第三章向量空間講義1、向量及其運算2、向量組的線性相關(guān)性3、向量組的等價與向量組的秩4、矩陣的秩及其行秩列秩5、向量空間的基§1向量及其運算定義1n個數(shù)組成的有序數(shù)組（a1,a2,…,an）稱為一個n維向量，簡稱向量。

用希臘字母αβγ等來表示向量，其中n為向量的維數(shù)。一般向量看作是列向量,即用αβγ表示列向量,行向量用它們的轉(zhuǎn)置表示。行向量列向量

數(shù)a1,a2,…,an稱為這個向量的分量。ai稱為這個向量的第i個分量或坐標(biāo)。

分量都是實數(shù)的向量稱為實向量；分量是復(fù)數(shù)的向量稱為復(fù)向量。注：向量既有大小也有方向。矩陣與向量的關(guān)系：通常把維數(shù)相同的一組向量簡稱為一個向量組，n維行向量組可以排列成一個s×n分塊矩陣

其中為由A的第i行形成的子塊，稱為A的行向量組。

n維列向量組可以排成一個n×s矩陣

其中為由B的第j行形成的子塊，稱為B的列向量組。

向量的運算

設(shè)k和l為兩個任意的常數(shù)，定義2如果和對應(yīng)的分量都相等，即ai=bi，（i=1,2,…,n）就稱這兩個向量相等，記為

為任意的n維向量，其中定義3向量(a1+b1,a2+b2,…,an+bn)T稱為與的和，記為。向量(ka1,ka2,…,kan)T稱為與k的數(shù)量乘積，簡稱數(shù)乘，記為。

定義4分量全為零的向量稱為零向量，記為向量的減法定義為向量的加法與數(shù)乘具有下列性質(zhì)：定義5與-1的數(shù)乘稱為的負向量，記為滿足（1）—（8）的運算稱為線性運算。其中都是n維向量，都是實數(shù)§2線性相關(guān)與線性無關(guān)

我們把由同維數(shù)的向量所構(gòu)成的集合稱為向量組。如果沒有特別說明，所指的向量組都是n維向量組。則稱向量是向量組A的線性組合，或稱向量能由向量組A線性表示。定義2：給定向量組和向量，如果存在一組實數(shù)使得為向量組A的一個線性組合，稱為這個線性組合的系數(shù)。定義1

設(shè)是一個n維向量組，對數(shù)域F中的一組數(shù)，稱向量

例如：有所以，稱是的線性組合，或可以由線性表示。

問題：1零向量是任何向量的線性組合，為什么？

2任何向量都可由它本身所在的向量組線性表示么？定義3/

向量組稱為線性相關(guān)的，如果存在一組不全為零的數(shù)k1,k2,…,km，使反之，如果只有在k1=k2=…=km=0時上式才成立，就稱線性無關(guān)。定義3向量組，如果該向量組對零向量只有平凡表示，也即對零向量的線性表示方法唯一，則稱向量組線性無關(guān)，否則，稱其線性相關(guān)。例1判斷向量組的線性相關(guān)性。解

令當(dāng)且僅當(dāng)k1=k2=…=kn=0因此線性無關(guān)。對任意的常數(shù)都有例2

討論向量組1=(1,－1,1)T,2=(2,0,－2)T,3=(2,－1,0)T的線性相關(guān)性。解：設(shè)有一組數(shù)1，2，3,使即(1+22+23,－1－3,1－22)T=(0,0,0)T有1+22+23=0－1－3=01－22=011+22+33=解得：3=－1不妨取1=2,得非零解1=2，2=1,3=－2所以，向量組1,2,3

線性相關(guān)。例3設(shè)向量組線性無關(guān)，，，，試證向量組也線性無關(guān)。證設(shè)有k1,k2,k3,使由線性無關(guān)，故有由于滿足k1,k2,k3的取值只有k1=k2=k3=0所以線性無關(guān)。定理1向量組（m≥2）線性相關(guān)的充要條件是其中至少有一個向量能由其他向量線性表示。證設(shè)中有一個向量能由其他向量線性表示，所以線性相關(guān)。不妨設(shè)k1≠0,那么即能由線性表出。如果線性相關(guān)，則存在不全為零的一組數(shù)k1,k2,…,km，例如，向量組是線性相關(guān)的，因為推論：兩個非零向量1

