正弦交流電的基本概念23.1正弦交流電的基本概念交流電:大小和方向都周期性變化、在一個周期上的函數(shù)平均值為零。正弦交流電:按正弦規(guī)律變化的交流電。最大值角頻率初相位

i=Imsin(ωt+ψ)ImOiωtψ正弦交流電的三要素瞬時值最大值角頻率初相位3正弦交流電的波形:ωti

Oωti

Oψωti

Oωti

Oψ0＜ψ＜180°－180°＜ψ＜0°ψ=0°ψ=±180°4周期T：變化一周所需要的時間（s）頻率f：1s內(nèi)變化的周數(shù)（Hz）。

角頻率ω：正弦量1s內(nèi)變化的弧度數(shù)。T1f==2π(rad/s)T一、交流電的周期、頻率、角頻率ω=2πfi2πOωtT5常見的頻率值有線通信頻率：300~5000Hz；中國和歐洲國家50Hz，美國、日本60Hz各國電網(wǎng)頻率：高頻加熱設(shè)備頻率：200kHz~300kHz。無線通訊頻率：30kHz~3×104MHz6如果熱效應(yīng)相當Wd=Wa則I是i的有效值。正弦電量的有效值：Wd=RI2TWa=∫Ri2dtT0e、i、uEm、Im、UmE、I、U二、交流電瞬時值、最大值、有效值I=Im√2U=Um√2E=Em√2瞬時值最大值有效值IRRi7i=10sin（1000t+30°）Au=311sin（314t－60°）V相位:

ωt+ψ初相位:ψi

=30°

,

ψu

=－60°相位差:

同頻率的正弦電量的初相位之差。

i=100sin（314t+30）A

u=311sin（314t－60）V

=ψu

－ψi=－60－30=－90相位初相位三、交流電的相位、初相位、相位差8ωti

Oωti

Oωti

Oωti

O0＜＜180°－180°＜

＜0°

=0°=±180°uuuuu

與

i同相位u

超前于

iu

滯后于

iu

與i

反相9ωt

O+1+j

Oψψωωt2ωt1ωt1ωt2(b)正弦交流電(a)旋轉(zhuǎn)矢量3.2正弦交流電的相量表示法+j+1

Oψ

正弦交流電可以用一個固定矢量表示Im最大值相量I有效值相量

Im

I10模輻角代數(shù)式指數(shù)式極坐標式三角式O+1+jψba

p=c(cosψ+jsinψ)一、復(fù)數(shù)的表示方法=ce

jψ=cψOp=a+jb11二、復(fù)數(shù)的運算方法復(fù)數(shù)的運算：加、減、乘、除法。加、減法：A1±A2=(a1±a2)+

j(b1±b2)

乘法:A1A2=c1

c2ψ1＋ψ2設(shè)：

A1=a1＋jb1=c1ψ1A2=a2＋jb2=c2ψ2

≠０=A1A2c1c2ψ1－ψ2除法：12+1O+jψ1e±j90

=

1±90

=±j由于：－jI=Ie

j90=Iejψ·

ej90=Iej(ψ

90)jI1I

jI1則jI=Iej90=Iejψ

·

ej90=Iej(ψ+

90)13(2)相量圖

例

已知i1

=20sin(ωt+60o)A，i2

=10sin(ωt－45o)A。兩者相加的總電流為i，即i=i1

+i2。

(1)求i的數(shù)學(xué)表達式；(2)

畫出相量圖；(3)

說明i的最大值是否等于i1和i2的最大值之和，i的有效值是否等于i1和i2的有效值之和，并說明為什么？解：(1)采用相量運算I1m=2060AA–45I2m=10Im=I1m+I2mA=19.930.9

i=Imsin(ωt+ψ)=19.9sin(ωt+30.9)A+j+1O60°30.9°45°I1mI2mIm14(3)因為i1

+i2的初相位不同，故最大值和有效值之間不能代數(shù)相加。15

例

已知u1和u2的有效值分別為U1=100V，U2=60V，u1超前于u260o，求：(1)總電壓u=u1

+u2的有效值并畫出相量圖；(2)總電壓u與u1及u2的相位差。解：(1)選u1為參考相量U1=1000AA–60U2=60U1+U=U2（100–60=0+60）VV–21.79=140

