第4章電路暫態(tài)分析這一章主要討論RC、RL、RLC電路的暫態(tài)分析，即一階電路和二階電路分析。一階電路：只含有一個動態(tài)元件的線性電路，用一階線性、常系數(shù)微分方程來描述的電路。二階電路：用二階微分方程來描述的電路。

在暫態(tài)分析中，要用第一章的內(nèi)容，即電容電流為有限值時，則電容電壓不能突變。電感電壓為有限值時，電感電流不能突變。4.1電壓、電流初始值和終止值的計算

i(0),u(0),du/dt(t=0),di/dt(t=0)i和uR2躍變的原因是，電阻上的電壓和電流之間的關(guān)系為線性關(guān)系：u=i·R而C：;L:

綜上所述：在換路的瞬間(t=0),電容的電壓和電感的電流都不能突變應(yīng)保持原值，稱為連續(xù)性原理（在ic有界，ul有界時）。在換路時：例：求開關(guān)K閉合1、電流、電壓的初始值及

2、t=∞的穩(wěn)態(tài)值。已知：K閉合前電容、電感均無貯能。解：由已知條件可得：

uc(0-)=0,i3(0-)=0例2、求t=0，t=∞時各電壓、電流。已知：電路原已穩(wěn)定.解：t=0-時等效電路4.2

零輸入響應(yīng)（Zeroinputresponse）零輸入響應(yīng)：電路在沒有外加輸入時的響應(yīng)，僅由于非零初始狀態(tài)所引起的響應(yīng)。4.2.1RC電路的零輸入響應(yīng)（RC—CircuitZeroinputresponse）假設(shè)電容器C在t=0時刻已充滿電，且uc（0-）=Uo。即t=0時，K1開，K2閉。

這是一個帶有初始條件的一階線性齊次常微分方程。由數(shù)學(xué)知識可知：該微分方程的解具有下列形式：

uc=AestS、A為待定常數(shù)將上式代入微分方程RCSAest+Aest=0,Aest（RCS+1）=0∵Aest≠0故有

積分常數(shù)A，由初始條件來確定

uc(0)=Aeo=Uo∴A=UoS為特征方程根固有頻率

由以上可知：uc、uR、ic都是按同樣的指數(shù)規(guī)律變化的，故在R>0時，uc、ic、uR均按指數(shù)規(guī)律不斷衰減，最后到0。t0τ2τ3τ4τ5τ………∞ucUo0.368Uo0.135Uo0.05Uo0.018Uo0.007Uo……0RC電路的零輸入響應(yīng)是電容電壓的初始值U0和RC來確定。4.2.2RL電路的零輸入響應(yīng)(RL—CircuitZero—inputResponse)令時間常數(shù)(單位為s)

t≥o;t≥o

零輸入響應(yīng)是由非零初狀態(tài)產(chǎn)生的，它取決于電路的初始狀態(tài)和電路的特性。4.3

零狀態(tài)響應(yīng)（ZeroStateResponse）零狀態(tài)響應(yīng)即零初始狀態(tài)響應(yīng)，這是在零初始狀態(tài)下，在初始時刻僅由施加于電路的輸入所產(chǎn)生的響應(yīng)。顯然，這一響應(yīng)只與輸入有關(guān)。（只討論直流輸入）uc（0）=0或iL（0）=0時的響應(yīng)4.3.1RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)解：由KCL：ic+iR=Is；齊次解（通解）+特解即：uc（t）=uch+ucp輸入為零時的解（齊次解）可設(shè)為:τ=RC

（特解）即：ucp=K代入微分方程得：K=RIs

這是一種方法方法2：求特解可根據(jù)t→∞時電路的狀態(tài)來定∵uc（t）=ucp+uch

t=∞時；

uc（∞）=ucp（∞）+0=IsR

故微分方程的完全解為：uc=úch+ucpuc（o）=A+RIs=o∴A=-RIs

由此可知電容電壓隨時間變化的全貌，它從零值開始按指數(shù)規(guī)律上升趨向于穩(wěn)態(tài)值RIs。故有：t≥ot≥O;t≥O;t≥O

從分析過程中可以看出，在K打開的瞬間，電容器上的電壓為0；但電流變化率最大在微分方程的完全解中的齊次解又稱為固有響應(yīng)，特解為強(qiáng)制響應(yīng)。故：電路的完全響應(yīng)為==固有響應(yīng)分量+強(qiáng)制響應(yīng)分量當(dāng)R>0，輸入為常數(shù)或為周期函數(shù)時：

