2017中考數(shù)學(xué)壓軸題7

—.解答題(共18小題)

1.任意寫一個個位數(shù)字不為零的四位正整數(shù)A,將該正整數(shù)A的各位數(shù)字順序顛倒過來，

得到四位正整數(shù)B,則稱A和B為一對四位回文數(shù).例如A=2016,B=6102,則A和B就是

一對四位回文數(shù)，現(xiàn)將A的回文數(shù)B從左往右，依次順取三個數(shù)字組成一個新數(shù)，最后不

足三個數(shù)字時，將開頭的一個數(shù)字或兩個數(shù)字順次接到末尾，在組成三位新數(shù)時，如遇最高

位數(shù)字為零，則去掉最高位數(shù)字，由剩下的兩個或一個數(shù)字組成新數(shù)，將得到的所有新數(shù)求

和，把這個和稱為A的回文數(shù)B作三位數(shù)的和.例如將6102依次順取三個數(shù)字組成的新數(shù)

分別為:610,102,26,261,它們的和為:610+102+26+261=999,把999稱為2016的回

文數(shù)作三位數(shù)的和.

(1)請直接寫出一對四位回文數(shù)：猜想一個四位正整數(shù)和回文數(shù)作三位數(shù)的和能否被111

整除？并說明理由；

(2)已知一個四位正整數(shù)Ixly(千位數(shù)字為1,百位數(shù)字為x且0WxW9,十位數(shù)字為1,

個位數(shù)字為y且0<y<9)的回文數(shù)作三位數(shù)的和能被27整除，請求出x與y的數(shù)量關(guān)系.

2.材料1：一般地，n個相同因數(shù)a相乘：a?a?a?…記為an.如2，=8,此時，3叫做

1'

以2為底的8的對數(shù)，記為log28(即log28=3).那么，log39=,(log216)

2

+-ljog381=.

材料2：新規(guī)定一種運(yùn)算法則：自然數(shù)1到n的連乘積用n!表示，例如：1!=1,2!=2X

1=2,3!=3X2X1=6,4!=4X3X2X1=24,...在這種規(guī)定下，請你解決下列問題：

(1)計算5!=

(2)已知x為整數(shù)，求出滿足該等式的X：卜-1|"5!=i

61

3.觀察下列式子

1=2x與H，2=3xy+y

3=4x■|-+3',4=5X???

(1)根據(jù)上述規(guī)律，請猜想，若n為正整數(shù)，則廿

(2)證明你猜想的結(jié)論.

4.求兩個正整數(shù)的最大公約數(shù)是常見的數(shù)學(xué)問題，中國古代數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》中便記

載了求兩個正整數(shù)最大公約數(shù)的一種方法--更相減損術(shù)，術(shù)曰："可半者半之，不可半者,

副置分母、子之?dāng)?shù)，以少成多，更相減損，求其等也.以等數(shù)約之"，意思是說，要求兩個

正整數(shù)的最大公約數(shù)，先用較大的數(shù)減去較小的數(shù)，得到差，然后用減數(shù)與差中的較大數(shù)減

去較小數(shù)，以此類推，當(dāng)減數(shù)與差相等時，此時的差(或減數(shù))即為這兩個正整數(shù)的最大公

約數(shù).

例如：求91與56的最大公約數(shù)

解：

請用以上方法解決下列問題：

(1)求108與45的最大公約數(shù)；

(2)求三個數(shù)78、104、143的最大公約數(shù).

91-56=35

56-35=21

35-21=14

21-14=7

14-7=7

所以，91與56的最大公約數(shù)是7.

5.符號"f”表示一種運(yùn)算，它對一些數(shù)的運(yùn)算如下：f(1)=1+2,f(2)=1+2,f(3)=1+2,

123

f(4)=l+&..

4

(1)利用以上運(yùn)算的規(guī)律寫出f(n)=；(n為正整數(shù))

(2)計算:f(1)?f(2)?f(3)?...?f(100)的值.

6.觀察下列單項式：-x,3x2,-5x3,7x\...-37x?39x2°,...寫出第n個單項式,為了

解這個問題，特提供下面的解題思路.

(1)這組單項式的系數(shù)依次為多少，絕對值規(guī)律是什么？

(2)這組單項式的次數(shù)的規(guī)律是什么？

(3)根據(jù)上面的歸納，你可以猜想出第n個單項式是什么？

(4)請你根據(jù)猜想，寫出第2016個，第2017個單項式.

7.在求兩位數(shù)的平方時，可以用"列豎式"的方法進(jìn)行速算，求解過程如圖1所示.

322=102446:=211689:=7921672=4489

----1----1-—11,1八-1-1----1―

0；9；0；41；6；3；66?4?Si1114?9I1I

111-1?廠

iiH!「4「S「154:4」111I?01

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1i0,2|42「1「14141s19???

圖1圖2圖3

（1）仿照圖1,在圖2中補(bǔ)全672的"豎式"；

（2）仿照圖1,用"列豎式"的方法計算一個兩位數(shù)的平方，部分過程如圖3所示.若這個

兩位數(shù)的個位數(shù)字為a,則這個兩位數(shù)為（用含a的代數(shù)式表示）.

