第九章統(tǒng)計(jì)9.2.1獨(dú)立性檢驗(yàn)教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)1.通過實(shí)例，理解2×2列聯(lián)表的統(tǒng)計(jì)意義；2.通過實(shí)例，了解2×2列聯(lián)表獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想、方法和初步應(yīng)用．教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：理解2×2列聯(lián)表的統(tǒng)計(jì)意義．難點(diǎn)：了解2×2列聯(lián)表獨(dú)立性檢驗(yàn)及其應(yīng)用．教學(xué)過程教學(xué)過程一、新課導(dǎo)入情境：某醫(yī)療機(jī)構(gòu)為了解呼吸道疾病與吸煙是否有關(guān)，進(jìn)行了一次抽樣調(diào)查，共調(diào)查了515個成年人，其中吸煙者220人，不吸煙者295人，調(diào)查結(jié)果是：吸煙220人中，有37人患呼吸道疾病(以下簡稱患病)，183人未患呼吸道疾病(以下簡稱未患病)，不吸煙的295人中，有21人患病，274人未患病．我們能根據(jù)上面的數(shù)據(jù)，得到怎樣的結(jié)論呢？二、新知探究問題1：根據(jù)這些數(shù)據(jù)，是否能斷定：患呼吸道疾病與吸煙有關(guān)？為了研究這個問題，我們將上述數(shù)據(jù)用下表表示．患病未患病合計(jì)吸煙37183220不吸煙21274295合計(jì)58457515形如上表的表格稱為2×2列聯(lián)表．答案：根據(jù)表中的數(shù)據(jù)可知，在吸煙的人中，有eq\f(37,220)≈16.82%的人患??；在不吸煙的人中，有eq\f(21,295)≈7.12%的人患病，可知吸煙者與不吸煙者患病的可能性存在差異，所以有患病與吸煙有關(guān)這一推論．列聯(lián)表是一個描述兩個分類變量分布的頻數(shù)表．一般地，假設(shè)有兩個分類變量X和Y，它們的取值分別為x1，xyy合計(jì)xaba＋bxcdc＋d合計(jì)a＋cb＋da＋b＋c＋d設(shè)計(jì)意圖：先利用頻率估計(jì)概率的思想，由吸煙者與不吸煙者患病的可能性的差異程度直觀地做出判斷．問題2：上述結(jié)論給我們的印象是患病與吸煙有關(guān)，事實(shí)果真如此嗎？究竟能有多大的把握認(rèn)為“患病與吸煙有關(guān)”呢？答案：我們可以對兩者的關(guān)系進(jìn)行檢驗(yàn)．若將事件“某成年人吸煙”記為A，事件“某成年人患病”記為B，則事件“某成年人不吸煙”記為A，事件“某成年人不患病”記為B，這樣，回答“患病與吸煙是否有關(guān)？”其實(shí)就是需要回答“事件A與事件為了回答這個問題，我們先做出判斷“患病與吸煙沒有關(guān)系”，即提出如下假設(shè)H0：患病與吸煙沒有關(guān)系由兩個事件相互獨(dú)立的充要條件，又可將上述假設(shè)記為H0：P(AB)＝P(A)P(B)，這里的P(A)，P(B)和P(AB)的值都不知道，我們可以用頻率來代替概率，估計(jì)出P(A)，P(B)和P(AB)的值為了便于研究一般情況，我們將原表中的數(shù)據(jù)用字母代替，得到字母表示的2×2列聯(lián)表，患病未患病合計(jì)吸煙aba＋b不吸煙cdc＋d合計(jì)a＋cb＋da＋b＋c＋d若設(shè)n＝a＋b＋c＋d，則有，故．因此在H0成立的條件下，吸煙且患病的人數(shù)為．同理可得：吸煙但未患病的人數(shù)為，不吸煙但患病的人數(shù)為，不吸煙且未患病的人數(shù)為n?PAB如果實(shí)際觀測值與在事件A，B獨(dú)立的假設(shè)下的估計(jì)值相差不“大”，那么我們就可以認(rèn)為這些差異是由隨機(jī)誤差造成的，假設(shè)H0不能被所給數(shù)據(jù)否定，否則應(yīng)認(rèn)為假設(shè)H0追問1：怎樣描述實(shí)際觀測值與估計(jì)值的差異呢？