阿耶波多(Kusumapura)；卒年不詳．?dāng)?shù)學(xué)、天文學(xué)．阿耶波多是迄今所知最早的印度數(shù)學(xué)家．他的出生地拘蘇摩補(bǔ)羅距現(xiàn)今的巴特拉不遠(yuǎn)．巴特拉在當(dāng)時(shí)叫華氏城(Pātaliputra)，是一座有名的古城．釋迦牟尼晚年曾行教至此．華氏城先后是孔雀王朝、笈多王朝的都城．公元5世紀(jì)初，即阿耶波多出生前近一個(gè)世紀(jì)，中國(guó)的高僧法顯曾在該城的佛教寺院里從事學(xué)術(shù)活動(dòng)．阿耶波多在華氏城和拘蘇摩補(bǔ)羅著書(shū)立說(shuō)，屬于拘蘇摩補(bǔ)羅學(xué)派．他書(shū)于公元499年，另一本天算書(shū)已經(jīng)失傳．《阿耶波多歷書(shū)》包括“天文表集”(Dasagītikā)、“算術(shù)”(Ganitapāda)、“時(shí)間的度量”(Kālakriyāpāda)、“球”(Golapāda)等部分．該書(shū)于公元800年左右被譯成拉丁文，有較大的影響．《阿耶波多歷書(shū)》曾被多次評(píng)注，特別是在南印度，許多學(xué)者對(duì)該書(shū)進(jìn)行過(guò)深入的研究．阿耶波多對(duì)數(shù)學(xué)作出了多方面的貢獻(xiàn)．其中π值、正弦表和一次不定方程的解法是他的最有代表性的成果．在數(shù)學(xué)史上，π值即圓周率的計(jì)算占有重要的地位．在某種程度上，它反映一個(gè)國(guó)家數(shù)學(xué)發(fā)展的水平．中國(guó)魏晉時(shí)期，劉徽運(yùn)用“割圓木”時(shí)，祖沖之求得＜π＜，并得出兩個(gè)重要的近似值：除中國(guó)以外，關(guān)于π值為的記載，也見(jiàn)于阿耶波多的著作中．阿耶波多指出：“100加4再乘8，再加62000，就得到直徑是20000的師承關(guān)系，尚待進(jìn)一步研究．在三角學(xué)方面，阿耶波多以他制作的正弦表而聞名于世．希臘人托勒密(Ptolemy)早就制作過(guò)從0°到90°每隔半度的弦表，他把圓周分為360等份，每等份繼續(xù)分為60小等份，另把半徑分為60等份，對(duì)失傳的天文學(xué)著作《蘇利耶歷書(shū)》(SūryaSid-dhānta)中據(jù)說(shuō)也載有正弦表，阿耶波多的正弦表很可能是在此表的基礎(chǔ)上改進(jìn)而成的．在制作過(guò)程中，他大概用了幾何技巧和近似運(yùn)算等數(shù)學(xué)知識(shí)．阿耶波多正弦表包含從0°到90°每隔3°45′的正弦值，它比較過(guò)去希臘人的弦表，有兩點(diǎn)明顯的區(qū)別：其一，把圓周分為360等份，每份繼續(xù)分為60小等份，半徑r也同圓周一樣度量．于是，從圓周長(zhǎng)=360×60=21600分及圓周長(zhǎng)=2πr，得半徑r=．略去小數(shù)部分，取近似值得r=3438．不再像希臘人那樣，把圓周分為360份，而把半徑另分為60份．阿耶波多默認(rèn)曲線和直線可用同一單位度量，這無(wú)疑是一大進(jìn)步．按照這種統(tǒng)一的度量法，即有sin7°20′=449，sin30°=1719，等等．其二，阿耶波多是計(jì)算半弦(相當(dāng)于現(xiàn)在的正弦線)而不是全弦的長(zhǎng)，這也是與希臘人不同的．阿耶波多稱半弦為jiva，該詞原意為獵人的弓弦．阿拉伯人將它譯成dschiba．后來(lái)又誤成形狀相似的dschaib，這個(gè)詞的原意為胸膛、海灣或凹處．12世紀(jì)時(shí)，它被蒂沃利(意大利中部，羅馬之東)地方的柏拉圖(PlatoofTivoli)意譯成拉丁文sinus，“正弦”一詞即來(lái)源于此．不定方程可以說(shuō)是阿耶波多貢獻(xiàn)最大的一個(gè)領(lǐng)域．他提出：如何決定一個(gè)整數(shù)N，使N除以整數(shù)a余r1，除以整數(shù)b余r2，即N=ax+r1=by+r2，或by-ax=c，其中c=r1-r2．通過(guò)研究這類(lèi)問(wèn)題，阿耶波多建立了求一次線性不定方程by-ax=c(a，b，c都是整數(shù))的正整數(shù)通解的法則，并將此法則推廣到解一次聯(lián)立不定方程組．