，2線性相關(guān)即1

，2對應(yīng)坐標(biāo)成比例1=k2，(其中k0)定理2設(shè)向量組線性無關(guān)，而向量組線性相關(guān)，則能由向量組線性表示，且表示式是唯一的。證由于線性相關(guān)，就有不全為零的數(shù)k1,k2,…,kt,k，使由線性無關(guān)，得假設(shè)則這與線性相關(guān)矛盾所以設(shè)為兩個表達式。且線性無關(guān)得到l1=h1,l2=h2,…，lt=ht

因此表示式是唯一的。即可由線性表出。定理3若線性相關(guān)，則線性相關(guān)。(部分相關(guān)整體相關(guān))證明因為線性相關(guān)，即存在不全為零數(shù)，使得于是有由于不全為零，所以，線性相關(guān)．證畢．推論1：包含零向量的向量組一定線性相關(guān)推論2：若m個向量1

，2，…，m線性無關(guān)，則其中任一部分也線性無關(guān)。(整體無關(guān)部分無關(guān))(2)如果線性無關(guān)，那么也線性無關(guān)。定理4在r維向量組的各向量添上n-r個分量變成n維向量組。(1)如果線性相關(guān)，那么也線性相關(guān)。證對列向量來證明定理。利用(1)式,用反證法容易證明(2)式也成立。因此,也線性相關(guān),即(1)式成立。如果線性相關(guān),就有一個非零的s1矩陣X,使見書47頁例§3向量組的等價與向量組的秩定義4如果向量組中的每個向量都可以由向量組線性表示，就稱向量組可由線性表示，如果兩個向量組可以互相線性表示，就稱它們等價。若向量組可以由向量組線性表示，則必存在一個矩陣，使得系數(shù)矩陣如果，則C的列向量組可以由A的列向量組線性表示。類似的，C的行向量組可以由B的行向量組線性表示。向量組的等價具有下述性質(zhì)：

(1)反身性：向量組與它自己等價；(2)對稱性:如果向量組與等價，那么也與等價。(3)傳遞性:如果向量組與等價，而向量組又與等價,那么與等價。向量組的極大無關(guān)組定義5(1)1

，2，…，r線性無關(guān)；(2)任取，總有1,2,…,r,線性相關(guān)設(shè)1,2,…,r是某向量組中的

r個向量，若

則稱1,2,…,r為向量組

的一個極大線性無關(guān)組，簡稱極大無關(guān)組。注:

（1）只含零向量的向量組沒有極大無關(guān)組.（2）一個線性無關(guān)向量組的極大無關(guān)組就是其本身。

（3）一個向量組的任一向量都能由它的極大無關(guān)組線性表示

極大無關(guān)組中所含想了個數(shù)r稱為向量組π的秩，記作規(guī)定它的秩為零例如：對于向量組T：1=(1,2,－1),2=(2,－3,1),3=(4,1,－1)1,2

為T

的一個最大無關(guān)組;2,3;1,2,3線性相關(guān)，因為21+2－3=01,3也是T

的最大無關(guān)組。注：一個向量組的極大無關(guān)組一般不是唯一的?？梢姡阂粋€向量組的極大無關(guān)組不一定是唯一的推論秩為r的向量組中任意含r個向量的線性無關(guān)的部分組都是極大無關(guān)組。性質(zhì)3性質(zhì)1一向量組的極大無關(guān)組與向量組本身等價。性質(zhì)2一向量組的任意兩個極大無關(guān)組（若存在）都等價。向量組中的任一向量都可以由它的極大無關(guān)組a1，a2，…

，ar線性表示。容易得到以下結(jié)論性質(zhì)4向量組線性無關(guān)的充要條件是性質(zhì)5向量組線性相關(guān)的充要條件是定理6任意n+1個n維向量必線性相關(guān)。推論當(dāng)m>n（向量個數(shù)大于向量維數(shù)）時,m個n維向量組線性相關(guān)。定理7設(shè)兩個n維向量組的極大無關(guān)組所含向量個數(shù)分別為，如果組可由組線性表示，則。兩個向量組等價的充要條件是它們的極大無關(guān)組等價。定理5因為證明

