宿州市2018屆高三第三次教學(xué)質(zhì)量檢測理科數(shù)學(xué)試題第Ⅰ卷（共60分）一、選擇題：本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知全集，集合，集合，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】分析：由題意首先求得集合A,B，然后進集合的混合運算即可求得最終結(jié)果.詳解：函數(shù)有意義，則：，據(jù)此可得，求解指數(shù)不等式可得：，據(jù)此可得：，結(jié)合交集運算可知：.本題選擇A選項.點睛：本題主要考查集合的表示方法，集合的交并補運算法則等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.2.若復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則（）A.B.C.1D.2【答案】C【解析】分析：由題意結(jié)合復(fù)數(shù)的運算法則整理計算即可求得最終結(jié)果.詳解：由題意可得：，則.本題選擇C選項.點睛：本題主要考查復(fù)數(shù)的運算法則，復(fù)數(shù)的模的計算等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.3.已知雙曲線的焦距為，則該雙曲線的漸近線方程為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】分析：由題意首先求得m的值，然后求解漸近線方程即可.詳解：由題意結(jié)合雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可知：，則：，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，雙曲線的漸近線方程滿足，整理可得漸近線方程為：.本題選擇B選項.點睛：本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)，雙曲線的漸近線方程的求解等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.4.已知實數(shù)滿足不等式組，則的最大值為（）A.5B.3C.1D.-4【答案】A【解析】分析：首先畫出可行域，然后結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義確定最優(yōu)解的取值之處，據(jù)此求解最大值即可.詳解：繪制不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義可知目標(biāo)函數(shù)在點A處取得最大值，聯(lián)立直線方程：，可得點的坐標(biāo)為：，據(jù)此可知目標(biāo)函數(shù)的最大值為：.本題選擇A選項.點睛：求線性目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋by(ab≠0)的最值，當(dāng)b＞0時，直線過可行域且在y軸上截距最大時，z值最大，在y軸截距最小時，z值最??；當(dāng)b＜0時，直線過可行域且在y軸上截距最大時，z值最小，在y軸上截距最小時，z值最大.5.祖沖之是我國古代杰出的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家和機械發(fā)明家，是世界上第一個把圓周率的值精確到7位小數(shù)的人，現(xiàn)在可用計算機產(chǎn)生隨機數(shù)的方法估算出的值，其程序框圖如下圖所示，其中函數(shù)的功能是生成區(qū)間內(nèi)的隨機數(shù)，若根據(jù)輸出的值估計出的值為3.14，則輸出的值為（）A.314B.628C.640D.785【答案】D【解析】分析：首先確定流程圖的功能，然后結(jié)合蒙特卡羅模擬的方法計算p的值即可.詳解：由題意可知，流程圖的功能等價于有1000顆豆子，隨機投擲在區(qū)域ABCD之內(nèi)，其中落在陰影部分的豆子顆數(shù)為k，據(jù)此可估計圓周率的值為3.14，求k的值為多少.結(jié)合蒙特卡羅模擬的方法可知：，則：.本題選擇D選項.點睛：本題主要考查幾何概型的計算公式，蒙特卡羅模擬方法的應(yīng)用等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.6.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，記，，，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】分析：將原問題轉(zhuǎn)化為切線斜率的問題，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義整理計算即可求得最終結(jié)果.詳解：繪制函數(shù)的圖像如圖所示，且，，由題意可知為函數(shù)在點M處切線的斜率，為函數(shù)在點處切線的斜率，為直線MN的斜率，數(shù)形結(jié)合可得：.本題選擇D選項.點睛：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的定義及其應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.7.將函數(shù)的圖象向左平移個單位，所得的圖象恰好關(guān)于原點對稱，則的最小值為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】分析：首先化簡三角函數(shù)的解析式，然后結(jié)合三角函數(shù)圖象的特征整理計算即可求得最終結(jié)果.詳解：由于，故三角函數(shù)的解析式即：，令可得：，則，取可得：，即函數(shù)圖象與軸正半軸的第一個交點坐標(biāo)為，函數(shù)圖象如圖所示，數(shù)形結(jié)合可知的最小值為.本題選擇B選項.