第05講函數(shù)及其表示

1、函數(shù)與映射的概念

函數(shù)映射

兩個(gè)集合

設(shè)A、B是兩個(gè)非空數(shù)集設(shè)A、B是兩個(gè)非空集合

4、B

按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系力使對(duì)于集按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系使對(duì)于集合

對(duì)應(yīng)關(guān)系合4中的任意一個(gè)數(shù)x,在集合8中都A中的任意一個(gè)元素X,在集合8中都有

有唯一確定的數(shù)/(X)和它對(duì)應(yīng)唯一確定的元素y與之對(duì)應(yīng)

稱/：A-^B為從集合A到集合B的一稱/：A-8為從集合A到集合8的一個(gè)

名稱

個(gè)函數(shù)映射

記法y=f(x),xGA/：A-B

注意：判斷一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系是否是函數(shù)關(guān)系，就看這個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系是否滿足函數(shù)定義中“定義域內(nèi)的任意

一個(gè)自變量的值都有唯一確定的函數(shù)值”這個(gè)核心點(diǎn).

2、函數(shù)的定義域、值域

在函數(shù)y=/(x),xGA中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域，與x的值相對(duì)應(yīng)的y

值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合lAx)|xGA｝叫做函數(shù)的值域.

3、構(gòu)成函數(shù)的三要素

函數(shù)的三要素為定義域、值域、對(duì)應(yīng)關(guān)系.

4、函數(shù)的表示方法

函數(shù)的表示方法有三種：解析法、列表法、圖象法.

解析法：一般情況下，必須注明函數(shù)的定義域；

列表法：選取的自變量要有代表性，應(yīng)能反映定義域的特征；

圖象法：注意定義域?qū)D象的影響.

5、函數(shù)的定義域

函數(shù)的定義域是使函數(shù)解析式有意義的自變量的取值范圍，常見基本初等函數(shù)定義域的要求為：

(1)分式函數(shù)中分母不等于零.

(2)偶次根式函數(shù)的被開方式大于或等于0.

(3)一次函數(shù)、二次函數(shù)的定義域均為R.

(4)j=x°的定義域是｛x|x#0｝.

(5)3=爐(。＞0且存1),y=sinx,y=cosx的定義域均為R.

(6)y=logd(a>0且存1)的定義域?yàn)?0，+<?).

兀

(7)y=tanx的定義域?yàn)椋鹸|xXE+5,2eZ).

考點(diǎn)一函數(shù)的定義域

1.（2021?邵東市第一中學(xué)高三月考）函數(shù)f（x）=（i_x）1+（2x_l）。的定義域是（)

A.

c.（何唱」

【答案】B

【詳解】

解："'）=而故｛m，解得…卜唱嗎」｝

故選：B

2.(2021?浙江高三學(xué)業(yè)考試)函數(shù)〃x)=Gib+—二的定義域是()

x+2

A.[-3,+oo)B.(-3,+oo)

C.[-3,-2)U(-2,+oo)D.[—3,2)U(2,+oo)

【答案】C

【詳解】

fx+3>0「、一/、

根據(jù)題意可得.n，所以xe[-3,-2）U（-2,位）.

故選：C.

3.（2021?陜西高三月考（文））函數(shù)=二的定義域是（）

A.卜2收）B.[-2,-l）U（-l,+^）

C.（-1,+<?）D.[-2,-1）

【答案】B

【詳解】

x+1wO

由題意可得X+22。'解得一2-1或x,L

因此，函數(shù)〃x）=a-^/^5定義域?yàn)椴?,-l）U（T,y）.

故選：B.

4.（2021?江西鷹潭市?鷹潭一中高三月考（文））函數(shù)〃x）=&+，的定義域是（）

A.{x|x>0}B.{%|x>0}C.{x|x#O}D.R

【答案】A

【詳解】

fx>0

要使f（x）有意義，則滿足《八，得到x〉0.

故選A.

5.（2021?河南高二期末（文））已知集合A={x|0W2},8=卜上=71=7,X€叫，則AA8=（）

A.{0,1,2}B.[0,1]C.{0,1}D.{1}

【答案】C

【詳解】

函數(shù)y=有意義，必有1—xNO,即*41,于是得5={x|l—XN0,X€N}={0』},而4={x|04x42},

所以AnB={O,l}.

故選：C

6.（2021?浙江師范大學(xué)附屬東陽(yáng)花園外國(guó)語(yǔ)學(xué)校）函數(shù)/。）=若+TT萬的定義域是（)

A.[1,+<?)B.[―l,+oo)C.(-00,1)51,+°°)D.(l,+oo)

【答案】D

【詳解】

10

由解析式有意義可得{,八，故X>1,

[X-1HO

故函數(shù)的定義域?yàn)椋?,+8）

故選:D.