答案：考慮實(shí)際觀測值與在事件A，B獨(dú)立的假設(shè)下的估計(jì)值的差(如下表)：患病未患病吸煙a?n?b?n?不吸煙c?n?d?n?為了避免正負(fù)相消及消除樣本容量對差異大小的影響，可以將它們分別平方并除以對應(yīng)的估計(jì)頻數(shù)(即估計(jì)值)，最后相加，得到化簡得：（其中n＝a＋b＋c＋d）統(tǒng)計(jì)學(xué)中通常采用統(tǒng)計(jì)量χ2(讀作“卡方”)來刻畫這個差異追問2：如何利用χ2統(tǒng)計(jì)學(xué)中已有明確的結(jié)論：在H0成立的情況下，隨機(jī)事件“χ2≥6.635”發(fā)生的概率約為0.01，即P(χ2≥6.635)≈0.01，也就是說，在H0通過計(jì)算，本例中χ2＝11.8634＞6.635”，由P(χ2≥6.635)≈0.01可知，出現(xiàn)這樣的觀測值χ2的概率不超過0.01，因此，我們有99%的把握認(rèn)為統(tǒng)計(jì)量χ2（其中n＝a＋b＋c＋d）獨(dú)立性檢驗(yàn)的定義利用統(tǒng)計(jì)量χ2來判斷“兩個分類變量有關(guān)系”的方法稱為獨(dú)立性檢驗(yàn)推斷兩個分類變量“Ⅰ與Ⅱ有關(guān)系”的步驟：一般地，對于兩個分類變量Ⅰ和Ⅱ，Ⅰ有兩類取值，即類A和類B，Ⅱ也有兩類取值，即類1和類2，我們得到如下列聯(lián)表所示的樣本數(shù)據(jù)：Ⅱ合計(jì)類1類2Ⅰ類Aaba＋b類Bcdc＋d合計(jì)a＋cb＋da＋b＋c＋d要推斷“Ⅰ與Ⅱ有關(guān)系”，可按下面的步驟進(jìn)行：(1)提出假設(shè)H0(2)根據(jù)2×2列聯(lián)表與公式計(jì)算χ2(3)根據(jù)臨界值表，做出判斷．獨(dú)立性檢驗(yàn)臨界值表：P(χ20.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001x0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828(1)若χ2＞10.828，則有99.9%的把握認(rèn)為“Ⅰ與Ⅱ(2)若χ2＞6.635，則有99%的把握認(rèn)為“Ⅰ與Ⅱ(3)若χ2＞2.706，則有90%的把握認(rèn)為“Ⅰ與Ⅱ(4)若χ2≤2.706，則認(rèn)為沒有充分的證據(jù)顯示“Ⅰ與Ⅱ有關(guān)系”，但也不能得出結(jié)論“H0成立”，即Ⅰ與Ⅱ三、應(yīng)用舉例例1在500人身上試驗(yàn)?zāi)撤N血清預(yù)防感冒的作用，把他們1年中的感冒記錄與另外500名未用血清的人的感冒記錄作比較，結(jié)果如下表所示．問：該種血清對預(yù)防感冒是否有作用？未感冒感冒合計(jì)使用血清258242500未使用血清216284500合計(jì)4745261000解：提出假設(shè)H0χ因?yàn)楫?dāng)H0成立時，χ2方法總結(jié)：獨(dú)立性檢驗(yàn)的注意點(diǎn)：在2×2列聯(lián)表中，如果兩個分類變量沒有關(guān)系，那么應(yīng)滿足ad－bc≈0，因此|ad－bc|越小，關(guān)系越弱；|ad－bc|越大，關(guān)系越強(qiáng)．例2為研究不同的給藥方式(口服與注射)和藥的效果(有效與無效)是否有關(guān)，進(jìn)行了相應(yīng)的抽樣調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下表所示，根據(jù)所選擇的193個病人的數(shù)據(jù)，能否做出藥的效果與給藥方式有關(guān)的結(jié)論？有效無效合計(jì)口服584098注射643195合計(jì)12271193解：提出假設(shè)H0χ因?yàn)楫?dāng)H0成立時，χ2≥1.3896的概率大于15%，這個概率比較大，所以根據(jù)目前的調(diào)查數(shù)據(jù)，不能否定假設(shè)H例3氣管炎是一種常見的呼吸道疾病，醫(yī)藥研究人員對兩種中草藥治療慢性氣管炎的療效進(jìn)行了對比，所得數(shù)據(jù)如下表所示．問：它們的療效有無差異？