2012考研基礎班線性代數(shù)

考研基礎班線性代數(shù)講義

第一講基本概念

線性代數(shù)的主要的基本內容：線性方程組矩陣向量行列式（工

具）等

一.線性方程組的基本概念

線性方程組的一般形式為:

anxx+anx2H-------4,

。2內+。22%+…+。2印=%，

。機內++…+。機K”=0機，

其中未知數(shù)的個數(shù)n和方程式的個數(shù)m不必相等.

線性方程組的解是一個n個數(shù)G，。2，…，?！睒嫵?，它滿足:當每個方程中

的未知數(shù)匹都用G替代時都成為等式?

對線性方程組討論的主要問題兩個:

⑴判斷解的情況.

線性方程組的解的情況有三種:無解,唯一解,無窮多解.

[ax+by=c

\dx+ey=f

如果兩條直線是相交的則有一個解；如果兩條直線是重合的則有無窮

多個解；如果兩條直線平行且不重合則無解。（通過直角坐標系來進

行研究）

（2）求解,特別是在有無窮多解時求通解.

齊次線性方程組：4=%=..?=2=°的線性方程組.0,0,…，0

總是齊次線性方程組的解,稱為零解.

因此齊次線性方程組解的情況只有兩種：唯一解（即只有零解）和無窮

多解（即有非零解）.

二.矩陣和向量

1.基本概念

矩陣和向量都是描寫事物形態(tài)的數(shù)量形式的發(fā)展.

矩陣由數(shù)排列成的矩形表格，兩邊界以圓括號或方括號，m行n列的

表格稱為mxn矩陣.這些數(shù)稱為他的元素，位于第i行j列的元素稱

為（i,j）位元素.

3-21

045是一個2x3矩陣.

對于上面的線性方程組,稱矩陣

awan…a\na\\a\2…a\n仇

a2\“22…a2na2l。22…a2n

A二(A|0=

??

和???????????

aia、aa

mim2…a1m“ml,n2…mn

為其系數(shù)矩陣和增廣矩陣.增廣矩陣體現(xiàn)了方程組的全部信息,而齊

次方程組只用系數(shù)矩陣就體現(xiàn)其全部信息.

2009年的一個題中,一個方程組的系數(shù)矩陣為

1—1-11

—111

，常數(shù)列為T則方程組為

0—1-22

<-X]+x2+x3=-1,

-x2-2xn=2.

由n個數(shù)構成的有序數(shù)組稱為一個n維向量,稱這些數(shù)為它的分量.

零矩陣:兀素都是0的矩陣.零向量:分量都是0的向量.

2.矩陣和向量的關系

書寫中可用矩陣的形式來表示向量:寫成一行或寫成一列.

3

問題：（3,-2,1）和一2是不是一樣？

1

作為向量它們并沒有區(qū)別，但是作為矩陣,它們不一樣（左邊是1x3矩

陣,右邊是3x1矩陣）.習慣上把它們分別稱為行向量和列向量.

一個mxn的矩陣的每一行是一個n維向量,稱為它的行向量；每一列

是一個m維向量，稱為它的列向量.

3.n階矩陣與幾個特殊矩陣

nxn的矩陣叫做n階矩陣.

把n階矩陣的從左上到右下的對角線稱為它對角線.（其上的元素行

號與列號相等.）

下面列出兒類常用的n階矩陣：

對角矩陣：對角線外的的元素都為。的n階矩陣.

數(shù)量矩陣：對角線上的的元素都等于一個常數(shù)c的對角矩陣.

單位矩陣：對角線上的的元素都為1的對角矩陣,記作E（或I）.

上三角矩陣：對角線下的的元素都為0的n階矩陣.

下三角矩陣：對角線上的的元素都為。的n階矩陣.

對稱矩陣:滿足A7=A矩陣.也就是對任何i,j,（i,j）位的元素

和（1i）位的元素總是相等的n階矩陣.

問題:下列矩陣都是什么矩陣？

100c002-11

①000②0c0③017

00200c000

011000

④120⑤000

100000

對角矩陣：①、②、⑤

上三角矩陣：①、②、③、⑤

下三角矩陣：①、②、⑤

對稱矩陣：①、②、④、⑤

三.線性運算和轉置

1.線性運算

是矩陣和向量所共有的.