點睛：本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.8.已知函數(shù)為上的偶函數(shù)，且滿足，當(dāng)時，.下列四個命題：：；：2是函數(shù)的一個周期；：函數(shù)在上單調(diào)遞增；：函數(shù)的增區(qū)間，其中真命題為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】分析：由題意首先確定函數(shù)f(x)的性質(zhì)，然后逐一分析所給的命題即可求得最終結(jié)果.詳解：中，令可得：，據(jù)此可得：，命題正確；由題意可知：，則函數(shù)的周期為，則函數(shù)的一個周期為8，命題錯誤，由可知函數(shù)關(guān)于點中心對稱，繪制函數(shù)圖像如圖所示：將函數(shù)圖像向右平移一個單位可得函數(shù)的圖像，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，命題錯誤；：函數(shù)的增區(qū)間滿足：，求解不等式組可得增區(qū)間為：，.綜上可得：真命題為.本題選擇C選項.點睛：本題主要考查函數(shù)的周期性，函數(shù)的奇偶性，函數(shù)圖象的平移變換等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.9.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線或虛線面出的是某幾何體的三視圖，俯視圖中的兩條弧均為圓弧，則該幾何體的體積為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】分析：由題意首先確定該幾何體的空間結(jié)構(gòu)，然后結(jié)合體積公式整理計算即可求得最終結(jié)果.詳解：如圖所示，在棱長為4的正方體中，分別為其對應(yīng)棱上的中點，將正方體裁取四分之一圓柱和四分之一圓錐后對應(yīng)的幾何體即為三視圖所對應(yīng)的幾何體，其中正方體的體積，四分之一圓柱的體積四分之一圓錐的體積，則所求組合體的體積為：.本題選擇C選項.點睛：(1)求解以三視圖為載體的空間幾何體的體積的關(guān)鍵是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，利用相應(yīng)體積公式求解；(2)若所給幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用等積法、分割法、補形法等方法進行求解．10.已知，，，則（）A.-2B.2C.D.【答案】C【解析】分析：由題意首先求得m,n的關(guān)系，然后結(jié)合對數(shù)的運算法則整理計算即可求得最終結(jié)果.詳解：由題意，設(shè)，則，，，據(jù)此有：，則：，即，據(jù)此可得：或，其中：，據(jù)此可得：，則.本題選擇C選項.點睛：本題主要考查對數(shù)的運算性質(zhì)，整體的數(shù)學(xué)思想等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.11.如圖所示，垂直于所在的平面，是的直徑，，是上的一點，，分別是點在，上的投影，當(dāng)三棱錐的體積最大時，與底面所成角的余弦值是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】分析：由題意首先得到體積的表達式，然后結(jié)合解析式確定函數(shù)取得最值時的條件，最后求得最值即可.詳解：設(shè)，由題意可知，設(shè)與底面所成的角為，則由圓的性質(zhì)可知：，由線面垂直的定義可知：，結(jié)合線面垂直的判斷定理可得：平面，則，結(jié)合可知平面，據(jù)此有，則，由平面可知，結(jié)合可得平面，則.在中，，利用面積相等可得：，在中，，則，，結(jié)合均值不等式的結(jié)論可知，當(dāng)，即時三棱錐的體積最大，此時.本題選擇D選項.點睛：本題主要考查線面垂直的定義與判斷定理，均值不等式的應(yīng)用，立體幾何中的最值問題，三棱錐的體積公式等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.12.已知函數(shù)的圖象與直線恰有三個公共點，這三個點的橫坐標(biāo)從小到大依次為，則（）A.-2B.C.0D.1【答案】B【解析】由題意得直線過定點，且斜率k>0,由對稱性可知，直線與三角函數(shù)圖像切于另外兩個點，所以，，則切線方程過點，所以，而=。選B.【點睛】直線與曲線相切一般要應(yīng)用三點，一是曲線在切點處的導(dǎo)數(shù)是切線的斜率，二是切點即在曲線上也在切線上，三是沒有切點要設(shè)切點。本就用到了上面三點，然后再配求所求式子的結(jié)構(gòu)。第Ⅱ卷（共90分）二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13.已知非零向量，滿足，，則與夾角為__________．【答案】【解析】分析：由題意結(jié)合平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算首先求得夾角的余弦值，然后求解兩向量的夾角即可.詳解：設(shè)兩向量的夾角為，由題意可得：，即：，則：，據(jù)此有：，整理計算可得：.點睛：本題主要考查數(shù)量積的運算法則，向量夾角的計算等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.14.的展開式中項的系數(shù)為__________．【答案】-132【解析】分析：由題意結(jié)合二項式展開式的通項公式首先寫出展開式，然后結(jié)合展開式整理計算即可求得最終結(jié)果.詳解：的展開式為：，當(dāng)，時，，當(dāng)，時，，據(jù)此可得：展開式中項的系數(shù)為.