第3章多元線性回歸參考答案3.2討論樣本容量n與自變量個數(shù)p的關(guān)系，它們對模型的參數(shù)估計(jì)有何影響？答：在多元線性回歸模型中，樣本容量n與自變量個數(shù)p的關(guān)系是：n>>p。如果n<=p對模型的參數(shù)估計(jì)會帶來很嚴(yán)重的影響。因?yàn)椋涸诙嘣€性回歸模型中，有p+1個待估參數(shù)0，所以樣本容量的個數(shù)應(yīng)該大于解釋變量的個數(shù)，否則參數(shù)無法估計(jì)。解釋變量X是確定性變量，要求rank(X)=p+1vn，表明設(shè)計(jì)矩陣X中的自變量列之間不相關(guān)，即矩陣X是一個滿秩矩陣。若rank(X)vp+1，則解釋變量之間線性相關(guān)，(XX)-1是奇異陣，則p的估計(jì)不穩(wěn)定。3.3證明CT2=SSE4-p-1)隨機(jī)誤差項(xiàng)8的方差6的無偏估計(jì)。證明：TOC\o"1-5"\h\z62=一1一SSE=一1一(e'e)=一1一乙2,n—p—1n—p—1n—p—1'i=1???E(乙2)=&(e)=&2(1—h)=62^(1—h)=62(n—&)=62(n—p—1)iiiiiiiii=1i=1i=1i=1i=1???E(62)=^E(乙2)=62n—p—1'i=13.4一個回歸方程的復(fù)相關(guān)系數(shù)R=0.99，樣本決定系數(shù)R2=0.9801，我們能判斷這個回歸方程就很理想嗎?答：不能斷定這個回歸方程理想。因?yàn)?在樣本容量較少，變量個數(shù)較大時，決定系數(shù)的值容易接近1，而此時可能F檢驗(yàn)或者關(guān)于回歸系數(shù)的t檢驗(yàn)，所建立的回歸方程都沒能通過。

樣本決定系數(shù)和復(fù)相關(guān)系數(shù)接近于1只能說明Y與自變量X1,X2，…,Xp整體上的線性關(guān)系成立，而不能判斷回歸方程和每個自變量是顯著的，還需進(jìn)行F檢驗(yàn)和t檢驗(yàn)。在應(yīng)用過程中發(fā)現(xiàn)，在樣本容量一定的情況下，如果在模型中增加解釋變量必定使得自由度減少，使得R2往往增大，因此增加解釋變量（尤其是不顯著的解釋變量）個數(shù)引起的R2的增大與擬合好壞無關(guān)。_3.7驗(yàn)證B：=斗6.,j=1,2,...,Pyy其中:L=咒（X.一X）2證明：多元線性回歸方程模型的一般形式為：y=B+Bx+Bx++Bx+801122pp甘經(jīng)聆曰［口右理才％y=b+Bx+6x++Bx其經(jīng)驗(yàn)回歸方程式為’r0r11r22pp，又P=y-gx-[Px--gx，01122pp故y=y+6(x-x)+6'(x-x)++6(x-x)，111222ppp中心化后，則有y.—y=，(七-x)+[32(x2-x2)+咒(y_-咒(y_-y)2，i=1左右同時除以（廠=\yy令LjjW(x〃—x)2,i=1,2,,n，j=1,2,,pi=1g-y=6氣-x「丁項(xiàng)丁yy11樣本數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化的公式為L*yyLppLyyx—xx*=j,y*=,n，j=1,2,,p則上式可以記為n匯y*pQ^、yy=p*xx*+P*xx*+1i12i2v2.xx*+p\22xx*+訂2(Li2+p*xx*pip+pppxx*'yy則有土Bj”1,2,3.10驗(yàn)證決定系數(shù)R2與F值之間的關(guān)系式：R2=F+（n一p一1）/p證明:曰SSR/pF=,..SSE/(n—p—1)'次F?SSE:.SSR=xpn—p—1F-SSExpn—p—1SSRSSR:.R2==_—SSTSSR+SSEF?SSExp*sseFxp+n—p—1F+(n—p—1)/pn—p—13.11研究貨運(yùn)總量y（萬噸）與工業(yè)總產(chǎn)值x1（億元）、農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值x2（億元）、居民非商品支出x3（億元）的關(guān)系。數(shù)據(jù)見表3.9（略）。（1）計(jì)算出y，x1，x2，x3的相關(guān)系數(shù)矩陣。SPSS輸出如下:相關(guān)系數(shù)表yx1x2x3yPearsonCorrelation1.556.731*.724*Sig.(2-tailed).095.016.018N10101010x1PearsonCorrelation.5561.113.398Sig.(2-tailed).095.756.254N10101010x2PearsonCorrelation.731*.1131.547Sig.(2-tailed).016.756.101N10101010x3PearsonCorrelation.724*.398.5471Sig.