①加（減）法:兩個mxn的矩陣A和Q可以相加（減）,得到的和（差）仍

是mxn矩陣,記作A+B（4-8）,法則為對應元素相加（減）.

04-51-4310-2

+

11720-6311

兩個同維數(shù)的向量可以相加（減），規(guī)則為對應分量相加（減）.

②數(shù)乘：一個數(shù)c與一個mxn的矩陣4可以相乘,乘積仍為mxn的矩

陣,記作cA,法則為A的每個元素乘c.

一個數(shù)c與一個n維向量。可以相乘,乘積仍為n維向量,記作C?.

法則為a的每個元素乘c.

c00

0c0=cE

00c

向量組的線性組合:設%，…，名是一組n維向量，。2,…,

Cs是一組數(shù)，則稱C\a\+C2a2+,?,+Csas為。1，的…，%的

(以J,…C$為系數(shù)的線性組合.

3-14

507

例：求矩陣A的列向量組的系數(shù)為1,1,1的線性組

08_6

合.

把——個mxn的矩陣4行和列互換,得到的nxm的矩陣稱為A的轉置,

記作AT.

10

153

58

087

37

(A±B)T±BT

(CAY=cAr

—1

/=(-1.2.3)即a=2

3

四.矩陣的初等變換和階梯形矩陣2頁空白沒用的，請掠過閱讀吧哈，這2頁空

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1.初等變換

矩陣有初等行變換和初等列變換,它們各有3類.

初等行變換：

①交換兩行的位置.

②用一個非0的常數(shù)乘某一行的各元素.

③把某一行的倍數(shù)加到另一行上.ATB.

2.階梯形矩陣:一個矩陣稱為階梯形矩陣,如果滿足：

①如果它有零行，非零行,則都零行在下,非零行在上.

②如果它有非零行，則每個非零行的第一個非0元素所在的列號自

上而下嚴格單調上升.

1-32651

0024—63

000-394

00000

0-32651

0024—63

000-394

00000

1-32651

0004—64

000-394

00000

問題:對角矩陣,上三角矩陣，數(shù)量矩陣中，哪個一定是階梯形矩

陣？

000011c00

0-100100c0

00200100c

一個n階的階梯形矩陣一定是上三角矩陣.

問題:如果4是階梯形矩陣.

(1)Z去掉一行還是階梯形矩陣嗎？

(2)Z去掉一列還是階梯形矩陣嗎？

3.簡單階梯形矩陣

把階梯形矩陣的每個非零行的第一個非0元素所在的位置稱為臺角.

簡單階梯形矩陣:是特殊的階梯形矩陣,滿足：

③臺角位置的元素為1.

④并且其正上方的元素都為0.

4.用初等行變換把矩陣化為階梯形矩陣

每個階梯形矩陣都可以用初等行變換化為簡單階梯形矩陣.

每個矩陣都可以用初等行變換化為階梯形矩陣

2-5613131-3265

1-32652-561313

—25—4—15-1—25-4-15-1

—11—4—91—11—4—91

1-32651-3265

0121301213

—

002-212002-212

0-2-2-36002-112

1-3265

01213

002-212

00010

1-32051-300-71000-34

012030100-90100—9

—

0020120010600106

000100001000010

請注意：

①從階梯形矩陣化得簡單階梯形矩陣時，臺角不改變.

②一個矩陣用初等行變換化得的階梯形矩陣并不是唯一的，但是其非

零行數(shù)和臺角位置是確定的.

③一個矩陣用初等行變換化得的簡單階梯形矩陣是唯一的.

4.線性方程組的矩陣消元法

消元法原理:用同解變換化簡方程組然后求解.

線性方程組的同解變換有三種：

①交換兩個方程的上下位置.

②用一個非0的常數(shù)乘某個方程.

③把某個方程的倍數(shù)加到另一個方程上.

反映在增廣矩陣上就是三種初等行變換.

矩陣消元法即用初等行變換化線性方程組的增廣矩陣為階梯形矩陣,

再討論解的情況和求解.

