PAGEPAGE3第二十講線段平面幾何是研究平面圖形(planeflgure)的性質(zhì)的一門學(xué)科，主要是研究平面圖形的形狀、大小及位置關(guān)系．構(gòu)成平面圖形的基本元素是點(diǎn)和線，在線中，最簡(jiǎn)單、最常見的就是線段、射線或直線，它們的概念、性質(zhì)及畫圖是后續(xù)學(xué)習(xí)研究由線段所組成的比較復(fù)雜圖形(如三角形、四邊形等)的基礎(chǔ)．幾何中的線段、射線、直線等概念是從現(xiàn)實(shí)的相關(guān)形象中抽象而來，它們沒有了實(shí)物中那些諸如寬度、硬度、顏色之類的性質(zhì)，但卻為現(xiàn)實(shí)問題的解決提供了有力的工具，使得許多問題的研究可以轉(zhuǎn)化為直觀、簡(jiǎn)明的幾何圖形研究．解決與線段相關(guān)的問題，常用到中點(diǎn)、代數(shù)化、枚舉與分類討論等相關(guān)概念與方法．例題【例1】平面內(nèi)兩兩相交的6條直線，其交點(diǎn)個(gè)數(shù)最少為個(gè)，最多為個(gè)．(“希望杯”邀請(qǐng)賽)思路點(diǎn)撥畫圖探求，從簡(jiǎn)單情形考慮，從特殊情形考慮．注：幾何原意是“測(cè)地術(shù)”，相傳起源于四千多年前的土地測(cè)量、面積計(jì)算、器皿制造、房屋建筑、天文歷算等實(shí)踐活動(dòng)的需要，公元前三百年左右，古希臘數(shù)學(xué)家歐基里德總結(jié)和整理了前人和當(dāng)時(shí)的幾何知識(shí)，寫成了巨著《幾何原本》．當(dāng)今，幾何巳形成結(jié)構(gòu)嚴(yán)密的科學(xué)體系，成為數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要分支，是訓(xùn)練邏輯思維能力與空間想象能力的最有效學(xué)科之一．求滿足一定條件的某種幾何圖形的個(gè)數(shù)叫幾何圖形的計(jì)數(shù)，常用到窮舉、歸納、逆推等方法，讀者思考以下典型問題：線段上有n個(gè)點(diǎn)(含兩個(gè)端點(diǎn))共有多少條線段?(2)n條直線兩兩相交的直線最多有幾個(gè)交點(diǎn)?(3)n條直線最多能把平面分成幾個(gè)區(qū)域?【例2】如圖，已知B是線段AC上的一點(diǎn)，M是線段AB的中點(diǎn)，N是線段AC的中點(diǎn)，P為NA的中點(diǎn)，Q為MA的中點(diǎn)，則MN：PQ等于()．(“五羊杯”邀請(qǐng)賽)A．1B．2C．3D．4思路點(diǎn)撥利用中點(diǎn)，設(shè)法把MN、PQ用含相同線段的代數(shù)式表示．【例3】如圖，C是線段AB的中點(diǎn)，D是線段AC的中點(diǎn)，已知圖中所有線段的長(zhǎng)度之和為23，求線段AC的長(zhǎng)度．思路點(diǎn)撥引人未知數(shù)，通過列方程求解．【例4】攝制組從A市到B市有一天的路程，計(jì)劃上午比下午多走100千米到C市吃午飯，由于堵車，中午才趕到一個(gè)小鎮(zhèn)，只行駛了原計(jì)劃的三分之一，過了小鎮(zhèn)，汽車趕了400千米，傍晚才停下來休息，司機(jī)說，再走從C市到這里路程的二分之一就到達(dá)目的地了，問A、B兩市相距多少千米?(“華杯賽”試題)思路點(diǎn)撥條件中只有路程，而沒有給出時(shí)間與速度，所以應(yīng)當(dāng)集中注意于名段路程之間的關(guān)系，畫線段圖分析，借助圖形思考．【例5】(1)如圖a，已知A、B在直線l的兩側(cè)，在l上求一點(diǎn)P，使PA+PB最小；(2)如圖b，已知A、B在直線l的同側(cè)，在l上求一點(diǎn)P，使PA+PB最?。?3)如圖c，有一正方體的盒子ABCD—A1B1ClDl，在盒子內(nèi)的頂點(diǎn)A處有一只蜘蛛，而在對(duì)角的頂點(diǎn)C處有一只蒼蠅．蜘蛛應(yīng)沿著什么路徑爬行，才能在最短的時(shí)間內(nèi)捕捉到蒼蠅?(假設(shè)蒼蠅在Cl處不動(dòng))思路點(diǎn)撥聯(lián)想到“兩點(diǎn)之間，線段最短”性質(zhì)，通過對(duì)稱、考察特殊點(diǎn)等方法，化曲為直．