PAGEPAGE5【步步高】〔浙江專用〕2023年高考數(shù)學(xué)專題三三角函數(shù)第25練三角函數(shù)的綜合應(yīng)用練習(xí)訓(xùn)練目標(biāo)(1)三角函數(shù)圖象、性質(zhì)的應(yīng)用；(2)三角函數(shù)與解三角形的綜合.訓(xùn)練題型(1)討論函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋k的圖象、性質(zhì)；(2)三角變換和三角函數(shù)的結(jié)合；(3)三角函數(shù)與解三角形.解題策略(1)討論三角函數(shù)的性質(zhì)，可先進(jìn)行三角變換，化成y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式或復(fù)合函數(shù)；(2)解題中貫穿整體代換、數(shù)形結(jié)合思想；(3)三角函數(shù)和解三角形的綜合問題，一定要結(jié)合正弦、余弦定理，利用三角形中的邊角關(guān)系.1．函數(shù)f(x)＝eq\r(3)sin(ωx＋φ)(ω>0，－eq\f(π,2)≤φ<eq\f(π,2))的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(π,3)對稱，且圖象上相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)的距離為π.(1)求ω和φ的值；(2)假設(shè)f(eq\f(α,2))＝eq\f(\r(3),4)(eq\f(π,6)<α<eq\f(2π,3))，求cos(α＋eq\f(3π,2))的值．2．在銳角△ABC中，兩向量p＝(2－2sinA，cosA＋sinA)，q＝(sinA－cosA,1＋sinA)，且p與q是共線向量．(1)求A的大?。?2)求函數(shù)y＝2sin2B＋cos(eq\f(C－3B,2))取最大值時(shí)，B的大小．3．函數(shù)f(x)＝sin(x－eq\f(π,6))＋cos(x－eq\f(π,3))，g(x)＝2sin2eq\f(x,2).(1)假設(shè)α是第一象限角，且f(α)＝eq\f(3\r(3),5)，求g(α)的值；(2)求使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合．4．(2023·襄陽四中、龍泉中學(xué)、宜昌一中、荊州中學(xué)四校聯(lián)考)函數(shù)f(x)＝a·b＋eq\f(1,2)，其中a＝(eq\r(3)sinx－cosx，－1)，b＝(cosx,1)．(1)求函數(shù)f(x)的最大值和最小正周期；(2)設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別是a、b、c，且c＝3，f(C)＝0，假設(shè)sin(A＋C)＝2sinA，求a、b的值．

答案解析1．解(1)因?yàn)閒(x)的圖象上相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)的距離為π，所以f(x)的最小正周期T＝π，從而ω＝eq\f(2π,T)＝2.又因?yàn)閒(x)的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(π,3)對稱，所以2·eq\f(π,3)＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z.由－eq\f(π,2)≤φ<eq\f(π,2)得k＝0，所以φ＝eq\f(π,2)－eq\f(2π,3)＝－eq\f(π,6).(2)由(1)得f(eq\f(α,2))＝eq\r(3)·sin(2·eq\f(α,2)－eq\f(π,6))＝eq\f(\r(3),4)，所以sin(α－eq\f(π,6))＝eq\f(1,4).由eq\f(π,6)<α<eq\f(2π,3)得0<α－eq\f(π,6)<eq\f(π,2)，所以cos(α－eq\f(π,6))＝eq\r(1－sin2(α－\f(π,6)))＝eq\r(1－(\f(1,4))2)＝eq\f(\r(15),4).因此cos(α＋eq\f(3π,2))＝sinα＝sin[(α－eq\f(π,6))＋eq\f(π,6)]＝sin(α－eq\f(π,6))coseq\f(π,6)＋cos(α－eq\f(π,6))sineq\f(π,6)＝eq\f(1,4)×eq\f(\r(3),2)＋eq\f(\r(15),4)×eq\f(1,2)＝eq\f(\r(3)＋\r(15),8).2．解(1)∵p與q是共線向量，∴(2－2sinA)(1＋sinA)－(cosA＋sinA)(sinA－cosA)＝0，∴sin2A＝eq\f(3,4)，sinA＝eq\f(\r(3),2)，∵△ABC為銳角三角形，∴A＝60°.(2)y＝2sin2B＋cos(eq\f(C－3B,2))＝2sin2B＋cos(eq\f(180°－B－A－3B,2))＝2sin2B＋cos(2B－60°)＝1－cos2B＋cos(2B－60°)＝1－cos2B＋cos2Bcos60°＋sin2Bsin60°＝1－eq\f(1,2)cos2B＋eq\f(\r(3),2)sin2B＝1＋sin(2B－30°)，當(dāng)函數(shù)取最大值2時(shí)，2B－30°＝90°，即B＝60°.3．解f(x)＝sin(x－eq\f(π,6))＋cos(x－eq\f(π,3))＝eq\f(\r(3),2)sinx－eq\f(1,2)cosx＋eq\f(1,2)cosx＋eq\f(\r(3),2)sinx＝eq\r(3)sinx，g(x)＝2sin2eq\f(x,2)＝1－cosx.(1)由f(α)＝eq\f(3\r(3),5)得sinα＝eq\f(3,5).又α是第一象限角，所以cosα>0.從而g(α)＝1－cosα＝1－eq\r(1－sin2α)＝1－eq\f(4,5)＝eq\f(1,5).(2)f(x)≥g(x)等價(jià)于eq\r(3)sinx≥1－cosx，即eq\r(3)sinx＋cosx≥1.于是sin(x＋eq\f(π,6))≥eq\f(1,2).從而2kπ＋eq\f(π,6)≤x＋eq\f(π,6)≤2kπ＋eq\f(5π,6)，k∈Z，即2kπ≤x≤2kπ＋eq\f(2π,3)，k∈Z.故使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合為{x|2kπ≤x≤2kπ＋eq\f(2π,3)，k∈Z}．4．解(1)依題意：m＋n＝(cosA－sinA＋eq\r(2)，cosA＋sinA)，因?yàn)閨m＋n|＝2，所以(cosA－sinA＋eq\r(2))2＋(cosA＋sinA)2＝4，化簡得：sinA＝cosA?tanA＝1，故有A＝eq\f(π,4).(2)依題意，在△ABC中，由正弦定理eq\f(a,sinA)＝2R＝4，所以a＝2eq\r(2)，由余弦定理可得：a2＝b2＋c2－2b·c·cosA，化簡得：c2－2eq\r(2)c－4＝0，解得c＝eq\r(2)＋eq\r(6)(負(fù)值舍去)．5．解(1)f(x)＝a·b＋eq\f(1,2)＝eq\r(3)sinxcosx－cos2x－1＋eq\f(1,2)＝eq\f(\r(3),2)sin2x－eq\f(1,2)(1＋cos2x)－eq\f(1,2)＝sin(2x－eq\f(π,6))－1.f(x)的最大值為0，最小正周期為π.(2)f(C)＝sin(2C－eq\f(π,6))－1＝0，又－eq\f(π,6)<2C－eq\f(π,6)<eq\f