完全響應(yīng)==暫態(tài)響應(yīng)+穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。4.3.2RL電路的零狀態(tài)響應(yīng)（請同學(xué)們自己看）零狀態(tài)響應(yīng)小結(jié)：1）一般形式2）f（t）取決于uc（∞），iL（∞）和τ值3）R>0時，響應(yīng)，（固有+強(qiáng)制=暫態(tài)+穩(wěn)態(tài)）4）輸入增大K倍，響應(yīng)增大K倍。4.4階躍函數(shù)和階躍響應(yīng)(StepfunctionandstepResponse)單位階躍函數(shù)的意義4.4.2延時單位階躍函數(shù)

有了階躍函數(shù)的定義，我們可以把具有t=0時刻的開關(guān)變化電路改畫成：例：4.4.3單位階躍響應(yīng)零狀態(tài)電路對單位階躍信號的響應(yīng)稱為單位階躍響應(yīng)，用S（t）表示。若設(shè)is（t）=Is·1（t）—表示信號在t≥O時刻加上。則：可以寫成：uc(t)=Is·S(t)例題：已知：p(t)=Is{1(t)-1(t-to)}=p′(t)+p″(t)顯見：p′(t)=Is·1(t);

p″(t)=-Is·1(t-to)4.5RC電路對矩形脈沖的響應(yīng)根據(jù)輸入矩形波的脈沖寬度tp和電路的時間常數(shù)τ，分為RC微分電路和積分電路。4.5.1RC微分電路：（C上無貯能)電路結(jié)構(gòu)如圖所示，構(gòu)成微分電路的條件：由電路可知：我們需要：u1(t)≈uc(t)u1(t)=uc(t)+uR(t)則要：uc(t)>>uR(t)上式即滿足即：要成立∫i(t)·dt>>RC·i(t)∵τ<<tp,即τ很小，RC很小。故：滿足.若i(t)=Is,則Istp>>Is·RC∴u1(t)≈uc(t)即uc(t)>>uR(t)則有：成立,一般情況下作用：突出了輸入信號變化的部分。4.5.2RC積分電路在零初始條件下：要使：u2與u1成積分關(guān)系則有u1≈uR,u1(t)=uc(t)+uR(t)即：uR(t)>>uc(t)只要RC有足夠大上式即可滿足。故有4.6

一階電路的全響應(yīng)4.6.1完全響應(yīng)==零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng)

此微分方程解為：uc(t)=uch(t)+ucp(t)代入初始條件：A+IsR=Uo∴A=Uo-IsR故可得：t≥0當(dāng):Is=0時零輸入當(dāng):Uo=0時零狀態(tài)故上式可寫成：4.6.2完全響應(yīng)==固有響應(yīng)+強(qiáng)制響應(yīng)（有條件的相等）固有（暫態(tài)）

+

強(qiáng)制（穩(wěn)態(tài)）全響應(yīng)==零輸入+零狀態(tài)4.7

一階電路的三要素法指數(shù)曲線由三個值所確定：a.起點，即參考時間（t=0)的縱坐標(biāo)f(0+)點。b.終點，即t=∞時指數(shù)曲線最終將趨近的值f(∞)點。c.由初始點到終點變化的快慢，即時間常數(shù)τ。由零輸入響應(yīng)可得通式:由零狀態(tài)響應(yīng)可知：由全響應(yīng)可知（零輸入+零狀態(tài)）整理得：這就是三要素公式。f=(0+)表示電壓、電流的初始值。f(∞)表示電壓、電流的穩(wěn)態(tài)值。τ…表示時間常數(shù)=RoC或R0----由動態(tài)元件看進(jìn)去的代維南等效電路。例1：已知uc(0)=0，求t≥0時的uc(t)=?代入三要素公式

t≥0例2、（微分方程、三要素法）由KCL（節(jié)點a）得：i1=4-iL

代入下式得：特征方程：∴

S=-7(iLp)K代入微分方程，可知k=4∴i(0)=A+4=0∴A=-4故：t≥0是一個零狀態(tài)響應(yīng)。下面用三要素求解：

已知：iL(0)=0iL(∞)=4A

由三要素公式：求τ，（求Ro）（外加電壓法）例3、已知us(t)=1(t)，且uc(o)=5(v)，求uo(t)，t≥0解：把電路視為二個獨立的部分，分別求解：

∵uo(t)=-0.5×2uc(t)

