3.2全集與補集

全集與補集

1.全集:在研究某些集合的時候,這些集合往往是某個給定集合的子集,這個給定的集合叫作全集,常用符號U表示.全集含有我們所要研究的這些集合的①全部元素

.文字語言設(shè)U是全集,A是U的一個子集(即A?U),則由U中所有②不屬于

A的元素組成的集合,叫作U中子集A的補集(或余集),記作③

?UA

符號語言?UA=④{x|x∈U,且x?A}

圖形語言

運算性質(zhì)?UA?U,?UU=?,?U?=U,?U(?UA)=A,A∪(?UA)=U,A∩(?UA)=?2.補集知識擴展德·摩根定理(1)交集的補集等于補集的并集:?U(A∩B)=(?UA)∪(?UB).(2)并集的補集等于補集的交集:?U(A∪B)=(?UA)∩(?UB).

判斷正誤,正確的畫“√”,錯誤的畫“?”.1.?UA?U.

(√)2.在全集U中存在某個元素x0,既有x0?A,又有x0??UA.

(

?

)3.記全集U={M社區(qū)市民},A={M社區(qū)跳廣場舞的市民},則?UA={M社區(qū)不跳廣場

舞的市民}.

(√)4.設(shè)全集U=R,A=

,則?UA=

.

(

?)5.設(shè)全集U={(x,y)|x∈R,y∈R},A={(x,y)|x>0且y>0},則?UA={(x,y)|x≤0且y≤0}.(

?

)集合A是坐標(biāo)平面內(nèi)第一象限的點集,由圖形(圖略)知?UA={(x,y)|x≤0或y≤0}.6.根據(jù)研究問題的不同,可以指定不同的全集.

(

√

)全集是一個相對概念,因研究問題的不同而變化,如在實數(shù)范圍內(nèi)解不等式,全集

為實數(shù)集R,而在整數(shù)范圍內(nèi)解不等式,則全集為整數(shù)集Z.

集合的運算方法集合綜合運算的方法及注意點:(1)集合的綜合運算要按題中的順序依次進行.(2)集合運算時要分析集合中元素的特征,根據(jù)這些特征選擇運算的方法,如列舉

法、圖示法(畫數(shù)軸、畫Venn圖)等.(3)涉及含字母的集合時,要注意該集合是不是空集.(1)設(shè)U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={3,4,5},B={4,7,8},則(?UA)∪(?UB)=

;(2)設(shè)全集為R,A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10},則(?RA)∩B=

;(3)設(shè)全集U={x|x是三角形},A={x|x是銳角三角形},B={x|x是鈍角三角形},則?U(A

∪B)=

.思路點撥確定集合中元素的特征

選擇集合運算的方法

依次進行集合運算.解析(1)因為?UA={1,2,6,7,8},?UB={1,2,3,5,6},所以(?UA)∪(?UB)={1,2,3,5,6,7,8}.(2)集合A,B在數(shù)軸上表示如下:由圖知,?RA={x|x<3或x≥7},所以(?RA)∩B={x|2<x<3或7≤x<10}.(3)因為三角形分為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形,A∪B={x|x是銳角三

角形或鈍角三角形},所以?U(A∪B)={x|x是直角三角形}.答案(1){1,2,3,5,6,7,8}(2){x|2<x<3或7≤x<10}(3){x|x是直角三角形}

對集合進行運算時要注意以下幾點:(1)求集合的補集時要關(guān)注全集的范圍;(2)利用數(shù)軸對集合進行運算時,要對端點單獨進行思考,防止出現(xiàn)端點判斷錯誤的情況.求集合中元素的個數(shù)

解決集合中元素個數(shù)問題的常見策略:(1)Venn圖法,即將各集合用Venn圖表示,借助圖形分析各集合間的關(guān)系,從而得到

各集合的元素個數(shù).(2)公式法,此法主要利用德·摩根定理直接求出集合中元素的個數(shù).50名學(xué)生參加甲、乙兩項體育活動,每人至少參加一項,參加甲項活動的學(xué)生有3

0名,參加乙項活動的學(xué)生有25名,則僅參加一項活動的學(xué)生人數(shù)為

(B)A.50B.45C.40D.35信息提取①50名學(xué)生,每人至少參加甲、乙兩項體育活動中的一項;②參加甲項活動的學(xué)

生有30名,參加乙項活動的學(xué)生有25名.數(shù)學(xué)建模以參加體育活動的人數(shù)為背景,將實際問題轉(zhuǎn)化為求集合中元素的個數(shù)問題.先

轉(zhuǎn)化為集合語言,再利用Venn圖分析解決問題.解析設(shè)A,B分別表示參加甲項、乙項體育活動的學(xué)生的集合,則集合A有30個元

素,集合B有25個元素,A∪B有50個元素,設(shè)A∩B中元素的個數(shù)為x.由Venn圖可知,

A∪B的元素有三部分:(1)屬于集合A但不屬于集合B的元素有(30-x)個;(2)屬于集

合B但不屬于集合A的元素有(25-x)個;(3)A、B的公共元素有x個,所以(30-x)+(25

-x)+x=50,解得x=5,所以僅參加一項活動的學(xué)生人數(shù)為50-x=45.答案

B利用集合的運算性質(zhì)求參數(shù)的值或范圍由集合的運算性質(zhì)求解參數(shù)問題的方法:(1)當(dāng)集合中元素個數(shù)有限時,可結(jié)合定義與集合知識求解;(2)當(dāng)集合中元素是連續(xù)實數(shù)時,一般利用數(shù)軸分析法求解.

已知A={x|-1<x≤3},B={x|m≤x<1+3m}.(1)當(dāng)m=1時,求A∪B;(2)若B??RA,求實數(shù)m的取值范圍.思路點撥(1)將m=1代入集合B中

求出A∪B.(2)當(dāng)B=?時,列不等式求出m的取值范圍

當(dāng)B≠?時,列不等式組求出m的取值范圍

確定m最終的取值范圍.解析(1)當(dāng)m=1時,B={x|1≤x<4},∴A∪B={x|-1<x<4}.(2)由題得?RA={x|x≤-1,或x>3}.當(dāng)B=?時,即m≥1+3m,得m≤-

,滿足B??RA;當(dāng)B≠?時,要使B??RA成立,則

或

解得m>3.綜上可知,實數(shù)m的取值范圍是

m

m>3,或m≤-

.

解決含參數(shù)的集合運算問題時,一要注意忽視空集導(dǎo)致解題錯誤;二要注意列不

等式時,忽視不等式是否帶等號導(dǎo)致解題錯誤.

已知?RA={x|x≤-1或x≥1},B={x|x≤a}.(1)若A∩B=?,求a的取值范圍;(2)若A∪B={x|x<1},求a的取值范圍.思路點撥利用數(shù)軸可以直觀、形象地表示出集合A,B,從而求出a的取值范圍.解析由題知,A={x|-1<x<1}.(1)如圖所示,A={x|-1<x<1},B={x|x≤