例:

15111

03-2—1-2

山分.00314

000-24

00000

+當+%4=1

3々一2%3+%4=—2

3%3+%4=4

-2%4=4

矩陣消元法步驟如下:

⑴寫出方程組的增廣矩陣（A]〃），用初等行變換把它化為階梯形

矩陣（8/）.

⑵用（87）判別解的情況：

如果最下面的非零行為（°，°，?…，°H）,則無解,否則有解.有解時看

非零行數(shù)r（r不會大于未知數(shù)個數(shù)n）,r=n時唯一解；r<n時無窮多

解.

⑶有唯一解時求解的初等變換法:去掉（）的零行，得到一個nX

（n+1）矩陣（8（）7（））,并用初等行變換把它化為簡單階梯形矩陣

（￡〃），則〃就是解.

%**…*

0“22*…*

（為九戶

???????????????/()

000…bnn

100

010

■

????????I

000

就是解.

（A網T（同7）T（聞加）T（即）,〃就是解.

5111

3—2—1—2

->

0314

00-24

1510310001

03-20-403000

0030600102

0001-20001-2

解為（1,0,2,—2）.

對齊次線性方程組：

（1）寫出方程組的系數(shù)矩陣A,用初等行變換把它化為階梯形矩陣B.

（2）用8判別解的情況:非零行數(shù)r=n時只有零解;r<n時有非零解（求

解方法在第五章講）.

推論：當方程的個數(shù)m<n時,有非零解.

第二講行列式

1.形式和意義

形式:用n?個數(shù)排列成的一個n行n列的表格,兩邊界以豎線,就成為

一個n階行列式：

a

\\。12…a\n

“21〃22…。2n

????????????（簡記為aij）

Cln\iu〃o2,?,〃nn

意義:是一個算式，把這子個元素按照一定的法則進行運算，得到的數(shù)

值稱為這個行列式的值.

請注意行列式和矩陣在形式上和意義上的區(qū)別.

當兩個行列式的值相等時,就可以在它們之間寫等號?。ú槐匦问揭?/p>

樣,甚至階數(shù)可不同.）

每個n階矩陣A對應一個n階行列式,記作|4I.

行列式的的核心問題是值的計算.

一.定義（完全展開式）

2階和3階行列式的計算公式:

“11〃12

1221221

“21出2

aa〃12

Q[]6Z]2\3\\

。21a22。23。21。22“11^^22。33+。12〃23^^31+

。31。32。33。31“32

一。13〃22〃31-qI〃23“32一〃12。21〃33

一般地,一個n階行列式

a>（一1）"、泌…力）。］a?，…Q山?

u7

ij=J'Mi2及njn

j\h---jn

這里

1.是許多（n!個）項的代數(shù)和（在求和時每項先要乘+1或T.）

2.每一項%，02/2?…〃叨…都是n個元素的乘積,它們取自

不同行,不同列.即列標人"2…Jn構成1,2,…,n的一個全排列

（稱為一個n元排列），共有n!個n元排列,每個n元排列對應一項，因

此共有n!個項.

Z表示對所有n元排列求和.

3.規(guī)定工（I，，2…）〃）為全排列/，，2…力的逆序數(shù).

稱12-n為自然序排列,如果不是自然序排歹U,就出現(xiàn)小數(shù)排在大數(shù)

右面的現(xiàn)象,一對大小的數(shù)構成一個逆序.

逆序數(shù)可如下計算：標出每個數(shù)右面比它小的數(shù)的個數(shù)，它們的和

就是逆序數(shù).

例如求436512的逆序數(shù)：

323200

436512,(436512)=3+2+3+2+0+0=10.

用完全展開式求行列式的值一般來說工作量很大.只在有大量元素為

0,使得只有少數(shù)項不為0時,才可能用它作行列式的計算.

例如下三角行列式

a\\00…00

a

2i。220…00

???????????????0

an-\2??????an-\n-\0

an2??????ann-\ann

*12…n)

?a

(-D22nn~%1〃22.-a

對角行列式，上(下)三角行列式的值就等于對角線上的元素的乘積

x—3ci—14

5x—80—2

0bx+1143

例求的X和X的系數(shù).

