用分別常數(shù)法解2014年高考題用分別常數(shù)法議論方程根的個(gè)數(shù)題1(2014年高考課標(biāo)全國(guó)卷I理科第11題即文科第12題)已知函數(shù)f(x)ax33x21，若f(x)存在獨(dú)一的零點(diǎn)x0，且x00，則a的取值范圍是( )A.(2,)B.(1,)C.(,2)D.(,1)答案C解由于函數(shù)f(x)ax33x21的零點(diǎn)不為0，因此可得此題的題干等價(jià)于“對(duì)于x113的方程3a有獨(dú)一實(shí)根，且該實(shí)根是正數(shù)，求a的取值范圍”，也等價(jià)于“關(guān)xx于x的方程3xx3a有獨(dú)一實(shí)根，且該實(shí)根是正數(shù)，求a的取值范圍”．用導(dǎo)數(shù)簡(jiǎn)單作出曲線y3xx3如圖1所示：圖1由圖1可得答案C．13,x(1,0]題2(2014年重慶卷文科第10題)已知函數(shù)f(x)x1，且x,x(0,1]g(x)f(x)mxm在(1,1]內(nèi)有且僅有兩個(gè)不一樣的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( )A.(92](0,1B.(11,2](0,1],]4242C.(9,2](0,2]D.(11,2](0,2]4343答案A解設(shè)h(x)f(x)(1x1)，題意即曲線yh(x)與直線ym有兩個(gè)公共點(diǎn)．x1123x0)x1(1由于h(x)2，由復(fù)合函數(shù)單一性的鑒別法例“同增異減”11(0x1)x1可得函數(shù)h(x)在1上是減函數(shù)，在1,0,(0,1]上均是增函數(shù)，從而可作出曲線1,33h(x)的草圖如圖2所示，由此可得答案．圖2題3(2014年高考江蘇卷第13題)已知f(x)是定義在R上且周期為3的函數(shù)，當(dāng)x[0,3)時(shí)，f(x)x22x1，若函數(shù)yf(x)a在區(qū)間3,4上有10個(gè)零點(diǎn)(互2不同樣)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．答案0,12解作出函數(shù)f(x)x22x1(0x3)的圖象如圖3所示：2圖3有f(0)1；當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)，f(x)極大=1；f(3)=7．222對(duì)于x方程f(x)a0即f(x)=a在x[3,4]上有10個(gè)零點(diǎn)，即曲線yf(x)與直線ya在[3,4]上有10個(gè)交點(diǎn)．由于函數(shù)f(x)的周期為3，因此直線ya與曲線yx22x1(0x3)有4個(gè)交點(diǎn)，得所務(wù)實(shí)數(shù)a的取值范圍是0,1．22題4(2014年高考天津卷理科第14題)已知函數(shù)f(x)＝|x2＋3x|，x∈R．若方程f(x)－a|x－1|＝0恰有4個(gè)互異的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________．答案(0,1)∪(9,＋∞)解由于x1不是原方程的根，因此設(shè)x1x后可得此題等價(jià)于：若對(duì)于x的方程4a恰有4個(gè)互異的實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________．x5x(1)作出對(duì)勾函數(shù)f(x)x44所示：的圖象如圖x圖4(2)再由平移可作出函數(shù)g(x)x45所示：5的圖象如圖x圖5(3)作出函數(shù)h(x)x46所示：5的圖象如圖x圖6由于對(duì)于x的方程x4a的互異實(shí)根個(gè)數(shù)即兩條曲線yx455,ya公xx共點(diǎn)的個(gè)數(shù)，因此由圖6可得結(jié)論：①當(dāng)a0時(shí)，原方程互異實(shí)根的個(gè)數(shù)是0；②當(dāng)a0或1a9時(shí)，原方程互異實(shí)根的個(gè)數(shù)是2；③當(dāng)a1或9時(shí)，原方程互異實(shí)根的個(gè)數(shù)是3；④當(dāng)0a1或a9時(shí)，原方程互異實(shí)根的個(gè)數(shù)是4．因此此題的答案是(0,1)∪(9,＋∞)．題5(2014年高考天津卷文科第14題)已知函數(shù)f(x)＝|x2＋5x＋4|，x≤0，2|x－2|，x＞0.若函數(shù)y＝f(x)a|x|恰有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________．答案(1,2)簡(jiǎn)解由于x0不是函數(shù)y＝f(x)－a|x|的零點(diǎn)，因此可得此題等價(jià)于：x4(x0)5若兩條曲線yx,ya恰有4個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為221(x0)x________．x4(x0)5同題4的解法，可作出曲線yx221(x0)x