8.如圖1,在△ABC中，NACB為銳角，點D為射線BC上一點，連接AD,以AD為一邊且

在AD的右側(cè)作正方形ADEF.

(1)如果AB=AC,ZBAC=90°,

①當(dāng)點D在線段BC上時（與點B不重合），如圖2,線段CF、BD所在直線的位置關(guān)系為,

線段CF、BD的數(shù)量關(guān)系為；

②當(dāng)點D在線段BC的延長線上時，如圖3,①中的結(jié)論是否仍然成立，并說明理由；

（2）如果ABWAC,NBAC是銳角，點D在線段BC上，當(dāng)NACB滿足什么條件時，CF±BC

（點C、F不重合），并說明理由.

￡B

圖1圖2

圖3

9.如圖1,將兩個完全相同的三角形紙片ABC和DEC重合放置，其中NC=90。，ZB=ZE=30°.

（1）操作發(fā)現(xiàn)

如圖2,固定△ABC,使ADEC繞點C旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點D恰好落在AB邊上時，填空：

①線段DE與AC的位置關(guān)系是:

②設(shè)的面積為的面積為則％與的數(shù)量關(guān)系是.

4BDCSi，AAECS2,S2

圖1圖2

（2）猜想論證

當(dāng)繞點旋轉(zhuǎn)到如圖所示的位置時，小明猜想）中與的數(shù)量關(guān)系仍然成立,

4DECC3（1SiS2

并嘗試分別作出了^BDC和AAEC中BC、CE邊上的高，請你證明小明的猜想.

（3）拓展探究

已知NABC=60。，點D是角平分線上一點，BD=CD=4,DE〃AB交BC于點E（如圖4）.若在

射線BA上存在點F,使SADCF=S&BDE'請直接與出相應(yīng)的BF的長.

BC

圖3E圖4

10.（本題有3小題，第（1）小題為必答題，滿分5分；第（2）、（3）小題為選答題，其中，

第（2）小題滿分3分，第（3）小題滿分6分，請從中任選1小題作答，如兩題都答，以第

（2）小題評分.）

在△ABC中，NACB=90。，AC=BC,直線MN經(jīng)過點C,且AD_LMN于D,BEJ_MN于E.

（1）當(dāng)直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時，求證：

?△ADC^ACEB：②DE=AD+BE；

（2）當(dāng)直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，求證：DE=AD-BE；

（3）當(dāng)直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時，試問DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請

寫出這個等量關(guān)系，并加以證明.

注意：第（2）、（3）小題你選答的是第2小題.

11.若(x2+px--L)(x2-3x+q)的積中不含x項與x3項，

3

(1)求p、q的值；

(2)求代數(shù)式(-2p2q)2+(3pq)i+p20i2q20i4的值

12.閱讀材料：求1+2+22+23+24+...+22°13的值.

解：設(shè)S=l+2+22+23+24+...+22°i2+22°i3,將等式兩邊同時乘以2得：

2S=2+22+23+24+25+...+22013+22014

將下式減去上式得2S-S=22014-1

即S=22014-1

即1+2+22+23+24+...+22013=22014-1

請你仿照此法計算：

(1)1+2+22+23+24+...+210

(2)l+3+32+33+34+...+3n(其中n為正整數(shù)).

13.記M⑴=-2,M⑵=(-2)X(-2),M⑶=(-2)X(-2)X(-2),...M

=(-2)X(-2)X?-X(-2)

n個-2相乘,

(1)計算：M<5>+M<6);

(2)求2M,20⑶+M，2016)的值：

(3)說明2M<n>與M"互為相反數(shù).

14.如圖1,在正方形ABCD中，P是對角線BD上的一點，點E在AD的延長線上，且PA=PE,

PE交CD于F.

(1)證明：PC=PE；

(2)求/CPE的度數(shù)；

(3)如圖2,把正方形ABCD改為菱形ABCD,其他條件不變，當(dāng)NABC=120。時，連接CE,

試探究線段AP與線段CE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

15.如圖，AABC中，點0是邊AC上一個動點，過0作直線MN〃BC.設(shè)MN交NACB的

平分線于點E,交NACB的外角平分線于點F.

(1)求證：OE=OF；

(2)若CE=12,CF=5,求0c的長；

(3)當(dāng)點。在邊AC上運(yùn)動到什么位置時，四邊形AECF是矩形？并說明理由.

16.如圖，在梯形ABCD中，AD〃BC,NB=90°,AD=16cm,AB=12cm,BC=21cm,動點P

從點B出發(fā)，沿射線BC的方向以每秒2cm的速度運(yùn)動到C點返回，動點Q從點A出發(fā)，

在線段AD上以每秒1cm的速度向點D運(yùn)動，點P,Q分別從點B,A同時出發(fā)，當(dāng)點Q運(yùn)

動到點D時，點P隨之停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動的時間為t(秒).

(1)當(dāng)t為何值時，四邊形PQDC是平行四邊形；

(2)當(dāng)t為何值時，以C,D,Q,P為頂點的梯形面積等于60cm2?

(3)是否存在點P,使△PQD是等腰三角形？若存在，請求出所有滿足要求的t的值；若

不存在，請說明理由.