221x

43

解析：X的系數(shù)是1；X的系數(shù)是-10

二.化零降階法

1.余子式和代數(shù)余子式

元素0(/的余子式,是n把第i行和第j列劃去后所得到的n-1

階行列式,記作

4/的代數(shù)余子式為Aij=（一1）也此.

2.定理（對某一行或列的展開）行列式的值等于某行（列）的各元素與

其代數(shù)余子式乘積之和.

a二。21人2]+。22A22+a23A23+。24A24

n=4,IJ

例如求3階行列式

-346

-201=(_3)An+4Al2+6A13=(-3)Mn-4M12+6m3

457

=(-3)x(-5)-4x(-18)+6x(-10)=27.

100

t100

0t10

例

000

=i+3—

解析:原式=1An+tAin

=1+(-1廣丁

3040

2222

例求行列式0-700的第四行各元素的余子式的和.

53-22

解析:

所求為

"鉆+"42+〃43+〃44=—^41+^42-^43+^44

原式=5441+3A42—2A43+2444

3040

2222

將原行列式換為0-700即他的值就是原題的余子式之

-11-11

和

一7432=7M32)

答案為-28（對第三行展開

3.命題第三類初等變換不改變行列式的值.

-346945

94

-201—001——=27

-187

4571857

2a100...........0

a?2a10...........0

0a?2a1...........0

A=

08題?????????????????????.證明|4|=(n+l)a"

0...................a~2a1

0...................0a22a

分析：

證明：初等變換

??????

2a100??????02a1000

3a

3。??????

......0000

0000T

2

4a

2<???.■

0a2a10000??????0

T

......22

0a2a10.????.???a2a1

????????2

0?0a2a0?????????0a22a

2a100.?..??0

3a

000??.?.?0

2

4a

000??????0c3a4a(n+1)?.?

—3=2a--------------------=(〃+\)a"

???

????.?23n

001

(n+l)a

0?????????00

n

4?化零降階法用命題把行列式的某一行或列化到只有一個元素不為0,

再用定理.于是化為計算一個低1階的行列式.

三.其它性質

行列式還有以下性質：

3.把行列式轉置值不變，即A，=4.

4.作第一類初等變換，行列式的值變號.

5.作第二類初等變換，行列式的值乘c.

問題：1cAi=?

cA，.cA，.c"A，.A

6.對一行或一列可分解，即如果某個行（列）向量，則原行列式等于兩

個行列式之和,這兩個行列式分別是把原行列式的該行（列）向量a

換為萬或/所得到的行列式.

例如|%夕1+夕2，，|二|戊，47|+|%夕2，7

K.|A+B|=|A|+|B|?

例如：

A=%a2a3\,B=（3XA|

A+5—|6Z|+0[a>+02戊3+夕3I

=CLX%+見氏+夕3I+I夕1%+夕2。3+夕3I

=%%%+夕3田/02+%+夕2

二...二A+BH—（另外的6個）

例設4階矩陣

A=（6Z,/1,/2,/3）,B=（尸,％,72，/3）M=2,忸I=3,求|A+B

A+B=（a+。,2yl,2%,2.）,

A+B\^\a+夕,2%,2%,2%|=即+4力,%%

解：?

=8a,%,72，%+8|/,%,%，/3=40

7.如果一個行（列）向量是另一個行（列）向量的倍數(shù),則行列式的值為

0.

8.某一行（列）的各元素與另一行（列）的對應元素的代數(shù)余子式乘積

之和=0.

abed

x-1-yz+1

例已知行列式1-zx+3y的代數(shù)余子式

y+2x+10z+3

An=-9,Ai2=3,A]3=—l,Ai4=3,求x,y,z.

-9x-3+y+3(z+1)=0x=???

解析：思路：利用性質8f.......n丁二…

拉普拉斯公式的一個特殊情形：

A*A0

如果/與方都是方陣（不必同階），則0B=*B=間忸

1111

a2a3

222

%a2a3

范德蒙行列式：形如的行列式（或

?????????

n-in-in-i

%a2a3

其轉置）.它由外,。2，。3,…，4所決定，它的值等于

n（%?-%）

i<j

因此范德蒙行列式不等于°=%,，???，?！▋蓛刹煌?

