第九章梁的平面彎曲9.1用截面法作梁的內(nèi)力圖9.2利用平衡微分方程作梁的內(nèi)力圖9.3梁的應(yīng)力與強(qiáng)度條件9.4梁的變形9.5彎曲靜不定問題和彈塑性問題簡(jiǎn)介1第九章梁的平面彎曲概述承受彎曲作用的桿，稱為梁。軸向拉壓—內(nèi)力為軸力。如拉、撐、活塞桿、鋼纜、柱。桿件：某一方向尺寸遠(yuǎn)大于其它方向尺寸的構(gòu)件。直桿：桿件的軸線為直線。桿的可能變形為：軸向拉壓彎曲扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)—內(nèi)力為扭矩。如各種傳動(dòng)軸等。(軸)彎曲—內(nèi)力為彎矩。如橋梁、房梁、地板等。(梁)2梁的分類平面問題，梁受三個(gè)約束，都是靜定梁。平面彎曲懸臂梁簡(jiǎn)支梁Fq外伸梁M梁有縱向?qū)ΨQ面，且載荷均作用在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，變形后梁的軸線仍在該平面內(nèi)，稱為平面彎曲?？v向?qū)ΨQ面梁的橫截面都有對(duì)稱軸集中力，集中力偶，分布載荷39.1用截面法作梁的內(nèi)力圖截面法求內(nèi)力的步驟：求約束反力截取研究對(duì)象受力圖，內(nèi)力按正向假設(shè)。列平衡方程求解內(nèi)力，負(fù)號(hào)表示與假設(shè)反向內(nèi)力右截面正向左截面正向微段變形（正）內(nèi)力的符號(hào)規(guī)定yx左上右下，F(xiàn)Q為正左順右逆，M為正xFQMMFQ順時(shí)針錯(cuò)動(dòng)FQ向上凹M4例1求懸臂梁各截面內(nèi)力并作內(nèi)力圖。解：1）求約束力。畫受力圖。由平衡方程得：

FAx=0;FAy=F;MA=Fl2）求截面內(nèi)力。截面x處內(nèi)力按正向假設(shè)，在0x<l內(nèi)，有平衡方程：

SFy=FAy-FQ=0

SMC(F)=MA+M-FAyx=0得到：FQ=F；M=-F(l-x)xFQo+F剪力圖xMo_Fl彎矩圖ABlFMAFAyFAxcMFQFAyAxMA3)畫內(nèi)力圖。懸臂梁在固定端A處彎矩值最大。5例2求外伸梁AB的內(nèi)力。解：1）求約束反力：受力如圖。截面法求內(nèi)力(取坐標(biāo)如圖)0x<a:aaaA

B

3F

45yx0F

FAy

FAx

FB

有平衡方程：MA(F)=2aFBcos45+Fa-3Fa=0FB=F2Fx=FAx-FBsin45=0FAx=FFy=FAy+FBcos45-F-3F=0FAy=3FMFQxFFN0FN=0;FQ=-F;M=-Fx6例2求外伸梁的內(nèi)力。ax<2a:

2a

x<3a:

2)截面法求內(nèi)力0x<a:FN=0;FQ=-F;M=-FxaaaA

B

3F

45yx0F

3F

F

FB

MFQxFFN0MFQxFFN03FFMFQxFFN0

3FF3FFN=-F；FQ=3F-F=2FM=3F(x-a)-Fx=F(2x-3a)FN=-F；FQ=3F-F-3F=-FM=3F(x-a)-Fx-3F(x-2a)=F(3a-x)7內(nèi)力方程：截面法給出的描述內(nèi)力與截面位置關(guān)系。3)

畫內(nèi)力圖：內(nèi)力圖：按內(nèi)力方程繪出各截面內(nèi)力的圖。ax<2a:FN=-F；FQ=2F

M=F(2x-3a)0x<a:FN=0;FQ=-F;