BE

17.(1)證明三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半；[要

求根據(jù)圖1寫出已知、求證、證明；在證明過程中，至少有兩處寫出推理依據(jù)("已知"除外)]

(2)如圖2,在nABCD中，對角線交點為0,A】、B1、品、Di分別是0A、OB、0C、0D的

中點，A2,B2、C2,D2分別是OAI、OBi、OCi、ODi的中點，…，以此類推.

若nABCD的周長為1,直接用算式表示各四邊形的周長之和I；

(3)借助圖形3反映的規(guī)律，猜猜I可能是多少？

18.已知正方形ABCD如圖所示，連接其對角線AC,NBCA的平分線CF交AB于點F,過點

B作BM_LCF于點N,交AC于點M,過點C作CPJ_CF,交AD延長線于點P.

(1)若正方形ABCD的邊長為4,求4ACP的面積；

(2)求證:CP=BM+2FN.

2017中考數(shù)學(xué)壓軸題7

參考答案與試題解析

—.解答題（共18小題）

1.（2017春?沙坪壩區(qū)校級期中）任意寫一個個位數(shù)字不為零的四位正整數(shù)A,將該正整數(shù)

A的各位數(shù)字順序顛倒過來，得到四位正整數(shù)B,則稱A和B為一對四位回文數(shù).例如A=2016,

B=6102,則A和B就是一對四位回文數(shù)，現(xiàn)將A的回文數(shù)B從左往右，依次順取三個數(shù)字

組成一個新數(shù)，最后不足三個數(shù)字時，將開頭的一個數(shù)字或兩個數(shù)字順次接到末尾，在組成

三位新數(shù)時，如遇最高位數(shù)字為零，則去掉最高位數(shù)字，由剩下的兩個或一個數(shù)字組成新數(shù),

將得到的所有新數(shù)求和，把這個和稱為A的回文數(shù)B作三位數(shù)的和.例如將6102依次順取

三個數(shù)字組成的新數(shù)分別為：610,102,26,261,它們的和為：610+102+26+261=999,把

999稱為2016的回文數(shù)作三位數(shù)的和.

（1）請直接寫出一對四位回文數(shù)：猜想一個四位正整數(shù)和回文數(shù)作三位數(shù)的和能否被111

整除？并說明理由；

（2）己知一個四位正整數(shù)Ixly（千位數(shù)字為1,百位數(shù)字為x且0WxW9,十位數(shù)字為1,

個位數(shù)字為y且0<y<9）的回文數(shù)作三位數(shù)的和能被27整除，請求出x與y的數(shù)量關(guān)系.

【考點】44：整式的加減.

【專題】11：計算題；512：整式.

【分析】根據(jù)回文數(shù)的概念、根據(jù)整式的混合運(yùn)算法則解答即可.

【解答】解：（1）一個四位正整數(shù)和回文數(shù)作三位數(shù)的和能否被111整除.

例如A=1234和B=4321是一對四位回文數(shù)，

將4321依次順取三個數(shù)字組成的新數(shù)分別為：432,321,214,143,它們的和為

432+321+214+143=1110,

1110能被111整除；

（2）正整數(shù)Ixly的回文數(shù)是ylxl,

則回文數(shù)作三位數(shù)的和為：

100y+10+x+100+10x+l+100x+10+y+100+10y+l=100x+100y+222=lll（x+y+2）,

由題意得，x+y+2=9,

則x+y=7.

【點評】本題考查的是回文數(shù)的定義、整式的混合運(yùn)算，掌握新定義、靈活運(yùn)用整式的混合

運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

2.（2017?福建模擬）材料1：一般地,n個相同因數(shù)a相乘:a-…記為a”.如23=8,

1'

此時，叫做以為底的的對數(shù),記為（即）那么，（）

328Iog28Iog28=3.log.9=2,log216

2+ljog,81=17^.

33

材料2：新規(guī)定一種運(yùn)算法則：自然數(shù)1到n的連乘積用n!表示，例如：1!=1,2!=2X

1=2,3!=3X2X1=6,4!=4X3X2X1=24,...在這種規(guī)定下，請你解決下列問題：

（1）計算5!=120

（2）已知x為整數(shù)，求出滿足該等式的X：炭-1

61

【考點】1G：有理數(shù)的混合運(yùn)算.

【專題】11：計算題；23：新定義.

【分析】材料1：各式利用題中的新定義計算即可得到結(jié)果；

材料2：(1)原式利用新定義計算即可得到結(jié)果；(2)已知等式利用題中的新定義化簡，求

出解即可得到x的值.

【解答】解：材料22

1：log39=log33=2；(log216)+J-log381=16+-1^17X

333

材料2：(1)5!=5X4X3X2X1=120；

(2)己知等式化簡得：k-11即x-1|=6,

6

解得：x=7或-5.

故答案為：2：17工；(1)120

3

【點評】此題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.

3.(2017?利辛縣一模)觀察下列式子

1=2X^+1，2=3x1-+1

3=4xy+y'4=5X-1-+^--

(1)根據(jù)上述規(guī)律，請猜想，若n為正整數(shù)，則口(n+l)苴+，

nn

(2)證明你猜想的結(jié)論.

【考點】1G：有理數(shù)的混合運(yùn)算.

【專題】11：計算題.