相量圖1=ψ–ψ12=ψ–ψ2ψUU1U2ψ2ψ2=601=ψ–ψ1=–21.79

–0

=–21.792=ψ–ψ2=–21.79–(–60)=38.21(2)163.3單一參數(shù)交流電路1.電壓、電流的關(guān)系(1)波形圖一、純電阻電路(2)

大小關(guān)系

U

=

RI

Um

=

RImωtOiuU

=

RI如：U=U

0UI則：I=I

0(3)相量關(guān)系：17(2)

平均功率(有功功率):=

UI(1－cos2ωt)∫pdtP

=T10T=UI(W)

(1)

瞬時功率

p=ui=Umsinωt

Imsinωt=UmImsin2ωt

2.功率關(guān)系p≥0——耗能元件。p與

u2和

i2成比例。iOωtPp

u18

例

一只電熨斗的額定電壓UN

=220V，額定功率PN

=500W，把它接到220V的工頻交流電源上工作。求電熨斗這時的電流和電阻值。如果連續(xù)使用1小時，它所消耗的電能是多少？解：UN500PN220IN

==A=2.27AW=PN

t=（500×1）W·h=0.5kW·hIN220UN2.27R

===96.919(1)頻率關(guān)系:同頻率的正弦量;(2)大小關(guān)系:Um

=ωLIm

U

=ωLI

感抗:XL=ωL=U/I

U

=XLI(3)

相位關(guān)系:ψu=

ψi+90°

(4)

相量關(guān)系：1.電壓、電流的關(guān)系二、純電感電路U

=jXLI(5)

波形圖:90°ωtOui(6)

相量圖：U=U則：90I=I

0如：IU20結(jié)論：純電感不消耗能量，只和電源進行能量交換（能量的吞吐）。2.功率關(guān)系

(1)

瞬時功率

ωtOiu取用發(fā)出取用發(fā)出p=ui=Umcosωt

Imsinωt=UIsin2ωtpωtOπ2π22π32π322ππππ(3)

無功功率=XLU2(var)(2)

平均功率(有功功率)

=0T10P=T∫

pdt=UI=XLI2Q21

例

有一電感器,電阻可忽略不計,電感L=0.2H。把它接到220V工頻交流電源上工作，求電感的電流和無功功率？若改接到100V的另一交流電源上，測得電流為0.8A，此電源的頻率是多少？解:(1)接到220V工頻交流電源時XL

=2πfL=62.8U22062.8XLI==A=3.5AQ=UI=20×3.5var=770var(2)接到100V交流電源時XL2πLf==100Hz100U0.8IXL===125221.電壓、電流的關(guān)系三、純電容電路(1)

頻率關(guān)系：同頻率的正弦量;(2)

大小關(guān)系:ωC1Um=Im(3)

相位關(guān)系:ψu

=

ψi

-90°

1ωC容抗:XC=U

=jXLIU

=XC

I(4)

相量關(guān)系:(5)

波形圖:ωC1U=I90°wtOui(6)

相量圖:UI0U=U如I=I

90則23

瞬時功率:

p＞0電容儲存電場能量(電能→電場能量)p＜0電容釋放電場能量(電場能量→電能)Q=UI=XCI2(3)無功功率:U2XC=(var)2.功率關(guān)系(2)平均功率(有功功率)P=0p=UIsin2ωt24

例

今有一只47F的額定電壓為20V的無極性電容器，試問：(1)能否接到20V的交流電源上工作；(2)將兩只這樣的電容器串聯(lián)后接于工頻20V的交流電源上，電路的電流和無功功率是多少？(3)將兩只這樣的電容器并聯(lián)后接于1000Hz的交流電源上，電路的電流和無功功率又是多少？解:故不可以接到