，,、6

7.（2021?懷化市辰溪博雅實(shí)驗(yàn)學(xué)校高二月考）函數(shù)f⑶=7『_3X+2的定義域?yàn)椋?

A.[1,2]B.(1,2]C.(1,2)D.(y),l)U(2,+?)

【答案】D

【詳解】

解：要使函數(shù)有意義，貝1叱-3》+2>0,即（x—l）（x—2）>0,解得x<l或x>2.

〃/、6

所以函數(shù)/（力=了213》+2的定義域?yàn)椋?,1）52,+O

故選：D

考點(diǎn)二抽象函數(shù)定義域

1.(2021?沙坪壩?重慶八中高三開學(xué)考試)已知函數(shù)“X)定義域?yàn)?0,+功，則函數(shù)*x)=〃x+2)+7n

定義域?yàn)?).

A.(-2,3]B.[-2,3]

C.(0,3]1).(0,3)

【答案】A

【詳解】

函數(shù)F(x)="1+2)+行三需滿足解得-2<XV3.

故選：A

2.(2021?巴楚縣第一中學(xué)高二月考(文))已知函數(shù)y=/(x)定義域是[一2,3],則y=〃2x—1)的定義

域是()

A.——,2B.[—1,4]C.[—2,3]D.0,—

【答案】A

【詳解】

由題意-242x-143,解得-Q4x42.

故選：A.

3.(2021?河南開封?高一期末)已知函數(shù)的定義域?yàn)?1,3),則函數(shù)/(2x-l)的定義域?yàn)?)

A.(1,2)B.(1,5)C.(2,5)D.(1,3)

【答案】A

【詳解】

解：由題意可知，l<2x—1<3,解得l<x<2,即函數(shù)/(2x-l)的定義域?yàn)?1,2)；

故選：A

4.(2021?安徽蚌埠?)已知函數(shù)“X)的定義域是[0,2],則函數(shù)8(無)=/1+￡|+/1-J的定義域是

()

"131「15]「13]「”I

_22j122」L22jL1

【答案】A

【詳解】

0<x+-<2

因?yàn)楹瘮?shù)/（X）的定義域是[0,2],所以有:2

22

0<x--<2

2

故選：A

5.（2021?全國(guó)）已知函數(shù)的定義域?yàn)閇-3,3],則函數(shù)〃x-l）的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

A.[-2,3]B.[-2,4]

C.[-4,2]D.[0,2]

【答案】B

【詳解】

由于函數(shù)『（X）的定義域?yàn)閇-3,3],對(duì)于函數(shù)〃x-1）,W-3<x-l<3,解得—2WX44.

因此，函數(shù)〃x-l）的定義域?yàn)閇-2,4].

故選：B.

6.（2021?江蘇高一）已知函數(shù)〃x）的定義域?yàn)閇0,2],則函數(shù)），=￡①D的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

x-1

A.[-1,1）B.（1,3]C.[-l,0）U（0,l]D.[O,1）U（1,2]

【答案】A

【詳解】

因?yàn)楹瘮?shù)“X）的定義域?yàn)閇0,2]且分式的分母不等于零，

解得-L,x<\,

故函數(shù)y=/空?的定義域?yàn)?I,I）,

x-1

故選：A.

7.（2021?全國(guó)高一）已知函數(shù)y=/（x）的定義域?yàn)閇-6,1],則g（x）=3署的定義域是（）

x+2

■7-

A.（-co,-2）U（-2,3]B.--,-2

C.[-11,3]D.-g,-2）U（-2,0]

【答案】D

【詳解】

-6^2X+1<17

由題意可得：x+2/。'解得「齊>40旦…,

故g(x)="2x?)的定義域是二,_215-2,0],

x+2L2)

故選：D

8.(2021?全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))已知函數(shù)y=/(x+1)定義域是[-2,3]，則y=/(2x-l)的定義域是()

A.[0,^-]B.[—1,4]C.[—5,5]D.[—3,7]

【答案】A

【詳解】

函數(shù)尸F(xiàn)(廣1)定義域是[-2,3],則一1KX+1W4,

所以-142144,解得O4x4：,

所以函數(shù)的定義域?yàn)閇0,1].

故選：A

9.(2021?全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))已知函數(shù)〃x)的定義域?yàn)閇-1,2),則函數(shù)/(x-1)的定義域?yàn)?)