【分析】(1)根據(jù)所給的4個算式，可得：若n為正整數(shù)，則世(n+1)22ZL+1.

nn

(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想的結(jié)論即可.

【解答】(1)解：若n為正整數(shù)，則尸(n+1)二ZL+L.

nn

(2)證明：：右邊=(n+1)-I^~^■+—

nn

2

,n-l+l

=ni

n

=n

=左邊，

，原等式成立.

故答案為：(n+1)

nn

【點評】此題主要考查了探尋規(guī)律問題，以及有理數(shù)的混合運(yùn)算，要熟練掌握，注意明確有

理數(shù)混合運(yùn)算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減；同級運(yùn)算，應(yīng)按從左到右的順序進(jìn)

行計算；如果有括號，要先做括號內(nèi)的運(yùn)算.

4.(2016?黔西南州)求兩個正整數(shù)的最大公約數(shù)是常見的數(shù)學(xué)問題，中國古代數(shù)學(xué)專著《九

章算術(shù)》中便記載了求兩個正整數(shù)最大公約數(shù)的一種方法--更相減損術(shù)，術(shù)日："可半者

半之，不可半者，副置分母、子之?dāng)?shù)，以少成多，更相減損，求其等也.以等數(shù)約之"，意

思是說，要求兩個正整數(shù)的最大公約數(shù)，先用較大的數(shù)減去較小的數(shù)，得到差，然后用減數(shù)

與差中的較大數(shù)減去較小數(shù)，以此類推，當(dāng)減數(shù)與差相等時，此時的差(或減數(shù))即為這兩

個正整數(shù)的最大公約數(shù).

例如：求91與56的最大公約數(shù)

解：

請用以上方法解決下列問題：

(1)求108與45的最大公約數(shù)；

(2)求三個數(shù)78、104、143的最大公約數(shù).

91-56=35

56-35=21

35-21=14

21-14=7

14-7=7

所以，91與S6的最大公約數(shù)是7.

【考點】1G：有理數(shù)的混合運(yùn)算.

【分析】(1)根據(jù)題目，首先弄懂題意，然后根據(jù)例子寫出答案即可；

(2)可以先求出104與78的最大公約數(shù)為26,再利用輾轉(zhuǎn)相除法,我們可以求出26與143

的最大公約數(shù)為13,進(jìn)而得到答案.

【解答】解：(1)108-45=63,

63-45=18,

27-18=9,

18-9=9,

所以108與45的最大公約數(shù)是9；

(2)先求104與78的最大公約數(shù)，

104-78=26,

78-26=52,

52-26=26,

所以104與78的最大公約數(shù)是26；

再求26與143的最大公約數(shù)，

143-26=117,

117-26=91,

91-26=65,

65-26=39,

39-26=13,

26-13=13,

所以，26與143的最大公約數(shù)是13,

A78.104、143的最大公約數(shù)是13.

【點評】本題考查的知識點是輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)，求三個或三個以上數(shù)的最大公約數(shù),

可以先求前兩個數(shù)的最大公約數(shù)，再求所得最大公約數(shù)與第三個數(shù)的最大公約數(shù)最后得到答

案.

5.(2016?豐臺區(qū)模擬)符號"f"表示一種運(yùn)算，它對一些數(shù)的運(yùn)算如下：f(1)=1+2,f(2)

1

=1+2,f(3)=1+2,f(4)=i+2..

234

(1)利用以上運(yùn)算的規(guī)律寫出f(n)=1+2；(n為正整數(shù))

n

(2)計算：f(1)?f(2)?f(3)?...?f(100)的值.

【考點】1G：有理數(shù)的混合運(yùn)算.

【專題】23：新定義.

【分析】(1)根據(jù)f(1)、f(2)、f(3)、f(4)的運(yùn)算方法，寫出f(n)的表達(dá)式即可.

(2)根據(jù)(1)中求出的f(n)的表達(dá)式，求出f(1)?f(2)?f(3)(100)的值是

多少即可.

【解答】解：(1)Vf(1)=1+2,f(2)=1+2,f(3)=1+2,f(4)=1+2..

1234

；.f(n)=1+2.

n

(2)f(1)*f(2)*f(3)?...?f(100)

=(i+2)(i+2)(1+.2)(i+2)...(1+../_)

1234100

_3x4x5v6xy102

1234100

-101X102

1X2

=5151

故答案為：1+2.

n

【點評】此題主要考查了定義新運(yùn)算，以及有理數(shù)的混合運(yùn)算，要熟練掌握，注意明確有理

數(shù)混合運(yùn)算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減；同級運(yùn)算，應(yīng)按從左到右的順序進(jìn)行

計算；如果有括號，要先做括號內(nèi)的運(yùn)算.

6.(2016秋?潁泉區(qū)校級期末)觀察下列單項式:-X,3x2,7x'...-37x1\39x20,...

寫出第n個單項式，為了解這個問題，特提供下面的解題思路.

(1)這組單項式的系數(shù)依次為多少，絕對值規(guī)律是什么？

(2)這組單項式的次數(shù)的規(guī)律是什么？

(3)根據(jù)上面的歸納，你可以猜想出第n個單項式是什么？

(4)請你根據(jù)猜想，寫出第2016個，第2017個單項式.

【考點】42：單項式；15：絕對值.

