函數(shù)中十一對易混的問題函數(shù)是高中數(shù)學中最重要的概念之一．在處理函數(shù)有關(guān)問題時，有些概念容易混淆，若不能理解概念的本質(zhì)，就會產(chǎn)生錯誤．本文針對函數(shù)中容易混淆的十二對問題加以剖析并舉例說明．一、定義域與值域例1．（=1\*ROMANI）若函數(shù)的定義域為，求實數(shù)的取值范圍．（=2\*ROMANII）若函數(shù)的值域為，求實數(shù)的取值范圍． 分析：（=1\*ROMANI）若函數(shù)的定義域為，就是無論為何實數(shù)，永遠成立．令，則的圖象始終在軸的上方，因此，就有且，從而，．（=2\*ROMANII）若函數(shù)的值域為，就是應(yīng)該取遍一切正的實數(shù)，也就是集合是值域的子集．當時，，它的值域是，符合要求；當時，只要就能保證集合是值域的子集，解得；時不合要求．故實數(shù)的取值范圍是．評注：在處理具體的函數(shù)時，要切實把握定義域是自變量取值的集合，而值域是函數(shù)值的集合．二、定義域與有意義例2．（=1\*ROMANI）已知函數(shù)的定義域為，求實數(shù)的取值范圍．（=2\*ROMANII）已知函數(shù)在區(qū)間上有意義，求實數(shù)的取值范圍分析：（=1\*ROMANI）因為函數(shù)的定義域為，所以不等式的解集是，于是，是方程的根，代入求得．（=2\*ROMANII）因為函數(shù)在區(qū)間上有意義，所以，不等式對恒成立，即對恒成立，而，即．評注：若在上有意義，則是函數(shù)定義域的子集．三、值域與函數(shù)值變化范圍例3．（=1\*ROMANI）若函數(shù)的值域為，求實數(shù)的取值范圍．（=2\*ROMANII）若函數(shù)的值恒大于或等于1，求實數(shù)的取值范圍．分析：（=1\*ROMANI）因為函數(shù)，所以，即的值域為，于是有，解得或．（=2\*ROMANII）因為函數(shù)恒成立，即恒成立，因此有恒成立，解得．評注：函數(shù)的值域是函數(shù)值的集合，其中每一個元素都是函數(shù)值；而函數(shù)值恒大于等于1，是指函數(shù)值在內(nèi)，并非要求取遍內(nèi)的每一個值．四、主元與次元例4．（=1\*ROMANI）對于任意的，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．（=2\*ROMANII）對于任意的，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．分析：（=1\*ROMANI）原來的不等式可以轉(zhuǎn)化為對于恒成立；按對稱軸分下面三種情況討論：=1\*romani）當時，即時，只要，即，此時矛盾．=2\*romanii）當時，即時，只要，即，此時矛盾．=3\*romaniii）當時，即時，只要，即．綜上，實數(shù)的取值范圍．（=2\*ROMANII）原來的不等式可以轉(zhuǎn)化為對于恒成立；只要即可，于是，解得或或評注：構(gòu)造函數(shù)時并不一定要以為自變量，應(yīng)該根據(jù)已知條件，選擇恰當?shù)淖兞繛橹髟?，從而使問題簡化．五、有解與恒成立例5．（=1\*ROMANI）已知，若恒成立，求實數(shù)的取值范圍．（=2\*ROMANII）已知，若有解，求實數(shù)的取值范圍．分析：（=1\*ROMANI）因為恒成立，這就要求的圖象全部在直線的上方，即就可，易知，所以，．（=2\*ROMANII）要使有解，這就要求的圖象上有點在直線的上方即可，即，又，所以，評注：“有解”是要求某范圍內(nèi)存在使得不等式成立即可．有解，有解．“恒成立”要求對某范圍內(nèi)任意的，不等式都成立．恒成立，恒成立．六、單調(diào)區(qū)間與區(qū)間單調(diào)例6．（=1\*ROMANI）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍．（=2\*ROMANII）若函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間是，求實數(shù)的取值范圍．分析：（=1\*ROMANI）在區(qū)間上單調(diào)遞增，那么，對稱軸，解得．（=2\*ROMANII）圖象的對稱軸是，那么，的單調(diào)遞增區(qū)間為，于是就有，解得．評注：若函數(shù)在區(qū)間上具有單調(diào)性，則在的任一子區(qū)間上具有相同的單調(diào)性，而單調(diào)區(qū)間是具有單調(diào)性的最大區(qū)間．七、某點處的切線與過某點的切線例7．（=1\*ROMANI）求曲線在點處的切線方程．（=2\*ROMANII）求曲線過點的切線方程．分析：（=1\*ROMANI）由得，，所以曲線在點處的切線方程為，即．（=2\*ROMANII）設(shè)切點為，又，所以切線斜率為，則曲線在點的切線方程為．又在切線上，于是就有，即，解得或；當時，切點就是，切線為；當時，切點就是，切線斜率為，切線為．評注：只有曲線在某點處的切線斜率才是函數(shù)在該點處的導函數(shù)值，此時切線是唯一的；過某點作曲線的切線，無論該點是否在曲線上，都要設(shè)切點坐標，從而求出切點處的切線，滿足條件的切線可能不唯一．八、對稱與周期例8．（=1\*ROMANI）若函數(shù)對一切實數(shù)都有，且，求．（=2\*ROMANII）若函數(shù)對一切實數(shù)都有，且，求．分析：（=1\*ROMANI）因為對于一切，都有，即，恒成立，那么就有的圖象關(guān)于直線對稱，所以，．（=2\*ROMANII）因為函數(shù)對一切實數(shù)都有，那么就有是周期函數(shù)且，則．評注：若函數(shù)對一切實數(shù)都有，則有的圖象關(guān)于直線對稱．若函數(shù)對一切實數(shù)都有，則有是周期函數(shù)，且其中一個周期為．九、中心對稱與軸對稱例9．（=1\*ROMANI）若函數(shù)對一切實數(shù)都有，且時有．求解析式．（=2\*ROMANII）若函數(shù)對一切實數(shù)都有，且時有．求解析式．分析：（=1\*ROMANI）若函數(shù)對一切實數(shù)都有，則有的圖象關(guān)于直線成軸對稱；又時有；所以時，有，；解析式為（=2\*ROMANII）函數(shù)對一切實數(shù)都有，那么的圖象關(guān)于點成中心對稱；又時有；所以時，有，．解析式為評注：函數(shù)對一切實數(shù)都有，那么的圖象關(guān)于點成中心對稱．十、時恒成立與時恒成立例10．（=1\*ROMANI）已知函數(shù)，（為實數(shù)），若對于任意的，都有成立，求實數(shù)的取值范圍．（=2\*ROMANII）已知函數(shù)，（為實數(shù)），若對于任意的，都有成立，求實數(shù)的取值范圍．分析：（=1\*ROMANI）設(shè)，則；于是，對于任意的時，恒成立．即；容易知道，故．（=2\*ROMANII）對于任意的，都有恒成立，等價于當時，；容易求得，，于是，故．評注：時恒成立，等價于時，；時恒成立，等價于時．十一、函數(shù)單調(diào)與數(shù)列單調(diào)例11．（=1\*ROMANI）若函數(shù)是單調(diào)增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍．（=2\*ROMANII）若函數(shù)（且）是單調(diào)增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍．分析：（=1\*ROMANI）因為函數(shù)在區(qū)間是單