第四章節(jié)群論在固體物理中應用§4.1點群晶體的對稱性可以用三種形式的幾何變換或操作描述：其中，反演+（真）轉動非真轉動（轉反軸）例：①n重旋轉軸——，n為某些整數(shù)

n=4對稱性的階等于4=h（即對稱群的階）②對稱面

ODCABC4

h=2③對稱中心④旋轉反演軸（轉反軸）

——旋轉和反演的復合操作A'是A的轉反像以上四種對稱要素相應的操作中，空間中至少有一個點保持不動。

對稱中心OABA'定義：由真轉動和非真轉動的各種組合都可保持一個點（原點）的位置不動，稱之點群操作，它們的集合稱為點群。定義：由平移操作和點群操作的各種組合叫作空間群操作，它們的集合稱為空間群。注意：嚴格講：空間群操作，空間每一點都要動，因此，空間對稱操作只有對無限延伸的物體才能進行。一般采用周期性邊界條件解決此類問題。

4.1.1晶體點群的對稱操作晶體具有平移對稱性，因此，晶體中的點群操作受到嚴格限制。晶體中的真轉動是繞某一軸正向（逆時針）轉動某一角度。

即=360o，180o，120o，90o，60o以及它們的組合：240o，270o，300o。

證明n=1,2,3,4,6A和B是（晶格常數(shù)）方向上的兩點陣設繞A點轉動角，則B點轉到B'點設繞B點轉動角，則A點轉到A'點AA'B'B∵轉動后原子點陣應重合，故是一點陣矢量即：，m——整數(shù)由圖可知：

∴∴∴，n=1,2,3,4,6在非真轉動中的角度轉動部分也是如此。

4.1.2立方晶系的群（CubicCrystalSystem）立方晶系的群T群（T，Td，Th）O群（O，Oh）1、O群（OctahedronGroup)

正八面體群對稱元素：3個四度軸：x,y,z軸4個三度軸：oA1，oA2，oA3，oA4軸6個二度軸：oa，ob，oc，od，oe，of不變操作xyzA1A8A7A6A5A4A3A2oabcdef總操作數(shù)為:3×3（四度軸有三個操作）=94×2（三度軸有二個操作）=86×1（二度軸有一個操作）=6

不變操作=1

共有24個真轉動操作。xyzA1A8A7A6A5A4A3A2oabcdef1C1，不動，群元E6C2，繞對邊中點連線轉動180o（2-度對稱）xyzA1A8A7A6A5A4A3A2oabcfdgxyzA1A8A7A6A5A4A3A2oabcfdg8C3，繞對角線轉動120o和240o（3-度對稱）xyzA1A8A7A6A5A4A3A2oabcfdgxyzA1A8A7A6A5A4A3A2oabcfdgxyzA1A8A7A6A5A4A3A2oabcfdg6C4，繞xyz軸轉動90o

（4-度對稱）xyzA1A8A7A6A5A4A3A2oabcfdgxyzA1A8A7A6A5A4A3A2oabcfdgxyzA1A8A7A6A5A4A3A2oabcfdgxyzA1A8A7A6A5A4A3A2oabcfdg3C2，繞xyz軸轉動180o

（2-度對稱）O群有5類，24個群元，有5個不可約表示O群有兩個1-維表示，一個2-維表示，兩個3-維表示。上述表示是O群的個3-維表示2、Oh群

8個全同原子位于立方體的8個頂點O群的24個真轉動，加上中心反演，又有24個非真轉動，因此共有48個操作。共分為10個類。1C1，不動，群元E6C2，繞對邊中點連線轉動180o（2-度對稱）8C3，繞對角線轉動120o和240o（3-度對稱）6C4，繞xyz軸轉動90o

（4-度對稱）3C2，繞xyz軸轉動180o

（2-度對稱）i，關于中心反演6iC2，繞對邊中點連線轉動180o，接著中心反演8iC3，繞對角線轉動120o和240o，接著中心反演6iC4，繞xyz軸轉動90o，接著中心反演3iC2，繞xyz軸轉動180o，接著中心反演xyzA1A8A7A6A5A4A3A2oabcdef3、T群（TetrahedtonGroup，正四面體群)