【分析】(1)根據(jù)己知數(shù)據(jù)得出單項式的系數(shù)的符號規(guī)律和系數(shù)的絕對值規(guī)律；

(2)根據(jù)已知數(shù)據(jù)次數(shù)得出變化規(guī)律；

(3)根據(jù)(1)(2)中數(shù)據(jù)規(guī)律得出即可；

(4)利用(3)中所求即可得出答案.

【解答】解：(1)這組單項式的系數(shù)依次為：-1,3,-5,7,...系數(shù)為奇數(shù)且奇次項為負(fù)

數(shù)，故單項式的系數(shù)的符號是：（-1）

絕對值規(guī)律是：2n-1；

（2）這組單項式的次數(shù)的規(guī)律是從1開始的連續(xù)自然數(shù).

（3）第n個單項式是:（-1）n（2n-1）xn.

（4）第2016個單項式是403lx2016,第2017個單項式是-4O33X2017.

【點評】此題主要考查了數(shù)字變化規(guī)律，得出次數(shù)與系數(shù)的變化規(guī)律是解題關(guān)鍵.

7.（2017?福建模擬）在求兩位數(shù)的平方時，可以用"列豎式"的方法進(jìn)行速算，求解過程如

圖1所示.

圖1圖2圖3

（1）仿照圖1,在圖2中補(bǔ)全672的"豎式"；

（2）仿照圖1,用"列豎式"的方法計算一個兩位數(shù)的平方，部分過程如圖3所示.若這個

兩位數(shù)的個位數(shù)字為a,則這個兩位數(shù)為a+50（用含a的代數(shù)式表示）.

【考點】32：列代數(shù)式；1E：有理數(shù)的乘方.

【分析】（1）觀察圖象可知，第一行從右向左分別為個位數(shù)和十位數(shù)字的平方，每個數(shù)的平

方占兩個空，平方是一位數(shù)的前面的空用0填補(bǔ)，第二行從左邊第2個空開始向右是這個兩

位數(shù)的兩個數(shù)字的乘積的2倍，然后相加即為這個兩位數(shù)的平方，根據(jù)此規(guī)律求解即可；

（2）設(shè)這個兩位數(shù)的十位數(shù)字為b,根據(jù)圖3,利用十位數(shù)字與個位數(shù)字的乘積的2倍的關(guān)

系列出方程用a表示出b,然后寫出即可.

解得b=5,

所以，這個兩位數(shù)是10X5+a=a+50.

故答案為：a+50.

【點評】本題是對數(shù)字變化規(guī)律的考查，仔細(xì)觀察圖形，觀察出前兩行的數(shù)與兩位數(shù)的H立

和個位上的數(shù)字的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

8.（2015?于洪區(qū)一模）如圖1,在aABC中，NACB為銳角，點D為射線BC上一點，連接

AD,以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF.

（1）如果AB=AC,NBAC=90°,

①當(dāng)點D在線段BC上時（與點B不重合），如圖2,線段CF、BD所在直線的位置關(guān)系為3

宜，線段CF、BD的數(shù)量關(guān)系為相等；

②當(dāng)點D在線段BC的延長線上時，如圖3,①中的結(jié)論是否仍然成立，并說明理由；

(2)如果ABWAC,NBAC是銳角，點D在線段BC上，當(dāng)NACB滿足什么條件時，CF±BC

(點C、F不重合)，并說明理由.

【考點】KD：全等三角形的判定與性質(zhì).

【專題】16：壓軸題；26：開放型.

【分析】(1)當(dāng)點D在BC的延長線上時①的結(jié)論仍成立.由正方形ADEF的性質(zhì)可推出△

DAB絲ZXFAC,所以CF=BD,ZACF=ZABD.結(jié)合NBAC=90。，AB=AC,得至U/BCF=/ACB+/

ACF=90°.即CF_LBD.

(2)當(dāng)/ACB=45。時，過點A作AGAC交CB的延長線于點G,則/GAC=90。，可推出NACB=

ZAGC,所以AC=AG,由(1)①可知CF_LBD.

【解答】證明：(1)①正方形ADEF中，AD=AF,

VZBAC=ZDAF=90°,

AZBAD=ZCAF,

又：AB=AC,

/.△DAB^AFAC,

，CF=BD,ZB=ZACF,

/ACB+/ACF=90°,EPCF1BD.

②當(dāng)點D在BC的延長線上時①的結(jié)論仍成立.

由正方形ADEF得AD=AF,ZDAF=90度.

VZBAC=90°,

/.ZDAF=ZBAC,

，/DAB=NFAC,

又：AB=AC,

.二△DAB也△FAC,

；.CF=BD,ZACF=ZABD.

VZBAC=90°,AB=AC,

/ABC=45°,

ZACF=45°,

AZBCF=ZACB+ZACF=90度.

即CF1BD.

(2)當(dāng)NACB=45。時，CF±BD(如圖).

理由：過點A作AG_LAC交CB的延長線于點G,

則/GAC=90。，

：/ACB=45。，ZAGC=90°-ZACB,

AZAGC=90--45°=45°,

；./ACB=/AGC=45°,

；.AC=AG,

VZDAG=ZFAC（同角的余角相等），AD=AF,

.".△GAD^ACAF,

AZACF=ZAGC=45°,

ZBCF=ZACB+ZACF=450+45°=90°,即CF±BC.