A.[-1,2)B.L0,2)

C.[0,3)1).[-2,1)

【答案】C

【詳解】

???/(X)的定義域?yàn)閇—1,2),

.,.-1^X2,

由抽象函數(shù)的定義域求法可得：一lWx—1<2,解得0W水3,

??./(》-1)的定義域?yàn)閇0,3),

故選：C.

10.(2021?全國(guó))已知/(X)的定義域?yàn)?-1,0),則函數(shù)/(2x+l)的定義域?yàn)?/p>

A.(—1,1)B.(—1,——)C.(—1,0)D.(―,1)

【答案】B

【詳解】

試題分析：因?yàn)楹瘮?shù)F(x)的定義域?yàn)?TO),故函數(shù)f(2x+l)有意義只需/<2x+l<0即可，解得

選B.

考點(diǎn)三函數(shù)的解析式

1.(2021?新疆五家渠市兵團(tuán)二中金科實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一開學(xué)考試)已知f(x)是一次函數(shù)，

2/(2)-3/(1)=5,2/(0)-/(-1)=1,則()

A.3x4-2B.3尤一2C.2x+3D.2x-3

【答案】B

【詳解】

由題意，設(shè)函數(shù)〃》)=丘+仇%*0),

(k-b=5

因?yàn)?〃2)_3/⑴=5,2/(O)_f(_l)=l,可得八+/,=［，解得q=3,〃=_2,

所以〃x)=3x-2.

故選：B.

2.(2021?全國(guó)高一專題練習(xí))己知/5)是一次函數(shù)，且/(x-l)=3x-5,則/(x)=()

A.3x-2B.2x+3C.3x+2D.2x-3

【答案】A

【詳解】

設(shè)一次函數(shù)y=6+6(“*0),Ijll]/(x-\)=a{x-V)+b=ax-a+b,由/(x-l)=3x-5得方一a+)=3x-5,即

f(z=3[a=3

L<,解得八°，，/(X)=3X—2-

[b-a=-5=-2

故選：A.

3.(2021?全國(guó))一次函數(shù)g(x)g(x)滿足g(g(x))=9x+8,則g(x)的解析式是()

A.g(x)=9x+8

B.g(x)=3x-2

C.g(x)=—3x-Mg(x)=3x+2

D.g(x)=3x+8

【答案】C

【詳解】

因?yàn)間(x)是一次函數(shù)，

所以設(shè)g(x)=kx+b(kw0),

所以g[gW]-k(kx+b)+b,

々2=9,

又因?yàn)間[g(刈=9x+8,所以.0

[kb+b-S,

伙=3,僅=-3,

解得匕。或L上

[b=2[b--4,

所以g(x)=3x+2或g(x)=-3x-4.

故選：C

4.(2021?全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))已知一次函數(shù)的圖象過點(diǎn)(1,0)和(0,1),則此一次函數(shù)的解析式為()

A./(X)=-XB./(x)=x-l

C./(x)=X+1D.f(X)=-X+\

【答案】D

【詳解】

,\a+b=0,

設(shè)/(x)=ax+b("0),則有t,

3=1,

所以。=-1,b=l,所以/(x)=-x+l.

故選：D

k

5.(2020?全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))若函數(shù)y=上的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2,3),則該函數(shù)的圖象一定經(jīng)過

x

A.(1,6)B.(-1,6)

C.(2,-3)D.(3,-2)

【答案】A

【詳解】

將(2,3)代入函數(shù)解析式得3=*=6,故y=g，也即盯=6,經(jīng)驗(yàn)證知A選項(xiàng)正確，故選A.

6.(2021?江西省靖安中學(xué)高一月考)二次函數(shù)“X)滿足/(x+l)-/(x)=2x,且f(O)=l,

(1)求的解析式；

2

【答案】(1)/(x)=x-x+l;

【詳解】

(1)由題設(shè)/(工)=0^+—+C(4H。)

???/(0)=1

.?.c=l又/(x+l)T(x)=2x

a(x+1了+b(x+1)+c—(ax2+bx+c)=2x

2ax+a+b=2x

[2"2p=l

[a+b=0[/?=-1

/.f(x)=x2-x+\

7.(2021?江西高安中學(xué)高一月考?)已知二次函數(shù)〃x)滿足〃x+l)-/(x)=4x,且"0)=1,

(1)求二次函數(shù)的解析式；

【答案】(1)/(X)=2X2-2X+1；

【詳解】

(1)設(shè)二次函數(shù)〃入"加+陵+4”。).

/(0)=1,C=1.把/(X)的表達(dá)式代入/(%+1)—/(x)=4x,有〃(K+1)2+Z?(x+l)+l-(ar2+Z?x+l)=4A.