有效無效合計(jì)復(fù)方江剪刀草18461245膽黃片919100合計(jì)27570345解：提出假設(shè)H0：兩種中草藥的治療效果沒有差異，即病人使用這兩種藥物中何種藥物對療效沒有明顯差異，χ因?yàn)楫?dāng)H0成立時，Pχ2≥10.828四、課堂練習(xí)1．在一項(xiàng)中學(xué)生近視情況的調(diào)查中，某校男生150名中有80名近視，女生140名中有70名近視，在檢驗(yàn)這些中學(xué)生眼睛近視是否與性別有關(guān)時用什么方法最有說服力()A．平均數(shù)與方差 B．回歸分析C．獨(dú)立性檢驗(yàn) D．概率2．分類變量X和Y的列表如下，則下列說法判斷正確的是()y1y2合計(jì)x1aba＋bx2cdc＋d合計(jì)a＋cb＋da＋b＋c＋dA.ad－bc越小，說明X和Y關(guān)系越弱B．a(chǎn)d－bc越大，說明X和Y關(guān)系越強(qiáng)C．(ad－bc)2越大，說明X與Y關(guān)系越強(qiáng)D．(ad－bc)2越接近于0，說明X與Y關(guān)系越強(qiáng)3．若由一個2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計(jì)算得χ2＝8.013，那么是否有99.5%的把握認(rèn)為兩個隨機(jī)事件之間有關(guān)系：________．(填“是”或“否”)4.為了調(diào)查胃病是否與生活規(guī)律有關(guān)，在某地對540名40歲以上的人進(jìn)行了調(diào)查，結(jié)果是：患胃病者生活不規(guī)律的共60人，患胃病者生活規(guī)律的共20人，未患胃病者生活不規(guī)律的共260人，未患胃病者生活規(guī)律的共200人．(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)列出2×2列聯(lián)表；(2)在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下能否認(rèn)為40歲以上的人患胃病與否和生活規(guī)律有關(guān)系？為什么？參考答案：1．解析：選C．判斷兩個分類變量是否有關(guān)的最有效方法是進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)．2.解析：選C．列聯(lián)表可以較為準(zhǔn)確地判斷兩個變量之間的相關(guān)關(guān)系程度，由，當(dāng)(ad－bc)2越大，χ2越大，表明X與Y的關(guān)系越強(qiáng)．(ad－bc)2越接近0，說明兩個分類變量X和Y無關(guān)的可能性越大．3．解析：因?yàn)棣?＝8.013>7.879＝x0.005，查閱χ2表知有99.5%的把握認(rèn)為兩個隨機(jī)事件之間有關(guān)系．答案：是．4.(1)由已知可列2×2列聯(lián)表：患胃病未患胃病合計(jì)生活規(guī)律20200220生活不規(guī)律60260320合計(jì)80460540(2)根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，由計(jì)算公式得χ2＝eq\f(540×（20×260－200×60）2,220×320×80×460)≈9.638＞6.635＝x0.01，因此在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為40歲以上的人患胃病與否和生活規(guī)律有關(guān)．五、課堂小結(jié)1.統(tǒng)計(jì)量χ2的計(jì)算公式（其中n＝a＋b＋c＋d）2.推斷兩個分類變量“Ⅰ與Ⅱ有關(guān)系”的步驟：(1)提出假設(shè)H0(2)根據(jù)2×2列聯(lián)表與公式計(jì)算χ2(3)根據(jù)臨界值表，做出判斷．3.獨(dú)立性檢驗(yàn)臨界值表：P(χ20.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001x0.4550.7081.