A2A1A3A4與O群比，少6C4，6C2兩種對稱性1C1，不動，群元E4C3，繞對角線轉動120o（3-度對稱）3C2，繞xyz軸轉動180o

（2-度對稱）4C23，繞對角線轉動240o（3-度對稱）T群有4類，12個群元，有4個不可約表示T群有三個1-維表示，一個3-維表示。4、Th群

T群的12個真轉動，加上中心反演，又有12個非真轉動，因此共有24個操作。共分為8個類。1C1，不動，群元E4C3，繞對角線轉動120o（3-度對稱）3C2，繞xyz軸轉動180o

（2-度對稱）4C23，繞對角線轉動240o（3-度對稱）i，關于中心反演4iC3，繞對角線轉動120o，接著中心反演3iC2，繞xyz軸轉動180o

，接著中心反演4iC23，繞對角線轉動240o，接著中心反演Th群有6個1-維表示，2個3-維表示。4、Td群(兩種原子組成的四方晶體)除T群的12個操作外。還有12個操作：6iC2和6iC4。共24個操作，分為5個類。1C1，不動，群元E8C3，繞對角線轉動120o和240o

（3-度對稱）

T群中4C3和4C23合并成一類3C2，繞xyz軸轉動180o

（2-度對稱）6iC2，繞對邊中點連線轉動180o

，接著中心反演將T群中4C3和4C23合并成一類6iC4，繞對角線轉動90o和270o

，接著中心反演Td群有2個1-維表示，1個2-維表示，2個3-維表示。5個立方體群的相互關系4.1.3點群的符號和圖示

點群的符號有兩種：IS制（也叫Hermann-Mauguin）符號：簡寫IS符號，H.M符號Schoenflies（熊夫利斯符號）符號，簡寫Sch符號

注意：四度反軸不等于四度軸加反演中心C3h六重轉反軸≡六重軸加垂直于它的對稱面

S4四重轉反軸

C3i三重轉反軸≡三重軸加對稱中心

S2

=CS同對稱面

二重轉反軸≡垂直于軸的對稱面

Ci=S11無

一重轉反軸≡對稱中心

C66六重旋轉軸

C44■

四重旋轉軸

C33▲

三重旋轉軸

C22

二重旋轉軸

C11無

一重旋轉軸

CS=S2

m直線或圓圈

對稱面

Ci=S1

1無

對稱中心

Sch.I.S圖示（標記）

對稱要素

晶體具有的對稱操作：Cn：繞晶體主軸作角度的轉動，n＝1，2，3，4，6Dn：具有Cn的對稱晶體，同時存在n根與主軸垂直的2-度軸，n＝2，3，4，6Cnh：具有Cn的對稱晶體，同時具有一個與主軸垂直的水平面作為反射鏡面，n＝1，2，3，4，6，n為偶數(shù)時，Cnh還具有反演操作Cnv：具有Cn的對稱晶體，同時具有包含主軸的豎直平面作為反射鏡面，n＝2，3，4，6Sn：具有n重非正當轉動的對稱晶體，n＝2，3，6n＝3時，S3＝C3h晶體具有的對稱操作：Dnh：具有Dn的對稱晶體，同時具有一個水平面反射鏡面，n＝2，3，4，6Cnv：具有Dn的對稱晶體，同時具有包含主軸的豎直平面作為反射鏡面，n＝2，3立方晶系5種點群：T，Td，Th，O，Oh立方系晶體和六方系晶體等可能具有的最多操作可以查表。一般，對稱性較低的晶體具有的對稱操作要少一些。晶體可能具有的點群操作可構成一個群——晶體的點群，它決定晶體的宏觀對稱性。

可以證明：獨立的點操作對稱要素有：（IS）1，2，3，4，6，I，m，

這8個點對稱要素共有32種組合（見書）。相應地，每種組合的操作構成一個點群，因此，共有32個點群。例如：不可能有垂直于三重軸或六重軸的四垂軸（因為垂直于四重軸的三重軸或六重軸都將“破壞”四重軸的對稱性）

32個晶體點群3