如圖7所示：圖7由圖7可得結(jié)論：①當(dāng)a0時(shí)，原方程互異實(shí)根的個(gè)數(shù)是0；②當(dāng)a0或a2時(shí)，原方程互異實(shí)根的個(gè)數(shù)是3；③當(dāng)0a1時(shí)，原方程互異實(shí)根的個(gè)數(shù)是6；④當(dāng)a1時(shí)，原方程互異實(shí)根的個(gè)數(shù)是5；⑤當(dāng)1a2時(shí)，原方程互異實(shí)根的個(gè)數(shù)是4．因此此題的答案是(1,2)．題6(2014年高考天津卷理科第20(1)題)設(shè)f(x)＝x－aex(a∈R)，x∈R．已知函數(shù)y＝f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)x1，x2，且x1<x2，求a的取值范圍．解題設(shè)對(duì)于x的方程xexa有兩個(gè)零點(diǎn)．用導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)g(x)xex在(,1),(1,)上分別是增函數(shù)、減函數(shù)，且limg(x),g(1)1,limg(x)0．由此可作出函數(shù)g(x)的圖象如圖8所示：xex圖8因此所求答案為0,1．e題7(2014年高考課標(biāo)全國(guó)卷II文科第21題)已知函數(shù)f(x)x33x2ax2，曲線yf(x)在點(diǎn)(0,2)處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2．(1)求a；(2)證明：當(dāng)k1時(shí)，曲線yf(x)與直線ykx2只有一個(gè)交點(diǎn)．解(1)a1．(2)題意即證“當(dāng)k1時(shí)，對(duì)于x的方程x33x2ax2=kx2即有獨(dú)一實(shí)根”．121542x8(x2)，因此函數(shù)g(x)在設(shè)g(x)x23x1，得g(x)4xx2(,0),(0,2)上均是減函數(shù)，在(2,)上是增函數(shù)．由此可作出函數(shù)g(x)x23x41x的圖象如圖9所示：圖9由圖9可得欲證建立．題8(2014年高考北京卷文科第20題)已知函數(shù)f(x)2x33x．(1)求f(x)在區(qū)間[2,1]上的最大值；(2)若過點(diǎn)

P(1,t)

存在

3條直線與曲線

y

f(x)

相切，求

t的取值范圍；(3)問過點(diǎn)

A(

1,2),B(2,10),C(0,2)

分別存在幾條直線與曲線

yf(x)