20V的交流電上?！?U=1.414×20V=28.8VUm=(1)(2)C1C2C1+C2C==23.5FQ=UI=20×0.15var=3var12πfCXC

==135.520U所以:135.5XCI==A=0.15A25(3)C=C1+

C2=94FQ=UI=10×5.92var=59.2var12πfCXC

==1.69I==AUXC201.69=5.92A26=〔R+j(XL－XC)〕I一、R、L、C

串聯(lián)電路根據(jù)KVLU=UR

+UL+UC3.4串聯(lián)交流電路=RI+jXLI－jXCI=〔R+j(XL－XC)〕Iu=uR+

uL+

uC復(fù)數(shù)阻抗:Z

Z=R+j(XL－XC)=R+jX=√R2+X2

arctan(X/R)uCuL+uRLCi+++uR270＜＜90°感性電路阻抗角:=arctan(X/R)=ψu－ψi

阻抗:│Z│=√R2+X2

=U/IuCuL+uRLCi+++uRU=UR+UL+UC電壓三角形I

ULUCUCUUX=UL+UCX│Z│R阻抗三角形UR相量圖:U=│Z│IUR=RIUX=XI=(XLXＣ)I28

＝0IURULUCUUCULUCUUX=UL+UCIULUR90＜＜90電路呈阻性電路呈容性29

例3.4.1已知U=12V，

R=3

，XL

=4。求：1

XC

為何值時（XC≠0），開關(guān)S閉合前后，電流I的有效值不變。這時的電流是多少？2

XC為何值時，開關(guān)S閉合前電流I最大，這時的電流是多少？解：1

開關(guān)閉合前后電流I有效值不變，則開關(guān)閉合前后電路的阻抗模相等。R2+XL2R2+(XL

XC)2=故(XL

–

XC)2=XL2ULUCUR＋＋SRjXLjXCIU＋

因

XC≠0，求得XC=2XL=2×4=8|Z|=R2+XL2=32+42=5UI|Z|==2.4A302開關(guān)閉合前，XL

=

XC時，|Z|最小，電流最大，故XC=

XL=4|Z|=R=3UI|Z|==4A31二、阻抗串聯(lián)電路Z=Z1＋Z2

KVL:U=U1＋U2=ZIU=Z1I＋Z2I=(Z1＋Z2)

IIＵ1Ｕ2ＵZ1Z2－＋++=∑Ri＋j∑XiZ=∑Z

i=(R1＋R2)＋j(X1＋X2)＋－＋－32

例3.4.2有一個R、C串聯(lián)的負載，R=6

，

C=159F。由工頻的交流電源通過一段導(dǎo)線向它供電，測得電流為1.76A。已知輸電線的電阻Rl=0.5

，電感Ll=2mH。試求輸電線上的電壓降、負載的電壓、電源的電壓，并畫出向量圖。解:XLW

=2

fLW

=0.6280I=1.76AZW

=RW+jXLW=0.5+j0.628

=0.851.5UW=ZWI=1.451.5V12πfCXC

==2073.3VUL

=ZL

I=36.75ZL

=RjXC=6j20

=20.8873.333U

=ZI=3671.45VZ=ZW+

ZL

=0.5+j0.628+6j20

71.45=20.43ULUWIU71.45°343.5并聯(lián)交流電路Z=Z1∥Z2其中：Z1=R1+

j

XLZ2=R2jXCKCL:R1R2+LCUII1I2Z1Z2I=I1+I2I=UUZ1Z2+)UZU)U=I=Z21Z11+(35

例3.5.1已知交流電路U=220V，R1=20Ω

，R2=40Ω

，XL=157Ω

，XC=114，試求電路的總電流。解法1:39.60=0.86A0U=220VA=1.3675.70I2Z2=U=22040+j157AIj114Ωj157Ω+UI2