(2-tailed).018.254.101N10101010*.Correlationissignificantatthe0.05level(2-tailed).1.0000.5560.7310.7240.5561.0000.1130.398則相關(guān)系數(shù)矩陣為:r——0.7310.1131.0000.547_0.7240.3980.5471.00(]求出y與xl,x2,x3的三元回歸方程。則相關(guān)系數(shù)矩陣為:Coefficients^ModelUnstandardizedCoefficientsStandardizedCoefficientstSig.RStd.ErrorReta1(Constant)-348.280176.459-1.974.096x13.7541.933.3851.942.100x27.1012.880.5352.465.049x312.44710.569.2771.178.284a.DependentVariable:y對數(shù)據(jù)利用SPSS做線性回歸，得到回歸方程為y—-348.38+3.754氣+7.101x2+12.447七對所求的方程作擬合優(yōu)度檢驗(yàn)。ModelSummaryModelRRSquareAdjustedRSquareStd.ErroroftheEstimate1.898a.806.70823.44188a.Predictors:(Constant),x3,x1,x2由上表可知，調(diào)整后的決定系數(shù)為0.708，說明回歸方程對樣本觀測值的擬合程度較好。（4）對回歸方程作顯著性檢驗(yàn)；方差分析表bModel平方和自由度均方FSig.1回歸13655.37034551.7908.283.015a殘差3297.1306549.522總和16952.5009Predictors:(Constant),x3,x1,x2DependentVariable:y原假設(shè)：H0：=。2=&3=0F統(tǒng)計(jì)量服從自由度為（3，6）的F分布，給定顯著性水平a=0.05，查表得F0.05（3-6）=4.76，由方查分析表得，F(xiàn)值=8.283>4.76,p值=0.015,拒絕原假設(shè)H0，由方差分析表可以得到F=8.283,P=0.015<0.05，說明在置信水平為95%下，回歸方程顯著。（5）對每一個回歸系數(shù)作顯著性檢驗(yàn)；回歸系數(shù)表aModelUnstandardizedCoefficientsStandardizedCoefficientstSig.RStd.ErrorReta1(Constant)-348.280176.459-1.974.096x13.7541.933.3851.942.100x27.1012.880.5352.465.049x312.44710.569.2771.178.284a.DependentVariable:y做t檢驗(yàn)：設(shè)原假設(shè)為氣?邛i=0七統(tǒng)計(jì)量服從自由度為n-p-1=6的t分布，給定顯著性水平0.05，查得單側(cè)檢驗(yàn)臨界值為1.943,X1的t值=1.942<1.943,處在否定域邊緣。X2的t值=2.465>1.943。拒絕原假設(shè)。由上表可得，在顯著性水平a=0.05時，只有七的P值<0.05，通過檢驗(yàn)，即只有氣的回歸系數(shù)較為顯著；其余自變量的P值均大于0.05,艮Px1，x2的系數(shù)均不顯著。如果有的回歸系數(shù)沒有通過顯著性檢驗(yàn)，將其剔除，重新建立回

歸方程，并作回歸方程的顯著性檢驗(yàn)和回歸系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)。解：用后退法對數(shù)據(jù)重新做回歸分析，結(jié)果如下：Coefficients^ModelUnstandardizedCoefficientsStandardizedCoefficientstSig.BStd.ErrorBeta1(Constant)-348.280176.459-1.974.096x13.7541.933.3851.942.100x27.1012.880.5352.465.049x312.44710.569.2771.178.2842(Constant)-459.624153.058-3.003.020x14.6761.816.4792.575.037x28.9712.468.6763.634.008a.DependentVariable:y選擇模型二，重新建立的回歸方程為:y=-459.624+4.676氣+8.971氣方差分析表b模型平方和自由度均方FSig.1回歸12893.19926446.60011.117〔007a殘差4059.3017579.900Total16952.5009Predictors:(Constant),農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值X2(億元),工業(yè)總產(chǎn)值X1(億元