點睛：(1)二項式定理的核心是通項公式，求解此類問題可以分兩步完成：第一步根據(jù)所給出的條件(特定項)和通項公式，建立方程來確定指數(shù)(求解時要注意二項式系數(shù)中n和r的隱含條件，即n，r均為非負整數(shù)，且n≥r，如常數(shù)項指數(shù)為零、有理項指數(shù)為整數(shù)等)；第二步是根據(jù)所求的指數(shù)，再求所求解的項．(2)求兩個多項式的積的特定項，可先化簡或利用分類加法計數(shù)原理討論求解．15.拋物線的焦點為，過點的直線交拋物線于，兩點，交拋物線的準(zhǔn)線于點，若，，則__________．【答案】1或3【解析】分析：由題意分類討論點A在上方，點B在下方和點B在上方，點A在下方兩種情況即可求得實數(shù)p的值.詳解：如圖所示，當(dāng)點B位于點A下方時，由幾何關(guān)系可知：，代入拋物線方程可得：，結(jié)合可得：，直線的方程為：，與拋物線方程整理可得：，則：，結(jié)合可得：，則；當(dāng)點B位于點A下方時，由幾何關(guān)系可知：，代入拋物線方程可得：，結(jié)合可得：，直線的方程為：，與拋物線方程整理可得：，則：，結(jié)合可得：，則.綜上可得，p的值為1或3.點睛：(1)直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系；(2)有關(guān)直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點，若過拋物線的焦點，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過焦點，則必須用一般弦長公式．16.在中，內(nèi)角的對邊分別為，且滿足，為銳角，則的取值范圍為__________．【答案】【解析】分析：由題意首先利用正弦定理角化邊，然后結(jié)合余弦定理得到不等式，求解不等式即可求得最終結(jié)果.詳解：由結(jié)合正弦定理可得：，且，為銳角，則：，即，據(jù)此有：，，，，即，，據(jù)此可得：，則的取值范圍為.點睛：在處理三角形中的邊角關(guān)系時，一般全部化為角的關(guān)系，或全部化為邊的關(guān)系．題中若出現(xiàn)邊的一次式一般采用到正弦定理，出現(xiàn)邊的二次式一般采用到余弦定理．應(yīng)用正、余弦定理時，注意公式變式的應(yīng)用．解決三角形問題時，注意角的限制范圍．三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.已知數(shù)列的前項和為，數(shù)列的前項和為，滿足.（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）（2）【解析】分析：（1）由題意可得.且，即，據(jù)此可知數(shù)列是以為首項，2為公比的等比數(shù)列，其通項公式為.（2）由題意可知，錯位相減結(jié)合分組求和可得.詳解：（1）由得：，解得，由，解得.當(dāng)時，，即：，①②由②-①得，∴，又，所以數(shù)列是以為首項，2為公比的等比數(shù)列，∴，即.（2）∵，所以.記③，④，由③④得：，所以.所以.點睛：本題的核心是考查錯位相減求和.一般地，如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，求數(shù)列{an·bn}的前n項和時，可采用錯位相減法求和，一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列{bn}的公比，然后作差求解．18.如圖所示，在四棱柱中，底面是梯形，，側(cè)面為菱形，.（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）若，，直線與平面所成的角為，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.【答案】（1）見解析（2）【解析】試題分析：（1）考慮用向量法來證明，即計算來證明.具體方法是將轉(zhuǎn)化為同起點的向量，即，利用，可求得；（2）設(shè)線段的中點為以射線射線、射線為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得二面角的余弦值為.試題解析：（1）解一：因為側(cè)面為菱形，所以，又，所以，，．（2）設(shè)線段的中點為，連接，由題意知平面，因為側(cè)面為菱形，所以，故可分別以射線射線、射線為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系。設(shè)，由可知，所以，從而，所以．由可得，所以．設(shè)平面的一個法向量為，由，得取，則，所以．又平面的法向量為，所以．考點：空間向量證明垂直與求二面角.19.高鐵、網(wǎng)購、移動支付和共享單車被譽為中國的“新四大發(fā)明”，彰顯出中國式創(chuàng)新的強勁活力.某移動支付公司從我市移動支付用戶中隨機抽取100名進行調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)：每周移動支付次數(shù)1次2次3次4次5次6次及以上男10873215女5464630合計1512137845（Ⅰ）把每周使用移動支付超過3次的用戶稱為“移動支付活躍用戶”，能否在犯錯誤概率不超過0.005的前提下，認為是否為“移動支付活躍用戶”與性別有關(guān)？（Ⅱ）把每周使用移動支付6次及6次以上的用戶稱為“移動支付達人”，視頻率為概率，在我市所有“移動支付達人”中，隨機抽取4名用戶.①求抽取的4名用戶中，既有男“移動支付達人”又有女“移動支付達人”的概率；②為了鼓勵男性用戶使用移動支付，對抽出的男“移動支付達人”每人獎勵300元，記獎勵總金額為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.附公式及表如下：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（Ⅰ）在犯錯誤概率不超過0.005的前提下，能認為是否為“移動支付活躍用戶”與性別有關(guān).（Ⅱ）①②見解析.【解析】分析：（Ⅰ）由題意完成列聯(lián)表，結(jié)合列聯(lián)表計算可得.