I1jXCjXLR1R220j114I1Z1=U=220A0=II1+I2=（1.980+1.3675.7）A1.90=80A3620j114+40+j157Z1Z2Z1+Z2Z==（20j114）（40+j157）80=60+j4311616275.7=25539.639.6I1Z1=U=2550220=0.8639.6A解法2:3710TP=T∫

pdti=Imsinωt

u=Umsin(ωt+)

p=ui=UmImsin(ωt+)sinωt=UIcos

+U

Icos(2ωt+)=UIcos3.6交流電路的功率IP

=

Icos稱為電流的有功分量IZ+－U二、有功功率

IU一、瞬時功率

IP38三、無功功率Q=UIsinIQ=UIsinIQ

——I的無功分量四、視在功率S

=UI

(V·A)

=√P2+Q2PQS

P

=

Scos

Q

=

Ssin

=Ptan功率三角形IQIUIP39SN

=

UNIN

——

額定容量▲有功功率守恒:P=∑Pi=∑UiIicos

i

▲無功功率守恒:Q=∑Q

i=∑UiIisin

i

▲視在功率不守恒:S≠∑S

i=∑UiIi

▲額定視在功率

40

例3.6.1求電路的總有功功率、無功功率和視在功率。已知數(shù)據(jù)注明在圖上。P=UIcos=220×0.86×cos(039.6)W=146WQ=UIsin

=220×0.86×sin(039.6)var=146varS=UI=220×0.86V·A=190V·A

解法1由總電壓總電流求總功率I39.6A80=A+R1

75.7=1.36AI2

I1jXCjXL20?j114?j157?40?=0.861.900U=220R241P=P1+P2=U1I1cos

1+U2I2cos

2=190V·A

S=√P2+Q2Q=Q1+Q2=P1tan1+P2tan2=(411+290)var=121var

解法2由支路功率求總功率=(72+74)W=146W=｛2201.9cos(080)+220

1.36

cos〔0(75.7)〕｝W42由元件功率求總功率P=R1I12+R2I22=(20×1.92+40×1.362)W=146WQ=

XCI12+XLI22=(114×1.92+157×1.362)var=190V·A

S=√P2+Q2=121var

解法343

一、什么是功率因數(shù)功率因數(shù)功率因數(shù)角

純電阻電路的功率因數(shù)為多少？純電感電路的功率因數(shù)為多少？純電容電路的功率因數(shù)為多少？3.7電路的功率因數(shù)有功功率與視在功率的比值

=cosPS44

純電阻電路RLC串聯(lián)電路純電感電路純電容電路電動機空載滿載

日光燈二、常用電路的功率因數(shù)cosj=1cosj=00＜cosj＜

1cosj=0.2~0.3cosj=0.7~0.9cosj=0.5~0.6

三、功率因數(shù)和電路參數(shù)的關(guān)系=arctanXLXCRRZXLXC45四、功率因數(shù)低的害處1.降低了供電設(shè)備的利用率

P=SN

cosjSN——供電設(shè)備的容量例如：SN=1000kV·A，

cos=0.5時，輸出P=?cos=0.9時，輸出P=?2.增加了供電設(shè)備和輸電線路的功率損失

I=P/

(Ucos)當P

一定時，cos↓→I↑→功率損失↑而且線路電壓降落↑46

五、造成功率因數(shù)低的原因(1)大馬拉小車。(2)電感性負載比較多，無功功率多。六、提高功率因數(shù)的辦法并補償電容

U＋－ILRC47

U＋－iLRC1IＵＩ1I2I2I2=I1sin1

I

sinωCU=(tan1

tan)PUC=(tan1

tan)PωU2

I1=P

Ucos1

I=P

UcosI2=ωCU483.8電路中的諧振◆什么叫諧振？在既有電容又有電感的電路中，當電源的頻率和電路的參數(shù)符合一定的條件時，電路總電壓與總電流的相位相同，整個電路呈電阻性?！糁C振時要注意一些什么？某些物理量會達到極大值。◆諧振有幾種？串聯(lián)諧振、并聯(lián)諧振491.諧振的條件及諧振頻率