相切只要寫出結(jié)論．解(1)(3)略．(2)f(x)6x23．當(dāng)點(diǎn)P在曲線yf(x)上即t1時(shí)：又當(dāng)點(diǎn)P(1,1)是切點(diǎn)時(shí)，曲線yf(x)過點(diǎn)P的切線是1條．又當(dāng)點(diǎn)P(1,1)不是切點(diǎn)時(shí)，可設(shè)切點(diǎn)為(xP,2xP33xP)(xP1)，得2xP33xP16x23(x1)xP1PP1xP2因此此時(shí)過點(diǎn)P的切線是1條．得過點(diǎn)P存在2條直線與曲線yf(x)相切，不合題意．因此t1，即點(diǎn)P不在曲線yf(x)上．可設(shè)切點(diǎn)為(xP,2xP33xP)，得2x33xPt2P6xP3xP14xP36xP2t30題意即這個(gè)一元三次方程也即對(duì)于x的一元三次方程4x36x23t(t1)有三個(gè)實(shí)根．用導(dǎo)數(shù)知識(shí)可作出函數(shù)g(x)4x36x23的圖象如圖10所示：圖10由圖10可得所求t的取值范圍是(3,1)．題9(2014年廣東卷文科第21題)已知函數(shù)f(x)1x3x2ax1(aR)．3(1)求函數(shù)f(x)的單一區(qū)間；(2)當(dāng)a0時(shí)，試議論能否存在x00,11,1，使得f(x0)f1．222解(1)略．(2)方程f(x0)f1x01，即221xax1=1323x211a11x13000322202321x031x021ax010x01322221x021x01x01a0x01324224x0214x012a70x01①2因此“當(dāng)a0時(shí)，存在x00,11,1，使得f(x0)f1”222“當(dāng)a0x011時(shí)，方程①在0,,1時(shí)有解”22“當(dāng)a0時(shí)，對(duì)于x0的方程4x0214x0712ax00,11,1有解”22由于函數(shù)g(x0)4x0214x07x00,11,1的值域是(7,15)(15,25)，所22以“當(dāng)a0時(shí)，存在x00,11,1，使得f(x0)f1”22212a(7,15)(15,25)a25,55,7124412由此得此題的答案是：當(dāng)a0時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)a25,55,7時(shí)，存在124412x00,11,1，使得f(x0)f1．222注由以上解法還可得下邊的結(jié)論：若f(x)1x3x2ax1x1(aR)，則32(1)當(dāng)且僅當(dāng)a1時(shí)，對(duì)于x的方程f(x)f1無解；62(2)當(dāng)且僅當(dāng)a1,7時(shí)，對(duì)于x的方程f(x)f1有獨(dú)一解；662(3)當(dāng)且僅當(dāng)a17f1有且僅有兩個(gè)解．且a時(shí)，對(duì)于x的方程f(x)662題10(2014年高考山東卷理科第20題)設(shè)函數(shù)fxexk2lnx(k為常數(shù)，x2x2.71828L是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))．(1)當(dāng)k0時(shí)，求函數(shù)fx的單一區(qū)間；(2)若函數(shù)fx在0,2內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，求k的取值范圍．解(1)fxexkx(x2)(x>0)．x3當(dāng)k0時(shí)，得exkx0,x30，因此f(x)與x2同號(hào)，得函數(shù)fx的單一增區(qū)間、減區(qū)間分別是(0,2),(2,)．(2)由(1)的結(jié)論知，f2xkex(0<x2)，fx與kexxx同號(hào)．x2x設(shè)gxex(0<x2)，得gxx21ex(0<x2)．xx因此函數(shù)g(x)在(0,1),(1,2)上分別是減函數(shù)、增函數(shù)．又由于limgxe2f(x)在(0,2)有兩個(gè)零點(diǎn)eke2,g(2)，因此函數(shù)．x022設(shè)這兩個(gè)零點(diǎn)分別是x1,x2(0x1x22)，還可證它們分別是函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn)、極大值點(diǎn)．因此所求k的取值范圍是e,e2．2用分別常數(shù)法求解恒建立、存在性問題題11(2014年高考遼寧卷文科第12題)當(dāng)x[2,1]時(shí)，不等式ax3x24x30恒建立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．[5,3]B．6,9C．[6,2]D．[4,3]8答案C解分2x0,x0,0x1三種情況議論，并用分別常數(shù)法，可求得答案．題12(2014年高考湖南卷理科第10題)已知函數(shù)f(x)x2ex1(x0)與g(x)x2ln(xa)的圖象上存在對(duì)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)，則a的2取值范圍是( )A.(,1B.(,e)C.(1e)D.(e,1),)eee答案Bex1x1題意即對(duì)于x的方程x2x2ln(ax)(xexa(x0)有解0)也即e22解．ex1易知函數(shù)h(x)=e2x(x0)是增函數(shù)(兩個(gè)增函數(shù)之和是增函數(shù))，因此ah(0)e．題13(2014年高考課標(biāo)全國(guó)卷II理科第12題)設(shè)函數(shù)fx3sinx．若存在fxm的極值點(diǎn)x0知足x02fx02m2，則m的取值范圍是( )A.(,6)(6,)B.(,4)(4,)C.(,2)(2,)D.(,1)(4,)答案C解fx3cosx．得fx03cosx00,x0mkmZ)(還可得mmmm2(k這樣的x0必定是函數(shù)fx的極值點(diǎn))．23x0知足x02fx02m2，即kZ11知足k，也即2m222k113，還即113，從而可得答案．2minm22m2x2y40題14(2014年高考浙江卷理科第13題)當(dāng)實(shí)數(shù)x，y知足xy10時(shí)，x11axy4恒建立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．答案1,