2ax+a+b=4x...a=2,b=-2./(x)=2x2-2x+l.

(2)g(x)=2"。=的單調(diào)增區(qū)間為(；，+8),

函數(shù)的值域?yàn)椋鬯?+<X)j.

8.(2021?全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))已知“X)為二次函數(shù)，且/(x+l)+/(x-l)=2x：4x,求〃x)的表達(dá)式.

【答案】/(力=丁-2萬—1

【詳解】

由題意可設(shè)/(》)=加+瓜+。(<7/0),

則/(x+1)=a(x+l)-+b(x+l)+c=av2+(2a+b)x+a+b+c,

f(x—1)=a(x—1)-+/?(x—l)+c=cix^—(2a—Z?)x+a—b+c,

于是/(%+1)+/(%-1)=20%2+2hx+2a+2c,又/(x+l)+/(x-l)=2x:-4x,

2a=2,a=1,

所以2。=-4,解得b=-2,

2a+2c=0,C=-1,

所以/(%)=￡-2x—l.

考點(diǎn)四抽象函數(shù)解析式

7

2

7

2

【答案】C

【詳解】

由，(￡H"r)=2x?(),

將⑴xx+(2)得：

2

2/(-%)=2%2—=

故選C.

2.(2021?全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))若/")對(duì)于任意實(shí)數(shù)x恒有3/(x)-2/(r)=5x+l,則“r)=

A.x+1B.x—1C.2x+1D.3x+3

【答案】A

【詳解】

因?yàn)?〃x)-2/(T)=5X+1,所以34—X)-2/(X)=-5X+1,解得〃X)=X+1

選A.

3.(2020?重慶市巫山中學(xué)高一月考)若函數(shù)/(X)對(duì)于任意實(shí)數(shù)X恒有/(%)-2/(-x)=3x-l,則/(X)

等于()

A.x+1B.x-lc.2x+lD.3x+3

【答案】A

【詳解】

f/(x)-2/(-x)=3x-l

因?yàn)?(x)-2/(-x)=3x-l,所以/(r)-2/(x)=-3x-l,聯(lián)立方程組:,解得〃x)=x+l,

U(r)-2/(x)=-3x—l

故選A.

4.(2021?全國(guó)高一專題練習(xí))(1)已知2/(x)+/d)=x,求/(x)的解析式.

X

21

【答案】(1)fW=~x~~;

33x

【詳解】

(1)由2/(x)+/d)=x,把?!■代替x代入可得2/(L)+/(X)=L,

x尢XX

1?1

聯(lián)立消去了(一)可得：/(X)=

x33x

5.(2021?上海)(1)己知/。+1)=2/—工+3,求/(x).

(2)已知函數(shù)/*)滿足2f(x)+/(j=x,求/(x).

21

【答案】(1)/(x)=2x——5x+6；(2)f(x)=-x——.

33x

【詳解】

(1)令l=x+l貝！|%=4—L

/./(/)=2(r-l)2-(r-l)+3=2r2-4z+2-/+l+3=2*―5，+6.

/./(x)=2x2-5x+6

(2)；2f(x)+/6)=x①；.2巾)+f(x)=1(2),

聯(lián)立①式，②式

21

則/(外=,—「

33%

6.(2021?全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))(1)已知外1+2》)=寧，求“X)的解析式;

(2)已知g(x)-3g(J=x+2,求g(x)的解析式.

/\X2—2x+5/x3

【答案】(1)/r(x)=-7)；⑵江”=一三一1一1

(x-1)88x

【詳解】

(1)由題意得：〃l+2x)定義域?yàn)閧去。0}

t2-2t+5

設(shè)f=1+2x(，工1),貝(Jx=QI)

—2x+5

???/(力=(xwl)

(IF

(2)由g(x)-3g(J=x+2...①得：g(g)-3g(x)=：+2…②

①②聯(lián)立消去g（￡|得：g（x）=q《7

考點(diǎn)五分段函數(shù)

1.（2021?荊門市龍泉中學(xué)高一月考）已知函數(shù),則的值為（）

A.—2B.—1C.3D,0

【答案】D

【詳解】

???/(-1)=T-1)+1=2

??/(/(-l))=/(2)=22-2x2=0

故選：D.

2.(2021?黑龍江大慶中學(xué)高一月考)已知函數(shù)/(x)=F八，則“AD)=()

-x-2x,x<0

A.—1B.——C.~D.1

【答案】D

【詳解】

由題意，函數(shù)/八，可得八1)=2—1=1,

-x-2x,x<0

所以〃/(l))=/(l)=l.

故選:D.

一/、2-x+l,x<0,、

3.(20