M=-F

x

2ax<3a:FN=-F

；FQ=-F

M=F(3a-x)3P

B45x0FFAxFAyFBAMFaFa+-x2F+-FQ

-FFx-FNFx8作梁的內(nèi)力圖的一般步驟求約束反力截取研究對(duì)象受力圖列平衡方程求解內(nèi)力畫內(nèi)力圖靜力平衡方程載荷突變處分段。內(nèi)力按正向假設(shè)。矩心取截面形心。內(nèi)力方程圖形應(yīng)封閉。aaaA

B

3F

45yx0F

FAy

FAx

FB

xF0MFQFN9例3已知q=9kN/m，F(xiàn)=45kN，M0=48kNm，求梁的內(nèi)力。解：1）求約束反力：

MA(F)=12FE+M0-8F-2×4q=0FAy=49kN；FE=32kNBAM0Fq4m4m2m2mxCDEFAyFAx=0FEFx=FAx=0

Fy=FAy+FE-F-4q=0截面法求內(nèi)力AB段:0x1<4mx1FAy0qFy=FAy-qx1-FQ1=0

FQ1=49-9x1

M1FQ1c22Mc(F)=M1+qx1/2-FAyx1=0

M1=49x1-4.5x110例3已知q=9kN/m，F(xiàn)=45kN，，M0=48kNm，求梁的內(nèi)力。2)截面法求求內(nèi)力BC段:4mx2<6mFy=FAy-4q-FQ2=0FQ2=13kNBAM0Fq4m4m2m2mxCDEFAyFEx2FAy0BqM2FQ2cMc(F)=M2+4q(x2-2)-FAyx2=0M2=13x2+72(kNm)CD段:6mx3<8mx3FAy0BqCM0M3FQ3cDE段:8mx4<12mx4FAy0BqCM0FDM4FQ4cFQ3=13kN;M3=13x3+24(kNm)FQ4=-32kN;M4=384-32x4(kNm)11取右邊部分如何何?DE段:8mx4<12mBAM0Fq4m4m2m2mxCDEFAyFEx4FAy0BqCM0FDFQ4=-FE=-32kNM4=FE(12-x4)=384-32x4DE段:8mx4<12mFQ4=-32kN;M4=384-32x4(kNm)FEM4FQ4c0x4M4FQ4c內(nèi)力同樣要按正正向假設(shè)!結(jié)果應(yīng)當(dāng)相同。?？梢杂糜隍?yàn)算算。12BAM0Fq4m4m2m2mxCDEFAyFE分段處的剪力彎彎矩值：x1=0:FQA=49；MA=0內(nèi)力方程:AB段:0x<4mFQ1=49-9x1;M1=49x1-4.5x1BC段:4mx<6mFQ2=13;M2=13x2+72FQ3=13;M3=13x3+24FQ4=-32;M4=384-32x42CD段:6mx<8mDE段:8mx<12mx4=8:FQD=-32；MD=128x2=4:FQB=13；MB=124x3=6:FQC=13；MC=102x36:MC150x48:FQD13注意：集中力(力偶)作作用處左右二二側(cè)FQ(M)不同。13BAM0Fq4m4m2m2mxCDEFAyFEFQ/kNx-+491332+M/kNmBACDEx124128150剪力、彎矩圖：：分段處的剪力彎矩值：x1=0:FQA=49；MA=0x4=8:FQD=-32；MD=128x2=4:FQB=13；MB=124x3=6:FQC=13；MC=102x36:MC150x48:FQD13注意：C、D處處左右二側(cè)M、FQ之差等于該處的的集中力偶、集集中力。還有什么么一般規(guī)規(guī)律？14一、剪力、彎矩與分布布載荷間的關(guān)系考察承受分布載荷、長(zhǎng)長(zhǎng)dx的微梁段的受力與平平衡。假定q(x)向上為正，截面面內(nèi)力FQ、M均按正向假設(shè)。9.2利用平衡衡微分關(guān)系作梁的的內(nèi)力圖BAFyxdxxq(x)FQ+dFQM+dMdxcq(x)MFQ平衡方程：SFy=FQ+q(x)dx-(FQ+dFQ)=0在x+dx截面上，F(xiàn)Q、M均有相應(yīng)的的增量。SMC(F)=M+dM-M-FQdx-q(x)dx2/2=015分布載荷集集度、剪力力和彎矩之之間的關(guān)系系整理并略去去二階小量量，得到：：平衡方程：SFy=FQ+q(x)dx-(FQ+dFQ)=0