所以在犯錯誤概率不超過0.005的前提下，能認為是否為“移動支付活躍用戶”與性別有關(guān).（Ⅱ）視頻率為概率，在我市“移動支付達人”中，隨機抽取1名用戶，該用戶為男“移動支付達人”的概率為，女“移動支付達人”的概率為.①有對立事件公式可得滿足題意的概率值為.②記抽出的男“移動支付達人”人數(shù)為，則.由題意得，由二項分布公式首先求得Y的分布列，然后利用均值和方差的性質(zhì)可得X的分布列，計算可得，得的數(shù)學(xué)期望元.詳解：（Ⅰ）由表格數(shù)據(jù)可得列聯(lián)表如下：非移動支付活躍用戶移動支付活躍用戶合計男252045女154055合計4060100將列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計算得：.所以在犯錯誤概率不超過0.005的前提下，能認為是否為“移動支付活躍用戶”與性別有關(guān).（Ⅱ）視頻率為概率，在我市“移動支付達人”中，隨機抽取1名用戶，該用戶為男“移動支付達人”的概率為，女“移動支付達人”的概率為.①抽取的4名用戶中，既有男“移動支付達人”，又有女“移動支付達人”的概率為.②記抽出的男“移動支付達人”人數(shù)為，則.由題意得，；；；；.所以的分布列為01234所以的分布列為03006009001200由，得的數(shù)學(xué)期望元.點睛：本題主要考查離散型隨機變量的分布列，分布列的性質(zhì)，獨立性檢驗及其應(yīng)用等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.20.已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點，焦點在軸上，離心率，以橢圓的長軸和短軸為對角線的四邊形的周長為.（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）若經(jīng)過點的直線交橢圓于兩點，是否存在直線，使得到直線的距離滿足恒成立，若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)答案見解析.【解析】分析：（Ⅰ）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由題意可得，，.則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（Ⅱ）若直線的斜率不存在,則直線為任意直線都滿足要求；當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)其方程為：，與橢圓方程聯(lián)立有，結(jié)合韋達定理可得.則存在直線，使得到直線的距離滿足恒成立.詳解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，∵，∴，又∵，∴，由，解得，，.所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（Ⅱ）若直線的斜率不存在,則直線為任意直線都滿足要求；當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)其方程為：，設(shè)，（不妨令），則，，，，∵，∴，解得.由得，，，.綜上可知存在直線，使得到直線的距離滿足恒成立.點睛：(1)解答直線與橢圓的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系．(2)涉及到直線方程的設(shè)法時，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形．21.設(shè)函數(shù).（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性；（Ⅱ）若函數(shù)的極大值點為，證明：.【答案】(Ⅰ)答案見解析；(Ⅱ)證明見解析.【解析】分析：（Ⅰ）的定義域為，，據(jù)此分類討論可得：當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增；當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，原問題等價于證明.構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的特征再次構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)即可證得題中的結(jié)論.詳解：（Ⅰ）的定義域為，，當(dāng)時，，則函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增；當(dāng)時，由得，由得.所以，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時，由得，由得，所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減.綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增；當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.（Ⅱ）由（Ⅰ）知且時，解得.，要證，即證，即證：.令，則.令，易見函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.而，，所以在區(qū)間上存在唯一的實數(shù)，使得，即，且時，時.故在上遞減，在上遞增.∴.又，∴.∴成立，即成立.點睛：導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識點，所以在歷屆高考中，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查都非常突出，本專題在高考中的命題方向及命題角度從高考來看，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個角度進行：