Z=R+j(XL

XC)=R+jX

當X=0時:Z=R

=0一、串聯(lián)諧振——u與

i

同相位諧振的條件：

諧振頻率：√LC

1ωn=fn=2√LC1+RLC+++UURULUCIωnC1→ωnL=XL=XC50電壓諧振2.串聯(lián)諧振的特點(3)UL=UC→電壓諧振(1)Q

=

0→QL=

QC

0λ=cos

=1(2)L和C

串聯(lián)部分相當于短路

Z=R=│Z│，最小——電路呈現(xiàn)純電阻特性(4)品質(zhì)因數(shù)Q

f=ULUUCU=XLIRI=IURULUC=U+RLC+++UURULUCI+51

例3.8.1下圖為收音機的接收電路，各地電臺所發(fā)射的無線電電波在天線線圈中分別產(chǎn)生各自頻率的微弱的感應(yīng)電動勢e1、e2、e3……調(diào)節(jié)可變電容器，使某一頻率的信號發(fā)生串聯(lián)諧振，從而使該頻率的電臺信號在輸出端產(chǎn)生較大的才輸出電壓，以起到選擇收聽該電臺廣播的目的。今已知L=0.25mH，C在40～350pF之間可調(diào)。求收音機可收聽的頻率范圍。RＬCe1e2e3uo[解]當C=40pF時2√LCf=1=2√0.25×10-3×40×10-121=1592kHz52=2√0.25×10-3×350×10-121所以可收聽的頻率范圍是538～1592kHz。2√LCf=1當C=350pF時：=538kHz53UIRICIL=I二、并聯(lián)諧振×+RCLuiiLiXiCiR1.諧振條件

2.諧振頻率√LC

1ωn=2π√LCf

n=1ωnC1ωnL=XL=XC

i

=

iRiX

=0543.并聯(lián)諧振特點λ=cos

=1(4)品質(zhì)因數(shù)：Q

f=ILIICI=(2)L和C

并聯(lián)部分相當開路

Z=R=│Z│，最大

——電路呈現(xiàn)純電阻特性+RCLuiiLiXiCiR(1)Q

=0

QL=

QC

0(3)IL=IC

電流諧振55

例3.8.1下圖所示電路中，外加電壓含有800Hz和2000Hz兩種頻率的信號，若要濾掉2000Hz的信號，使電阻R上只有800Hz的信號，若L=12mH，C值應(yīng)是多少？

只要使2000Hz的信號在LC并聯(lián)電路中產(chǎn)生并聯(lián)諧振，ZLC→∞，該信號無法通過，R上只有800Hz的信號。4π2f2nLC=14×3.142×20002×12×10-3=1=0.53F解：uRLC563.9非正弦周期信號電路

非正弦周期信號的分解方法？直流分量、交流分量交流分量——諧波諧波：一次諧波、二次諧波、三次諧波……高次諧波：三次諧波及三次以上的諧波。非正弦周期信號有效值的計算方法？非正弦周期信號電路的分析方法？57一、諧波分析的概念諧波分析:對非正弦周期信號可以用傅立葉級數(shù)將它們分解成許多不同頻率的正弦分量的方法。u=U0+U1msin(ωt+ψ1)

+U1msin(ωt+ψ1)

+…=U0+Unmsin(nωt+ψn)基波一次諧波二次諧波U02+U12+

U22+

…U=√I02+I12+

I22+

…I=√非正弦周期信號的有效值即方均根：58二、非正弦周期信號電路

當作用于電路的電源為非正弦周期信號電源，或者電路中含有直流電源和若干個不同頻率的正弦交流電源的線性電路可以采用疊加原理。

在計算過程中，對于直流分量，可用直流電路的計算方法，要注意電容相當開路，電感相當短路。對于各次諧波分量，可用交流電路的方法，要注意感抗和容抗與頻率的比例關(guān)系。

電路的總有功功率：P0=U0I0+U1I1cos1+U2I2cos2+…59＋RCLui

例3.9.1R、L、C、并聯(lián)電路，已知i=11sint301sin2t+30A，

=1000rad/s，R=10Ω，C=10F，L=10mH。求電路兩端的電壓u和它的有效值。[解](1)直流分量單獨作用時，由于L相當于短路，故U0=0