【點評】本題考查三角形全等的判定和直角三角形的判定，判定兩個三角形全等的一般方法

有：SSSsSAS,ASA、AAS、HL.判定兩個三角形全等，先根據(jù)已知條件或求證的結(jié)論確定

三角形，然后再根據(jù)三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件.

9.(2013?河南)如圖1,將兩個完全相同的三角形紙片ABC和DEC重合放置，其中NC=90。,

ZB=ZE=3O°.

(1)操作發(fā)現(xiàn)

如圖2,固定△ABC,使aDEC繞點C旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點D恰好落在AB邊上時，填空：

①線段DE與AC的位置關(guān)系是DE〃AC；

②設(shè)aBDC的面積為SvAAEC的面積為S2,則Si與S2的數(shù)量關(guān)系是SjS2.

圖1圖2

(2)猜想論證

當(dāng)4DEC繞點C旋轉(zhuǎn)到如圖3所示的位置時，小明猜想(1)中Si與S2的數(shù)量關(guān)系仍然成立,

并嘗試分別作出了aBDC和AAEC中BC、CE邊上的高，請你證明小明的猜想.

(3)拓展探究

已知NABC=60。，點D是角平分線上一點，BD=CD=4,DE〃AB交BC于點E(如圖4).若在

射線BA上存在點F,使SADCF=SABDE.請直接寫出相應(yīng)的BF的長.

B

【考點】KD：全等三角形的判定與性質(zhì).

【專題】152：幾何綜合題；16:壓軸題.

【分析】（1）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AC=CD,然后求出4ACD是等邊三角形，根據(jù)等邊三角

形的性質(zhì)可得NACD=60。，然后根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行解答；

②根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AC=AD,再根據(jù)直角三角形30。角所對的直角邊等于斜邊的一

半求出AC=」SB,然后求出AC=BD,再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出點C到AB的距離等于點

2

D到AC的距離，然后根據(jù)等底等高的三角形的面積相等解答；

（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BC=CE,AC=CD,再求出NACN=/DCM,然后利用“角角邊"證明

△ACN和ADCM全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AN=DM,然后利用等底等高的三角

形的面積相等證明；

（3）過點D作DFi〃BE,求出四邊形BEDFi是菱形，根據(jù)菱形的對邊相等可得BE=DFV然

后根據(jù)等底等高的三角形的面積相等可知點％為所求的點，過點D作DFz^BD,求出/

F1DF2=6O°,從而得到△DF1F2是等邊三角形,然后求出DF1=DF2,再求出NCDFI=NCDF2,利

用“邊角邊"證明^CDFi和ACDF2全等，根據(jù)全等三角形的面積相等可得點F2也是所求的點,

然后在等腰4BDE中求出BE的長，即可得解.

【解答】解：（1）①?；△口￡（：繞點C旋轉(zhuǎn)點D恰好落在AB邊上，

；.AC=CD,

,/ZBAC=900-ZB=90°-30°=60°,

.,.△ACD是等邊三角形，

.,?ZACD=60",

XVZCDE=ZBAC=60°,

AZACD=ZCDE,

；.DE〃AC；

②：/B=30。，ZC=90°,

;.CD=AC=XAB,

2

，BD=AD=AC,

根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，4ACD的邊AC、AD上的高相等，

.".△BDC的面積和4AEC的面積相等（等底等高的三角形的面積相等），

即Si=S2；

故答案為：DE〃AC；S產(chǎn)S2;

(2)如圖,：△口￡(：是由aABC繞點C旋轉(zhuǎn)得到，

ABC=CE,AC=CD,

,/ZACN+ZBCN=90°,ZDCM+ZBCN=180°-90°=90°,

ZACN=ZDCM,

?.,在4ACN和△DCM中，

fZACN=ZDCM

<NCMD=/N=90°，

,AC=CD

.".△ACN^ADCM(AAS),

，AN=DM,

/.△BDC的面積和4AEC的面積相等(等底等高的三角形的面積相等),

即Si=S2;

(3)如圖，過點D作DFi〃BE,易求四邊形BEDFi是菱形，

所以BE=Dh，且BE、DFi上的高相等,

此時SADCFI=SABDES

過點D作DF2_LBD,

VZABC=60",FiD〃BE,

",,

..ZF2F1D=ZABC=60,

；BFI=DFI，ZFiBD=XZABC=30°,NF2DB=90°,

2

ZF1DF2=ZABC=60°,

*".△DF1F2是等邊三角形，

/.DFI=DF2,

VBD=CD,/ABC=60。，點D是角平分線上一點，

ZDBC=ZDCB,X60°=30°,

2

NCDFi=180°-ZBCD=1800-30o=150",

ZCDF2=360°-150°-60°=150°,

.,.ZCDF1=ZCDF2>

,在ACDFI和aCDF2中，

,

DF1=DF2

<ZCDF^ZCDFg,

,CD=CD

/?△CDFi^ACDFz(SAS),

.?.點F2也是所求的點，

?；/ABC=60。，點D是角平分線上一點，DE〃AB,

，ZDBC=ZBDE=ZABD=J-X60-=30°,

2

又：BD=4,

BE=LX44-COS300=24-F—我,

223

BFi=^Z^.,BF2=BFI+FIF2=-^Z1.+^Z^：^2Z1,)

3333

故BF的長為士/氧生巨.