對于元素有規(guī)律的行列式（包括n階行列式），常?？衫眯再|簡化計

算.

四.克萊姆法則

克萊姆法則當線性方程組的方程個數(shù)等于未知數(shù)個數(shù)n（即系數(shù)矩

陣1為n階矩陣）時.A。0=＞方程組有唯一解.

此解為（，/|A|，2/|A|LDN/|A|）T,2是把|A|的第i個

列向量換成常數(shù)列向量尸所得到的行列式.

I.AW°是方程組有唯一解的充分必要條件.

（A⑼f（B|Z）

問題：A=B?

w0o忸|w0

于是只用說明Bw°是方程組有唯一解的充分必要條件.

2.實際上求解可用初等變換法:對增廣矩陣（山廣）作初等行變換,

使得A變?yōu)閱挝痪仃嚕海ㄉ饺f）T（同〃）；"就是解.

用在齊次方程組上：如果齊次方程組的系數(shù)矩陣A是方陣,則它只有

零解的充分必要條件是Aw°.

x1+x2+x3-a+b+c

22

ax{+bx2+cx3-a+b+c

例設有方程組

bcx}+acx2+abx3-3abc

⑴證明此方程組有唯一解的充分必要條件為a,b,c兩兩不等.

⑵在此情況求解.

分析：

證明：（1）

111a+b+c

2.12.2階梯形矩陣轉換、

ucC/74-_1Lch/__1L_0r*

beacab3abc

111a+/7+c

227

ab-ac-ab+c-ab-acT

0ac-beab-bclabc-b2c-be2

111a+b+c

0b-ac-ab2+c2—ab—etc

00(c-tz)(c-/?)c(c-a)(c-b)

由克萊姆法則法則可知

Aw0——a）（c一a）（c一。）w0

故a,b,c兩兩不相等

11a+b+c

227

0b-ac—ab~+c-ab-acf

00(c-a)(c—。)c(c-a)(c—b)

110a+b100a

0b-a0b2-ab010b

(2)001001

解為X=(Q/,C)7

五.典型例題

例1

2aaaa

1+X111

a2aaa

11+X11

aa2aa

①②111+X1

aaa2a

1111+X

aaaa2

1+a111

22+a22

③333+a3

4444+a

④對角線上的元素都為0,其它元素都為1的n階行列式.

②分析：

1+X1114+%111

11+%114+%1+X11

111+X14+x11+X1

1111+X4+無111+X

4+x111

0x00

->

解：00JC0

000x

所以值=J?（X+4）

①分析：與②同理

④分析：類型一致

③分析：把下面三行分別加到第一行

12345

23451

34512

例2

45123

51234

解:

12345152345152345

234511534510111—4

34512f154512011—41

4512315512301—411

512341512340—4111

111—4—111—4

1—41—11—41

-?15-?15

—411—1—411

111—1111

00—5

0—50

-?15

—500

000

所以值=15X125=1875

1+x,111

1l+x211

例3111+邑1

111l+x4

解:

1+Xj111

11+%211

111+%31

1111+/

1111X1111

11

11+%21+01+%21二?

111+%31011+x31

1111+%40111+%4

%)0001000再100

0x001々oo0100

2--------1—?++-??+

%3°

00x3010%3001

000%4100x4010%4

=4xix2x3x4+…

例4證明分析：

證明：歸納法：展開遞推

a+bb0…00

aa+bb…00

〃Z7n+1A

(當QWZ?時)

勺a—b

000…a+bb

000…aa+b

->遞推公式2=(a+b)D"_「abDr2

再用歸納法證明之

也可以:

ab0???00bb0-??00

aa+bb???000a+bb???00

???.??????????????+??????????????????