)DependentVariable:貨運(yùn)總量Y(萬噸)模型摘要模型RRSquare調(diào)整后的RSquareStd.EroroftheEstimate改變統(tǒng)計(jì)-量RSquareChangeFChangedf1df2Sig.FChange1.872a.761.69224.081.76111.11727.007a.Predictors:（Constant農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值X2（億元），工業(yè)總產(chǎn)值X1（億元）對新的回歸方程做顯著性檢驗(yàn)：原假設(shè)：氣叫部2=0F服從自由度為（2,7）的F分布，給定顯著性水平a=0.05，查表得F0.0O（2.7）=4.74，由方差分析表得，F(xiàn)值=11.117>4.74,p值=0.007，拒絕原假設(shè)H0.認(rèn)為在顯著性水平a=0.05下，x1，x2整體上對y有顯著的線性影響，即回歸方程是顯著的。對每一個回歸系數(shù)做顯著性檢驗(yàn)：做t檢驗(yàn)：設(shè)原假設(shè)為氣邛廣0，\統(tǒng)計(jì)量服從自由度為n-p-1=7的t分布，給定顯著性水平0.05，查得單側(cè)檢驗(yàn)臨界值為1.895,X1的t值=2.575>1.895，拒絕原假設(shè)。故&】顯著不為零，自變量X1對因變量y的線性效果顯著；同理。2也通過檢驗(yàn)。同時從回歸系數(shù)顯著性檢驗(yàn)表可知：X1,X2的p值都小于0.05，可認(rèn)為對x1，x2分別對y都有顯著的影響。（7）求出每一個回歸系數(shù)的置信水平為955D置信區(qū)間由回歸系數(shù)表可以看到，p1置信水平為95%的置信區(qū)間[0.381,8.970]，P2置信水平為95%的置信區(qū)間[3.134,14.808]

Coefficients^ModelUnstandardizedCoefficientsStandardized―CoefficientstSig95%ConfidenceIntervalforB_BStdErrorBetalowerBoundUpperBound1(Constant)-348.280176.459-1.974.096-780.06083.500x13.7541.933.3851.942.100-.9778.485x27.1012.880.5352.465.049.05314.149x312.44710.569.2771.178.284-13.41538.3102(Constant)-459.624153.058-3.003.020-821.547-97.700x14.6761.816.4792.575.037.3818.970x28.9712.468.6763.634.0083.13414.808a.DependentVariable:y（8）求標(biāo)準(zhǔn)化回歸方程由回歸系數(shù)表（上表）可得，標(biāo)準(zhǔn)化后的回歸方程為：&*=0.479、+0.676%*（9）求當(dāng)x=75,x=42,x=3.1時的y的預(yù)測值y，給定置信水0102030平95%，用SPSS軟件計(jì)算精確置信區(qū)間，用手工計(jì)算近似預(yù)測區(qū)間;蝙號貨運(yùn)總量工業(yè)總產(chǎn)值農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值居民非商品支出PRE_11160.0070.0035.001.00181.654122260.0075.0040.002.40249.887083210.0065.0040.002.00203.130774265.0074.0042.003.00263.153375240.0072.0038.001.20217.918266220.0068.0045.001.50262.012471275.0078.0042.004.00281.855898160.0066.0036.002.00171.922569275.0070.0044.003.20262.3927710250.0065.0042.003.00221.0727075.0042.003.10267.82900由SPSS輸出結(jié)果可知，當(dāng)X=75,X=42,X=3.1時，寧=267.829（見上表），*的置信度為95%的精確預(yù)測區(qū)間為（204.4,331.2）（見下表），*的置信度為95%的近似預(yù)測區(qū)間為（寧土2），手工計(jì)算得：0（219.6,316.0）。LICI_1114.18036186.71910139.27006200.92084155.95559195.34073213.46314105.13801199.02041156.11131204.43551UICI_1249.12788313.06505266.99149326.38591279.8