注：恰當(dāng)設(shè)元，運(yùn)用方程思想，將線段、角的計(jì)算問題代數(shù)化，是解與線段、角相關(guān)計(jì)算問題的重要方法．?dāng)?shù)學(xué)既研究數(shù)，也研究形，許多數(shù)學(xué)問題既可以從代數(shù)角度來思考，也可以從形的角度加以解決．“謀定而后動(dòng)”，解題方法的選擇建立在分析的基礎(chǔ)上，切忌“慌不擇路”，扎進(jìn)“死胡同”．分類思想是一種科學(xué)思想，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的各階段都要運(yùn)用到，幾何學(xué)運(yùn)用分類思想時(shí)，總是與圖形位置關(guān)系，數(shù)量關(guān)系相關(guān)的．【例6】攝制組從且市到月市有一天的路程，計(jì)劃上午比下午多走100km到C市吃午飯．由于堵車，中午才趕到一個(gè)小鎮(zhèn)，只行駛了原計(jì)劃的三分之一，過了小鎮(zhèn)，汽車趕了400km，傍晚才停下來休息，司機(jī)說，再走C市到這里路程的一半就到達(dá)目的地．問A、B市相距多少千米?思路點(diǎn)撥畫出線段圖進(jìn)行分析．如圖13—1所示，設(shè)小鎮(zhèn)為D點(diǎn)，傍晚在正點(diǎn)休息．∵GE=2EB，∴GE=BC∵AD=AC，∴DC=AC．∵DC+CE=（BC+AC）=AB∴DE=AB，又DE=400km；∴AB=600km．注：線段圖形比較直觀，在實(shí)際問題中有著廣泛的應(yīng)用．同學(xué)們想一想，“計(jì)劃上午比下午多走100km”這個(gè)條件是必需的嗎?如果把司機(jī)的話改成“再走C市到這里路程的就到達(dá)目的地”，需要前面的條件嗎?請(qǐng)同學(xué)們自己試完成解答．【例7】如圖13-7所示，在一條河的兩岸有兩個(gè)村莊，現(xiàn)要在河上建一座小橋，橋的方向與河流垂直，設(shè)河的寬度不變，試問：橋架在何處，才能使從A到B的距離最短?思路點(diǎn)撥雖然A、B兩點(diǎn)在河兩側(cè)，但連結(jié)AB的線段不垂直于河岸．如圖13-8，關(guān)鍵在于使AP+BD最短，但AP與BD未連起來，要用線段公理就要想辦使P與D重合起來，利用平行四邊形的特征可以實(shí)現(xiàn)這一目的。如圖13-9，建立在PD處符合題意．注：兩點(diǎn)之間線段最短，但許多實(shí)際問題沒這么簡(jiǎn)單，需要我們將一些線段進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即用與它相等的線段替代，從而轉(zhuǎn)化成兩點(diǎn)之間線段最短的問題．目前，往往利用對(duì)稱性、平行四邊形的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，以后還會(huì)學(xué)習(xí)一些線段轉(zhuǎn)化的方法．學(xué)力訓(xùn)練1．如圖，已知B、C是線段AD上的兩點(diǎn)，M是AB的中點(diǎn)，N是CD的中點(diǎn)，MN=a，BC=b，則線段AD=．2．從哈爾濱開往A市的特快列車，途中要?？?jī)蓚€(gè)站點(diǎn)，如果任意兩站間的票價(jià)都不相同，那么有種不同的票價(jià)．(黑龍江省中考題)16．(1)一條直線可以把平面分成兩個(gè)部分(或區(qū)域)，如圖，兩條直線可以把平面分成幾個(gè)部分?三條直線可以把平面分成幾個(gè)部分?試畫圖說明．(2)四條直線最多可以把平面分成幾個(gè)部分?試畫出示意圖，并說明這四條直線的位置關(guān)系．(3)平面上有n條直線。每?jī)蓷l直線都恰好相交，且沒有三條直線交于一點(diǎn)，處于這種位置的n條直線分一個(gè)平面所成的區(qū)域最多，記為，試研究與n之間的關(guān)系．(山東省聊城市中考題)17．如圖，設(shè)A、B、C、D為4個(gè)居民小區(qū)，現(xiàn)要在四邊形ABCD內(nèi)建一個(gè)購(gòu)物中心，試問應(yīng)把購(gòu)物中心建在何處，才能使4個(gè)居民小區(qū)到購(gòu)物中心的距離之和最小?說明理由．18．一條河兩岸有A、B兩地，要設(shè)計(jì)一條道路，并在河上垂直于河岸架一座橋，用來連接A、B兩地，問路線怎樣走，橋應(yīng)架在什么地方，才能使從A到B所走的路線最短?19．在線段AB上，先在A點(diǎn)標(biāo)注0，在B點(diǎn)標(biāo)注200