000…a+bh000???a+bb

000???aa+h000???aa+b

ab0-??00

0ab…00

=bDn-l+??????????????.=???=

000?-?a+bb

000???aa+h

ah0???0Q

0ah---00

皿T+=bD“_+an

000???ah

000?-?0?

a=b0i+a"⑴

另OnnMl+b'Q〉

n+lrn+1

n+xn+x

①xa—⑵xbf(a—b)D"=a-bDn=~~^―(當QHb時)

a-b

另當〃=/?時

2aa000

a2aa…00

?a????????????????其值為5+1)/

000???2aa

000???a2a

推廣：(ab=cd)

ci+bd000

ca+bd???00n+x

a

??????????????????其值為￡一匕

a-b

000,,?ci+bd

000???ca+b

第二講行列式

1.形式和意義

形式:用r?個數(shù)排列成的一個n行n列的表格,兩邊界以豎線,就成為

一個n階行列式：

a\\"12…a\n

的1。22…

....................（簡記為陽）

an\an2…ann

意義:是一個算式,把這/個元素按照一定的法則進行運算,得到的數(shù)

值稱為這個行列式的值.

請注意行列式和矩陣在形式上和意義上的區(qū)別.

當兩個行列式的值相等時,就可以在它們之間寫等號?。ú槐匦问揭?/p>

樣,甚至階數(shù)可不同.）

每個n階矩陣A對應一個n階行列式,記作A.

行列式的的核心問題是值的計算.

定義（完全展開式）

2階和3階行列式的計算公式:

a\\a\2

—Cl11022-G[2,21

a2\。22

aaaa

Hi2。13\\\2

aa

2\a22。232\a223^^21^39

aaa—?

3\32。333\。32

aj??C/LJd?d

般地,一個n階行列式

a，（—1）"http://‘'/）〃〃…Q..

uv7

ij==1/2/2njn

jiJr-jn

這里

1.是許多（n!個）項的代數(shù)和（在求和時每項先要乘+1或T.）

2.每一項的j1，“2/2…都是n個元素的乘積,它們取自

不同行,不同列.即列標木"2…Jn構成1,2.…,n的一個全排列

（稱為一個n元排列），共有n!個n元排列,每個n元排列對應一項，因

此共有n!個項.

Z.表示對所有n元排列求和.

7172,,Jn

3.規(guī)定Di，…力）為全排列Jvh…的逆序數(shù).

稱12-n為自然序排列,如果不是自然序排歹U,就出現(xiàn)小數(shù)排在大數(shù)

右面的現(xiàn)象,一對大小的數(shù)構成一個逆序.

逆序數(shù)可如下計算：標出每個數(shù)右面比它小的數(shù)的個數(shù)，它們的和

就是逆序數(shù).

例如求436512的逆序數(shù)：

323200

436512,(436512)=3+2+3+2+0+0=10.

用完全展開式求行列式的值一般來說工作量很大.只在有大量元素為

0,使得只有少數(shù)項不為0時,才可能用它作行列式的計算.

例如下三角行列式

a\\00…00

。21。220,??00

???????????????0

an-Uan-\2??????0

n??????H

Un\Un2Unn-\^nn

工(12…〃)a??

:(一1)ll22nn-%］。22.Q

對角行列式，上(下)三角行列式的值就等于對角線上的元素的乘積

x—3a—14

5x-80-2

例求°bx+11的X4和丁3的系數(shù).

221x

43

解析：X的系數(shù)是1;匯的系數(shù)是-10

二.化零降階法

1.余子式和代數(shù)余子式

元素的余子式,是n把第i行和第j列劃去后所得到的n-1

階行列式，記作M，：/.

aij的代數(shù)余子式為Aij=（T）""）.

2.定理（對某一行或列的展開）行列式的值等于某行（列）的各元素與

其代數(shù)余子式乘積之和.

21^2122A22+423423+”24424

n=4,=a

例如求3階行列式

-346

-201-

=(3)An+4Ai2+6Ai3=(一3)4Ml2+61H3

457

=(-3)x(-5)-4x(-18)+6x(-10)=27.

100

100

0t10

例

0001

1

解析:原式=1Au+tAu,=1+八(-1)""〃

=1+(-1產/

3040

2222

例求行列式0-700的第四行各元素的余子式的和.

53-22

解析:

所求為

42+加43+“44=_441+^42—443+^44

M41+Af

原式=5441+3442—43

2A+2A44

3040

2222

將原行列式換為0-700即他的值就是原題的余子式之

-11-11

和

答案為-28（對第三行展開一7人32=7河32）

3.命題第三類初等變換不改變行列式的值.