32解所給地區(qū)是以三點(diǎn)(1,0),1,3,(2,1)為極點(diǎn)的三角形，因此1x2．2“1axy4恒建立”即“y4ay1x恒建立”，由斜率的幾何意義可得答x案．題15(2014年高考江蘇卷第19(2)題)已知函數(shù)f(x)exex，此中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．若對(duì)于x的不等式mf(x)exm1在(0,)上恒建立，務(wù)實(shí)數(shù)m的取值范圍．解設(shè)tx(x0)，得題設(shè)即mt1(t1)恒建立．可得m0，因此題設(shè)e2tt11t112(t1)恒建立，可得114，得實(shí)數(shù)m的取值范圍,1．即11mmt3題16(2014年高考陜西卷文科第21題)設(shè)函數(shù)f(x)lnxm,mR．x(1)當(dāng)me(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))時(shí)，求f(x)的極小值；(2)議論函數(shù)g(x)f'(x)x零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；3(3)若對(duì)隨意ba0,f(b)f(a)1恒建立，求m的取值范圍．ba解(1)略．(2)用分別常數(shù)法可求得答案：當(dāng)m0或m21；當(dāng)0m2g(x)零點(diǎn)的時(shí)，函數(shù)g(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是時(shí)，函數(shù)233個(gè)數(shù)是2；當(dāng)m時(shí)，函數(shù)g(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是0．3(3)題設(shè)即f(a)af(b)b(0ab)恒成立，也即函數(shù)h(x)f(x)xmx(x0)是減函數(shù)．lnxx用分別常數(shù)法可求得m的取值范圍是1,．4練習(xí)1.(2013年高考陜西卷理科第21(2)題)設(shè)x>0，議論曲線yx20)公共點(diǎn)的e,ymx(m個(gè)數(shù)．2.(2013年高考新課標(biāo)卷I理科第21題)已知函數(shù)f(x)x2axb,g(x)ex(cxd)．若曲線yf(x)和曲線yg(x)都過點(diǎn)P(0,2)，且在點(diǎn)P處有同樣的切線y4x2．(1)求a,b,c,d的值；(2)若x2時(shí)，f(x)kg(x)，求k的取值范圍．3.(2013年高考福建卷文科第aR，e為自然對(duì)數(shù)的22題)已知函數(shù)f(x)x1x(ae底數(shù))．(1)若曲線yf(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線平行于x軸，求a的值；(2)求函數(shù)f(x)的極值；(3)當(dāng)a1時(shí)，若直線l:ykx1與曲線yf(x)沒有公共點(diǎn)，求k的最大值．答案：1.當(dāng)0me2me21個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)me2時(shí)，有0個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有有2個(gè)444公共點(diǎn)．2.(1)a4,bcd2．(2)題設(shè)即x24x22kex(x1)(x2)恒建立．設(shè)h(x)x24x2h(x)2k(2x1)ex(x1)，可得題設(shè)即2k(x1)恒建立．h(