SMC(F)=M+dM-M-FQdx-q(x)dx2/2=0q(x)dx=dFQ(x)dM(x)=FQ(x)dxdFQ(x)/dx=q(x)dM(x)/dx=FQ(x)梁的平衡微分方程：)()()(22xqdxxdQdxxMd==16討論：q–FQ-M關(guān)系:結(jié)論一、剪剪力延坐坐標(biāo)x的變化率等等于分布載載荷集度，，即FQ圖中曲線上上某點(diǎn)的斜斜率等于梁梁上對(duì)應(yīng)截截面處的載載荷集度q。q=0，F(xiàn)Q圖為水平線線。結(jié)論二、彎彎矩M延坐標(biāo)x的變化率等等于剪力FQ，即M圖曲線某點(diǎn)點(diǎn)的斜率等等于對(duì)應(yīng)截截面上的剪剪力。平衡微分方程qdxdFQdxMd==22BAM0Fq4m4m2m2mxCDEFAyFEFQ/kNx-+491332+M/kNmBACDEx12412815017結(jié)論三、二二截面間剪剪力的增量量等于該段段梁上分布布載荷圖形形的面積。。結(jié)論四、二二截面面間的彎矩矩增量等于于該段梁上上剪力圖的的面積。BAM0Fq4m4m2m2mxCDEFAyFEFQ/kNx-+491332+M/kNmBACDEx124128150平衡微分方程qdxdFQdxMd==22若梁段AB只有q作用的，則則()dxxqFFBAQAQBò=-()dxxFMMBAQABò=-FQBMBcq(x)MAFQA18

q

q=0q=const.>0q=const.<0FQ圖FQ>0FQ<0FQ>0FQ<0FQ>0FQ<0M圖M圖轉(zhuǎn)折突變集中力(偶)FQ圖突變無變化FQ等于分布載載荷左邊圖圖形面積+向上的集集中力M等于FQ圖左邊面積積+順時(shí)針針集中力偶偶由此，可給給出梁剪力力、彎矩圖圖的簡(jiǎn)捷畫畫法。19FQ、M圖的簡(jiǎn)捷畫畫法(結(jié)結(jié)合例3)：3）依據(jù)微微分關(guān)系判判定控制點(diǎn)點(diǎn)間各段FQ、M圖的形狀，，連接各段曲曲線。2）計(jì)算控制點(diǎn)處FQ、M值。左邊面積+集中載荷力、力偶為正。A、B、C、D、E1）確定控制點(diǎn)。約束力、集中力(偶)作用點(diǎn)，分布載荷起止點(diǎn)。BA4845q=94m4m2m2mxCDE4932-+BACDEFQ/kNM/kNmxx491332+12412815010220解：1.求支座反力力FQ/kNoxM/kNmxo45例4作作圖示外外伸梁的FQ、M圖。SMA=2q+630-60-4FB=0FB=35kNSFy=2q+FA+FB-30=0FA=-25kN2）畫FQ、M圖從左起，計(jì)計(jì)算控制點(diǎn)點(diǎn)的FQ、M值。由微分關(guān)系系判斷線形形。3）檢查圖圖形是否封封閉。20530602015CADBE2m30kNq=10kN.mM=60kN.mFAFB21例5梁AC、CB在C處鉸鉸接，試作作內(nèi)力圖。。解：1.求支座反力力3）檢查圖圖形是否封封閉。qFAFCCA研究AC段：F=qa/2A研究整體：F=3qa/2BMB=qa(3.5a)+qa(2a)-4aFA-qa2