33

A

（3）題圖

【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積，等邊三角形的判定與性質(zhì)，

直角三角形30。角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，熟練掌握等底等高的三角形的面積

相等，以及全等三角形的面積相等是解題的關(guān)鍵，（3）要注意符合條件的點F有兩個.

10.（2005?揚(yáng)州）（本題有3小題，第（1）小題為必答題，滿分5分；第（2）、（3）小題

為選答題，其中，第（2）小題滿分3分，第（3）小題滿分6分，請從中任選1小題作答,

如兩題都答，以第（2）小題評分.）

在^ABC中，ZACB=90°,AC=BC,直線MN經(jīng)過點C,且AD_LMN于D,BE_LMN于E.

（1）當(dāng)直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時，求證：

?△ADC^ACEB；②DE=AD+BE；

（2）當(dāng)直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，求證：DE=AD-BE；

（3）當(dāng)直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時，試問DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請

寫出這個等量關(guān)系，并加以證明.

注意：第（2）、（3）小題你選答的是第2小題.

【考點】KD：全等三角形的判定與性質(zhì).

【專題】14:證明題；16:壓軸題；2B:探究型.

【分析】（1）根據(jù)已知可利用AAS證明①aADC會aCEB,由此可證②DE=AD+BE；

（2）根據(jù)已知可利用AAS證明aADC絲4CEB,由此可證DE=AD-BE；

（3）根據(jù)已知可利用AAS證明△ADCg4CEB,由此可證DE=BE-AD.

【解答】證明：（1）@VZADC=ZACB=ZBEC=90°,

/.ZCAD+ZACD=90°,ZBCE+ZCBE=90°,ZACD+ZBCE=90°.

.??ZCAD=ZBCE.

VAC=BC,

.,?△ADC^ACEB.

②?.?△ADCgaCEB,

；.CE=AD,CD=BE.

；.DE=CE+CD=AD+BE.

解：(2)VZADC=ZCEB=ZACB=90",

.".ZACD=ZCBE.

又：AC=BC,

.".△ACD^ACBE.

；.CE=AD,CD=BE.

.*.DE=CE-CD=AD-BE.

(3)當(dāng)MN旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時，AD,DE、BE所滿足的等量關(guān)系是DE=BE-AD(或AD=BE

-DE,BE=AD+DE等).

ZADC=ZCEB=ZACB=90°,

AZACD=ZCBE,

又：AC=BC,

.".△ACD^ACBE,

，AD=CE,CD=BE,

；.DE=CD-CE=BE-AD.

【點評】本題重點考查了三角形全等的判定定理，普通兩個三角形全等共有四個定理，即

AAS、ASA、SAS、SSS,直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA,無法證明三角形全等，再

根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等得出結(jié)論.

11.(2014春?金牛區(qū)期末)若(x2+px--)(x2-3x+q)的積中不含x項與x，項，

3

(1)求p、q的值；

(2)求代數(shù)式(-2p2q)2+(3pq)的值.

【考點】4B：多項式乘多項式.

【分析】(1)形開式子，找出x項與x3令其系數(shù)等于0求解.

(2)把p,q的值入求解.

【解答】解：(1)(x2+px--)(x2-3x+q)=x4+(p-3)x3+(q-3p--)x2+(qp+1)x+q,

33

???積中不含X項與X3項，

/.P-3=0?qp+l=0

??p—3,q———,

3

(2)(-2p2q)2+(3pq)一加2°，2。14

11-1120121

=[-2X32X(-1)]2+[3X3X(4)]+[3X(4)]x2

O000

=36--1_+A_

39

=35工.

9

【點評】本題主要考查了多項式乘多項式，解題的關(guān)鍵是正確求出p,q的值

12.(2013?張家界)閱讀材料：求1+2+22+23+24+...+2283的值.

解：設(shè)S=l+2+22+23+24+...+22°i2+22°i3,將等式兩邊同時乘以2得：

2S=2+22+23+24+25+...+22013+22014

將下式減去上式得2S-S=22014-1

即s=22014-1

即l+2+22+23+24+...+2Z013=22014-1

請你仿照此法計算：

(1)1+2+22+23+24+...+210

(2)1+3+32+33+34+...+3"(其中n為正整數(shù)).

【考點】46：同底數(shù)幕的乘法.

【專題】11：計算題.

【分析】(1)^S=l+2+22+23+24+...+210,兩邊乘以2后得到關(guān)系式，與己知等式相減，變形

即可求出所求式子的值；

(2)同理即可得到所求式子的值.

【解答】解：(1)設(shè)S=l+2+22+23+24+...+2i0,

將等式兩邊同時乘以2得：2S=2+22+23+24+...+210+2n,

將下式減去上式得：2S-S=2n-1,即S=2i—1,

則l+2+21+^+^+...+2L0=2Li-1；

(2)S=l+3+32+33+34+...+3n?,

兩邊同時乘以3得：3s=3+32+33+34+...+3"+3”1②，

②-①得：3$-0=3也-1,即$=工(3日-1),

2

則l+3+32+33+34+...+3n=i(3ntl-1).