這項(xiàng)工作是走在當(dāng)時(shí)世界前列的．阿耶波多的法則實(shí)際上就是輾轉(zhuǎn)相除法．印度人稱求解一次不定方程為庫(kù)塔卡(Kuttaka)，意思為碾細(xì)．阿耶波多開(kāi)庫(kù)塔卡的先河．按照他的學(xué)生婆什迦羅(BhāskaraⅠ)等人的解釋，用現(xiàn)代數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)，對(duì)by-ax=c(Ⅰ)，不妨設(shè)a，b互質(zhì)．阿耶波多的解法如下：作輾轉(zhuǎn)除法，可得到一系列的商和余數(shù)：q，q1，q2，q3，…qm，r1，r2，r3，…rm+1．其中，a=bq+r1，b=r1q1+r2，r1=r2q2+r3，r2=r3q3+r4，……rm-2=rm-1qm-1+rm，rm-1=rmqm+rm+1．以a=bq+r1代入方程(Ⅰ)中，可得by=(bq+r1)x+c．故y=qx+y1，by1=r1x+c．(Ⅰ.1)將b=r1q1+r2代入(Ⅰ.1)中，得x=q2y1+x1，r1x1=r2y1-c．(Ⅰ.2)按上法運(yùn)算下去，并把所得的式子排成兩欄，有互除可以進(jìn)行到0，也可以進(jìn)行到某一步為止．再分下列幾種情況討論：(1)假定互除進(jìn)行到0，因?yàn)閍，b互質(zhì)，倒數(shù)第二個(gè)余數(shù)是1．若序數(shù)是偶數(shù)，則有r2n=1，r2n+1=0，q2n=r2n-1．式(Ⅰ.2n)和(Ⅰ.2n+1)分別為yn=q2nxn+c，yn+1=c．給xn以任一整數(shù)值t，可得yn的一整數(shù)值．由(2n)，又得到xn-1的值，一步步往回推，最后可得到x，y的整數(shù)值；若序數(shù)是奇數(shù)，則可由式(Ⅰ.2n-1)和(Ⅰ.2n)等求解．(2)假定互除在某一步停止．若序數(shù)是偶數(shù)，則有r2nyn+1=r2n+1xn+c，(2n+1)，得yn的整數(shù)值．一步步往回推，可得x，y的整數(shù)值；若序使xn也為整數(shù)．由(2n)，得xn-1的整數(shù)值．逆推可解出x，y的整數(shù)值．顯然，若x=α，y=β是方程by-ax=c的最小整數(shù)解，則x=bm+α，y=am+β(m為任意整數(shù))也是方程的解，這就是方程的通解．阿耶波多的法則，被他的學(xué)生婆什迦羅推廣到解by-ax=-c，后來(lái)的印度數(shù)學(xué)家繼續(xù)研究了這類(lèi)不定方程問(wèn)題，得到了其他一些結(jié)果．10世紀(jì)中，阿耶波多Ⅱ(AryabhataⅡ)進(jìn)一步改進(jìn)了阿耶波多的法則，并指出運(yùn)算可以簡(jiǎn)化及法則可能失效的情況．?dāng)?shù)百年來(lái)積累的這些成果，形成了印度數(shù)學(xué)中有名的庫(kù)塔卡理論．在世界古代數(shù)學(xué)史上，不定方程也受到中國(guó)、希臘等國(guó)學(xué)者的注意．中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》討論了不定方程組問(wèn)題，并指出解法：“如方程，以正負(fù)術(shù)入之”．即按線性方程組來(lái)解．古希臘學(xué)者丟番圖(Diophantus)因研究不定方程很有成就，以至后人把求整系數(shù)不定方程的整數(shù)解稱為解“丟番圖方程”．丟番圖研究的主要是高次不定方程，他解方程時(shí)只限于正根，認(rèn)為負(fù)根出現(xiàn)則表明方程不合理．解二次方程的時(shí)候，即使兩個(gè)根都是正根，他也只取一根．希臘學(xué)者在這方面的缺陷，被阿耶波多及后來(lái)的印度數(shù)學(xué)家彌補(bǔ)了．阿耶波多還有其他許多數(shù)學(xué)成果，例如印度的字母記數(shù)法，開(kāi)平方、開(kāi)立方法則，等等．他還引入了一些算術(shù)級(jí)數(shù)，它們?cè)谶^(guò)去的印度典籍中沒(méi)有發(fā)現(xiàn)過(guò)．但是，他關(guān)于求圓面積的公式顯然取自早期的印度天算《阿耶波多歷書(shū)》是印度第一部重要天算著作．在書(shū)中，阿耶波多運(yùn)用他提出的數(shù)學(xué)方法，計(jì)算了黃道、白道的升交點(diǎn)和