用反證法假設(shè)因為組可由組線性表示

其中

因為

，

線性相關(guān)即存在不全為零的數(shù)使得

亦即

所以由于

不全為零，線性相關(guān)，與已知矛盾故推論1兩個等價的向量組的極大無關(guān)組所含向量的個數(shù)相等。推論2同一個向量組的兩個極大無關(guān)組所含向量個數(shù)相同。推論3若向量組的一個極大無關(guān)組所含向量個數(shù)為r，則該向量組中任意r個線性無關(guān)的向量都是其極大無關(guān)組。推論4兩個等價的向量組的秩相同。

例5

設(shè)有三個向量組；它們的秩依次為，則例6設(shè)求該向量組的一個極大無關(guān)組。根據(jù)書47頁例4的結(jié)論與有相同的相關(guān)性例7求矩陣A的列向量組的一個極大無關(guān)組，并且把其余的列向量用極大無關(guān)組線性表示。行階梯形矩陣行最簡形矩陣§4矩陣的秩及其行秩列秩定義1在矩陣A=(aij)mn中任選k行和k列，位于這些選定的行和列的交叉點上的k2個元素按原來的順序構(gòu)成的k

階的行列式，稱為A的一個k階子式。顯然，k

≤

min{m,n}。定義2如果非零矩陣A有一個r階子式dr≠0，而所有r+1階子式（如果存在）全為零,則稱dr

是A的一個最高階非零子式，數(shù)r稱為矩陣A的秩，記作R(A)=r特別的，零矩陣的秩為0。顯然的秩為則R(A)=3。R(A)≥r的充要條件是至少有一個r階子式不為零。R(A)≤r的充要條件是所有階數(shù)大于r的子式都為零。設(shè)A=(aij)n×n，則R(A)<n的充要條件是|A|=0。如果

R(A)=r1，

R(B)=r2，則矩陣的秩

為r1＋

r2；矩陣的秩≥r1＋

r2；n階方陣A，即A為可逆矩陣（也稱為滿秩矩陣）易證：定理1矩陣的初等變換不改變矩陣的秩，即若A～B，則R(A)=R(B)。（書證明略）求矩陣秩的方法：

把矩陣用初等（行、列）變換化成行階梯形矩陣，則行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是原來矩陣的秩。例1:求A的秩。

把矩陣的每一行看成一個向量，則矩陣可看作由這些行向量組成（行向量組）；把矩陣的每一列看成一個向量，則矩陣可看作由這些列向量組成（列向量組）。定義3矩陣A的行向量組的秩稱為矩陣的行秩，記作Rr(A)。矩陣A的列向量組的秩稱為矩陣的列秩，記作Rc(A)。定理2矩陣的初等變換不改變矩陣的行秩與列秩。定理3R(A)=Rr(A)=Rc(A)。定理5其中P，Q都是可逆矩陣提示（1）且AnBn=O，則設(shè)，

均為階方陣

，

例3證明§5向量空間的基定義9

設(shè)W是由n維向量構(gòu)成的集合，如果集合W非空，且集合W中的任意兩個向量對加法和數(shù)乘封閉，則稱集合W構(gòu)成一個向量空間。

所謂封閉是指：

顯然由n維向量構(gòu)成的集合

例1在三維幾何空間坐標(biāo)系下所有矢量的坐標(biāo)的集合構(gòu)成一個三維向量空間.

記

例2集合構(gòu)成一個數(shù)域R上的向量空間.

例3集合不構(gòu)成向量空間.

n維向量有著廣泛的實際意義（1）飛機的中心在空中的位置（6個參數(shù)）（2）觀察人的體重（n個參數(shù)）

定義7設(shè)是向量空間W

的r個線性無關(guān)的向量，如果W中的任意向量都可以由線性表示，則稱是W的一組基（W向量組的一個極大線性無關(guān)組）?；蛄?/p>