行列式的結(jié)論.證明設(shè)，要使，即滿足關(guān)于的線性方程組：該方程組的系數(shù)行列式為Vandermonde行列式：，當(dāng)互不相等時，該行列式不為0，由Cramer法則知方程組有唯一解，即對于平面上n個點（互不相等），必存在唯一的一個次數(shù)不超過n-1的多項式通過這n個點.4.2.2Vandermonde行列式在向量空間中的應(yīng)用例9設(shè)是互不一樣的實數(shù)，證明向量組（）i=1,2,…n是n維向量空間中的一個基.證明只需證明線性無關(guān)即可.令，因為是互不一樣的實數(shù)，所以，故（i=1,2,…n）線性無關(guān)，是n維向量空間中的一個基.例10C[a,b]={f(x)|f(x)是定義在[a,b]上的連續(xù)實函數(shù)}，證明C[a,b]是R上的向量空間.證明我們知道，C[a,b]是R上的無限維向量空間，要證該結(jié)論，只需對任意的正整數(shù)n，可證得線性無關(guān)即可.設(shè)，使得取n+1個實數(shù)QUOTE