先求出uc(t)，利用三要素法：uc(o)=5(V)t≥0=-(0.4+4.6e-0.278t)(v)t≥0

例4、已知i（o）=2A，求t>o，u（t）解：這是一個零輸入響應(yīng)，把電路結(jié)構(gòu)換一下。故：iL(t)=2e-2tAt≥0t≥0例5：若t=0-時，電路處于穩(wěn)態(tài)，試求i(t)及u(t)。t>0解：利用三要素法，依題意先求出t=0-時uc(t)，iL(t)求t=∞時值：開關(guān)閉合后，電路變成兩個獨立的部分，2個τ。RC：τ1=100k×1μF=10-1s，RL：故：uc(t)=45e-10t(v)t≥0

iL(t)=-60+[-15+60]e-10+4t(mA)t≥0t≥0t≥04.8二階電路的零輸入響應(yīng)用二階微分方程來描述的電路稱為二階電路。有三種類型：看一個RLC串聯(lián)電路(RLC—SriveseCircuitZeroinputresponse)在電路中以uc為求解對象由數(shù)學(xué)知識可知：此二階方程的解由其特征方程根來定故有特征方程為：顯見這一方程有二個根S1、S2

由于R、L、C參數(shù)不同，S1、S2可能出現(xiàn)三種不同的情況。先討論第一種情況（過阻尼）1、過阻尼：時；即：時S1.S2為不相等的負(fù)實數(shù)微分方程的解答為：其中K1、K2由初始條件確定解得：設(shè)初始條件uc(0)=Voi(0)=0則有：;

t≥0t≥0由：（韋達(dá)定理）*tm的大小決定于電路的參數(shù)。在t=tm時，→uL=0由uL的表達(dá)式：故有：(t=tm)取對數(shù)：

電流的最大值出現(xiàn)在換路的瞬間。整個過程，能量的轉(zhuǎn)換可以用下圖表示。2.Criticallydamped臨界阻尼當(dāng)S1.S2為相等的負(fù)實數(shù)時，當(dāng)

時固有頻率為相等的負(fù)實數(shù)。微分方程解為：∴uc(t)=(K1+K2t)est積分常數(shù)由初始條件確定：uc(0)=Vo,i(0)=0，uc(0)=K1=Vo故有：K1=Vo,K2=-VoSt≥0t≥0t≥0；t≥0

由電路各式可以看出，它們均單調(diào)衰減而最后趨于0，所以仍屬于非振蕩類型。但這是一個臨界點。（振蕩和非振蕩）所以它們的變化曲線類似。3、欠阻尼

(Underdamped)∴S1.2=-а±jωduc(t)=e-аt(AConωdt+BSinωdt)其中：A=K1+K2B=j(K1-K2)式中：；A、B、可由初始條件確定。uc(0)=Voi(0)=0uc(0)=A=Vo[uc(t)=e-аt(AConωdt+BSinωdt)]uc(t)的曲線如下：

當(dāng)電路中R較小時，符合這一條件時是振蕩性的，稱為欠阻尼情況。理想情況R=0。無損耗的：а=0這時兩個特征方程根是虛數(shù)S1=jωo

S2=-jωouc(t)=KCon(ωot-φ)是一個等幅振蕩。由貯能元件確定ωo稱電路的諧振角頻率。а為衰減系數(shù)。ωd——衰減振蕩的角頻率。

習(xí)題課1、求網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)已知：電源作用一階網(wǎng)絡(luò)時所到的響應(yīng)如圖所示。解：（1）看波形：由數(shù)學(xué)上可知：滿足這種關(guān)系的電路是一個純電容元件(2)由波形可知，充放電過程。設(shè)想一種結(jié)構(gòu)（3）從波形上看，輸出電壓在此0點↑3V。能滿足此要求是電感。

∵電感電壓可以躍變.0≤t≤1i(t)=1Au(0+)=3(v)由波形可知∵τ=1s可取R=3Ω；取L=3H

t>1時i(t)=0電感放電。通過R上電流反向。由負(fù)方向衰減到0∵放電時，通過R上電流反向（電感放電以電流的形式）2、求t>0時uo(t)的響應(yīng)，零輸入零狀態(tài)全響應(yīng)。解：uo(t)=uc(t)顯見：uo(0-)=uc(0-)=V2τ=RoC=(1+β)R2·C由三要素法：t≥03、開關(guān)t=0時閉合，閉合前電路處于穩(wěn)態(tài)。在t=100ms時打開。求uab(t)解：t=0-時，電容穩(wěn)態(tài)開路。故uab(0+)=37.5mA×1k+150=187.5(v)t=∞時：100ms≥t≥0顯見100ms>>τ1當(dāng)t=100ms時，由于100ms>τ1，故電路已處于穩(wěn)態(tài)。由前面可知：uc(0.1