-346945

94

-201—001———27

-187

4571857

2a100???…0

a1la10???…0

0a12a1??????0

A-

08題???.................???.........?.......證明㈤=(n+l)an

0.................?a12a1

0???.................?0/2,2

分析：

證明：初等變換

0??■???

2a100??????02a100

3a0■■■■??

000??.???00--00

T2

2....?.色0??????

0a2a100c0

—3???

????,.,1

0??a2a10-?....…Q?2Q1

0?????????0a~2a0??????…0a2la

2a100??.???0

3〃

000?..??.()

2

4a

000?..?..03a4a

=2a?-----------=(n+V)a

3T'T'

?..????????????????n

0.????.???01

(n+V)a

0...?....?00

n

4.化零降階法用命題把行列式的某一行或列化到只有一個元素不為0,

再用定理.于是化為計算一個低1階的行列式.

三.其它性質

行列式還有以下性質：

3.把行列式轉置值不變，即A，=A.

4.作第一類初等變換，行列式的值變號.

5.作第二類初等變換，行列式的值乘c.

問題：|詞=?

cA.cA.c〃A.

，，，

6.對一行或一列可分解，即如果某個行（列）向量，則原行列式等于兩

個行列式之和，這兩個行列式分別是把原行列式的該行（列）向量a

換為分或/所得到的行列式.

例如|私4+夕2，/|=1%4，，+1%夕2，7

問題：A+B=A+3?

例如：A=|%的的I,8=I才I

+

|A+B[=|%+4%+四?3AI

=|/a”%?3+A|+|A%+62?3+AI

=1/a??3+A|+|42^3+Al+lA%+42

=...=國+怛|+…（另外的6個）

例設4階矩陣

A=（a,%,72，/3），8=（夕，/"2，/3），|川=2,|B|=3,求|A+B

A+3=（a+#,2%2y2,2/3），

\A+B\=\a+2%,2%,2刃=81a+

用牛：

=8|a,/1,/2,73|+8|^,71,72,/3|=40

7.如果一個行（列）向量是另一個行（列）向量的倍數(shù),則行列式的值為

0.

8.某一行（列）的各元素與另一行（列）的對應元素的代數(shù)余子式乘積

之和=0.

abed

x-1-yz+1

例已知行列式1-zx+3y的代數(shù)余子式

y+2x+10z+3

An=-9,Ai2—3,Ai3=-1,Au—3,求x,y,z.

一9元-3+y+3(z+1)=0x=…

解析：思路：利用性質8f.....n丁二…

拉普拉斯公式的一個特殊情形：

A*A0

=|A憫

如果/與方都是方陣（不必同階），則nR

UD*B

1111

%a2an

2222

axa2a3%

范德蒙行列式：形如的行列式（或

???,?????

n-\n-\n-\n-\

qa2a3an

其轉置）.它由。1，。2，。3,…，4所決定，它的值等于

n（%?-%）

i<j

因此范德蒙行列式不等于°=《，，口3，???，?！▋蓛刹煌?

對于元素有規(guī)律的行列式（包括n階行列式），常?？衫眯再|簡化計

算.

四.克萊姆法則

克萊姆法則當線性方程組的方程個數(shù)等于未知數(shù)個數(shù)n（即系數(shù)矩

陣1為n階矩陣）時.A。0=＞方程組有唯一解.

此解為（，/|A|，2/|A|LDN/|A|）T,2是把|A|的第i個

列向量換成常數(shù)列向量尸所得到的行列式.

I.AW°是方程組有唯一解的充分必要條件.

（A⑼f（B|Z）

問題：A=B?

w0o忸|w0

于是只用說明Bw°是方程組有唯一解的充分必要條件.

2.實際上求解可用初等變換法:對增廣矩陣（山廣）作初等行變換,

使得A變?yōu)閱挝痪仃嚕海ㄉ饺f）T（同〃）；"就是解.

用在齊次方程組上：如果齊次方程組的系數(shù)矩陣A是方陣,則它只有

零解的充分必要條件是Aw°.

x1+x2+x3-a+b+c

22

ax{+bx2+cx3