2

【點評】此題考查了同底數(shù)累的乘法，弄清題中的技巧是解本題的關(guān)鍵.

13.(2015春?蘇州期末)記M(D=-2,M(2)=(-2)X(-2),M(3)=(-2)X(-2)

X(-2),...Mn)=(-2)X(-2)X-X(-2)

n個-2相乘.

(1)計算：M<5)+M<6>；

(2)求2M<2015)+M<2016)的值：

(3)說明2M<n>與M"互為相反數(shù).

【考點】46：同底數(shù)基的乘法.

【專題】23:新定義.

【分析】(1)根據(jù)M⑹=(-2)X(-2)X…X(-2)，可得M?，M，6”；根據(jù)有理數(shù)的加

n個-2相乘.

法，可得答案；

(2)根據(jù)乘方的意義，可得M,2015”M.2016),根據(jù)有理數(shù)的加法，可得答案；

(3)根據(jù)乘方的意義，可得Mg,M根據(jù)有理數(shù)的加法，可得答案.

56

【解答】解：(1)M,5)+M<6)=(-2)+(-2)=-32+64=32；

2015201620152016

(2)2Mi2oi5)+M,2oi6)=2義(-2)+(-2)=-(-2)X(-2)+(-2)=

-(-2)2016+(-2)2016=0；

nnln<1n+1

(3)2M,n)+M<n+i>=-(-2)X(-2)+(-2)=-(-2)+(-2)=0,

，2Mn與Mtnn)互為相反數(shù).

【點評】本題考查了同底數(shù)幕的乘法，利用了同底數(shù)基的乘法，相反數(shù)的性質(zhì)：互為相反數(shù)

的和為零.

14.(2015?荊州)如圖1,在正方形ABCD中，P是對角線BD上的一點，點E在AD的延長

線上，且PA=PE,PE交CD于F.

(1)證明:PC=PE；

(2)求/CPE的度數(shù)；

(3)如圖2,把正方形ABCD改為菱形ABCD,其他條件不變，當(dāng)NABC=120。時，連接CE,

試探究線段AP與線段CE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

【考點】LE：正方形的性質(zhì)；KD：全等三角形的判定與性質(zhì)；L8：菱形的性質(zhì).

【專題】14：證明題.

【分析】(1)先證出4ABP之ZsCBP,得PA=PC,由于PA=PE,得PC=PE；

(2)由4ABP絲ZXCBP,得NBAP=NBCP,進(jìn)而得/DAP=/DCP,由PA=PC,得到/DAP=/E,

ZDCP=ZE,最后NCPF=/EDF=90。得到結(jié)論；

(3)借助(1)和(2)的證明方法容易證明結(jié)論.

【解答】(1)證明：在正方形ABCD中，AB=BC,

ZABP=ZCBP=45°,

SAABP和4CBP中，

fAB=BC

<ZABP=ZCBP>

PB=PB

.".△ABP^ACBP(SAS),

；.PA=PC,

VPA=PE,

PC=PE；

(2)由(1)知，AABP^ACBP,

；.NBAP=NBCP,

/.ZDAP=ZDCP,

VPA=PE,

AZDAP=ZE,

.".ZDCP=ZE,

VZCFP=ZEFD(對頂角相等)，

180°-ZPFC-ZPCF=180°-ZDFE-ZE,

EPZCPF=ZEDF=90°；

(3)在菱形ABCD中，AB=BC,ZABP=ZCBP=60o,

在4ABPflACBP中，

rAB=BC

<NABP=NCBP，

PB=PB

.".△ABP^ACBP(SAS),

，PA=PC,/BAP=NBCP,

VPA=PE,

，PC=PE,

.,?ZDAP=ZDCP,

VPA=PC,

.".ZDAP=ZAEP,

AZDCP=ZAEP

VZCFP=ZEFD(對頂角相等)，

.?.1800-ZPFC-ZPCF=180°-ZDFE-ZAEP,

即NCPF=/EDF=180°-ZADC=180°-120°=60°,

.?.△EPC是等邊三角形，

；.PC=CE,

.?.AP=CE.

【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，等邊對等角的

性質(zhì)，熟記正方形的性質(zhì)確定出NABP=/CBP是解題的關(guān)鍵.

15.(2013?張家界)如圖，/XABC中，點。是邊AC上一個動點，過。作直線MN〃BC.設(shè)

MN交NACB的平分線于點E,交/ACB的外角平分線于點F.

(1)求證：OE=OF；

(2)若CE=12,CF=5,求OC的長；

(3)當(dāng)點O在邊AC上運(yùn)動到什么位置時，四邊形AECF是矩形？并說明理由.

BCD

【考點】LC：矩形的判定；JA：平行線的性質(zhì)；KJ：等腰三角形的判定與性質(zhì)；KP：直角三

角形斜邊上的中線.

【專題】16:壓軸題.

【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)得出N1=N2,Z3=Z4,進(jìn)而得出答案;

（2）根據(jù)已知得出N2+N4=N5+/6=90。，進(jìn)而利用勾股定理求出EF的長，即可得出CO

的長；

（3）根據(jù)平行四邊形的判定以及矩形的判定得出即可.

【解答】（1）證明：