學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第八節(jié)函數(shù)與方程1．函數(shù)的零點(diǎn)函數(shù)零點(diǎn)的概念對于函數(shù)y＝f（x)，把使f（x)＝0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y＝f（x)的零點(diǎn)方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系方程f（x）＝0有實(shí)數(shù)根?函數(shù)y＝f（x)的圖象與x軸有交點(diǎn)?函數(shù)y＝f(x)有零點(diǎn)函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，若f（a）·f(b）＜0，則y＝f（x)在(a，b）內(nèi)存在零點(diǎn)2．二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象與零點(diǎn)的關(guān)系Δ＝b2－4Δ>0Δ＝0Δ〈0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a〉0）的圖象與x軸的交點(diǎn)（x1,0)，（x2,0)(x1，0)無零點(diǎn)個數(shù)eq\a\vs4\al(2）eq\a\vs4\al(1)01．判斷下列結(jié)論是否正確（請在括號中打“√”或“×"）（1）函數(shù)的零點(diǎn)就是函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)．()（2)函數(shù)y＝f(x）在區(qū)間（a，b)內(nèi)有零點(diǎn)(函數(shù)圖象連續(xù)不斷)，則f（a）·f(b）<0。（）(3)只要函數(shù)有零點(diǎn)，我們就可以用二分法求出零點(diǎn)的近似值．(）（4）二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a≠0）在b2－4ac＜0時沒有零點(diǎn)．((5）若函數(shù)f（x)在(a，b）上單調(diào)且f(a)·f(b)＜0，則函數(shù)f（x)在［a,b］上有且只有一個零點(diǎn)．（）答案：（1)×(2）×（3)×（4)√(5）√2．二次函數(shù)f（x）＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分對應(yīng)值如下表：x－3－2－101234y6m－4－6－6－4n6可以判斷方程ax2＋bx＋c＝0的兩根所在的區(qū)間是（）A．(－3，－1）和(2，4) B．(－3，－1)和（－1,1)C．(－1，1）和(1,2) D．(－1,3)和（4，＋∞）解析：選A由表格可得二次函數(shù)f（x）的對稱軸為x＝eq\f（1,2），a＞0.由f(－3)·f(－1）＜0，f（2)·f（4）＜0，可得f（x)的零點(diǎn)所在區(qū)間為（－3，－1）和(2,4），即方程ax2＋bx＋c＝0的兩個根所在區(qū)間是（－3,－1）和(2，4)．3．函數(shù)f（x）＝lnx－eq\f（2，x）的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是()A．（1，2） B．(2,3）C.eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1，e），1）)和(3，4） D．（4,＋∞）解析：選B易知f（x)為增函數(shù)，由f（2)＝ln2－1＜0，f(3）＝ln3－eq\f（2,3）＞0，得f（2)·f（3)＜0，故函數(shù)f（x)的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間為（2,3)．4．函數(shù)f（x)＝x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(1,2)）)x的零點(diǎn)個數(shù)為（)A．0 B．1C．2 D．3解析：選B函數(shù)f(x)＝x－eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（1，2）））x的零點(diǎn)個數(shù)是方程x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(1，2)）)x＝0的解的個數(shù)，即方程x＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（1，2）))x的解的個數(shù),也就是函數(shù)y＝x與y＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(1，2）)）x的圖象的交點(diǎn)個數(shù)，在同一坐標(biāo)系中作出兩個函數(shù)的圖象如圖所示，可得交點(diǎn)個數(shù)為1。5．若函數(shù)f(x）＝ax＋b有一個零點(diǎn)是2,那么函數(shù)g(x）＝bx2－ax的零點(diǎn)是________．解析：由題意知2a＋b＝0,即b＝－2令g(x)＝bx2－ax＝0,得x＝0或x＝eq\f（a,b）＝－eq\f(1，2).答案：0，－eq\f(1，2）6．若函數(shù)f(x）＝ax＋1－2a在區(qū)間(－1,1)上存在一個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________解析：當(dāng)a＝0時，函數(shù)f(x）＝1在（－1，1)上沒有零點(diǎn)，所以a≠0.所以函數(shù)f（x)是單調(diào)函數(shù),要滿足題意，只需f(－1）f(1）〈0,即(－3a＋1）·(1－a)〈0，所以(a－1)·(3a－1)〈0，解得eq\f(1，3）<a<1，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（1，3），1))。答案:eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（1，3)，1)）eq\a\vs4\al(考點(diǎn)一函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的判定）eq\a\vs4\al（基礎(chǔ)送分型考點(diǎn)—-自主練透)［考什么·怎么考］高考中對函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間的考查主要以選擇題、填空題形式出現(xiàn)，體現(xiàn)了基本概念的靈活運(yùn)用,難度不大.1．（2018·煙臺模擬）函數(shù)f(x）＝ln（x＋1）－eq\f(1，x)的一個零點(diǎn)所在的區(qū)間是(）A．(0,1) B．(1,2）C．（2,3） D．(3,4）解析:選B∵f（x)在（0，＋∞）上為增函數(shù)，且f(1)＝ln2－1<0,f(2)＝ln3－eq\f（1,2）>0,∴f(x)的零點(diǎn)所在區(qū)間為（1，2),故選B.2．設(shè)f(x）＝lnx＋x－2，則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（)A．(0，1） B．(1,2)C．(2,3） D．（3,4）解析:選B函數(shù)f（x）的零點(diǎn)所在的區(qū)間轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(x）＝lnx,h（x）＝－x＋2圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)所在的范圍．作出兩函數(shù)圖象如圖所示，可知f（x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為(1，2)．故選B.3．若x0是方程eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(1,2））)x＝x的解，則x0屬于區(qū)間()A.eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(2，3），1)） B。eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（1，2），\f(2,3）))C。eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1，3），\f(1，2))) D。eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(0，\f(1，3))）解析：選C令g（x)＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（1,2)））x,f(x）＝x，則g（0）＝1＞f（0)＝0，geq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（1,2）))＝eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（1，2））)＜feq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（1，2)））＝eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1，2）)），geq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1,3）））＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1,2）））＞feq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（1，3)）)＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1,3））),結(jié)合圖象可得eq\f(1，3）＜x0＜eq\f(1，2）.4．函數(shù)f（x)＝x2－3x－18在區(qū)間[1，8］上______(填“存在”或“不存在”)零點(diǎn)．解析:法一：∵f(1）＝12－3×1－18＝－20<0,f(8)＝82－3×8－18＝22〉0，∴f（1）·f（8）〈0，又f（x）＝x2－3x－18在區(qū)間[1,8］的圖象是連續(xù)的，故f(x)＝x2－3x－18在區(qū)間[1，8］上存在零點(diǎn)．法二：令f(x）＝0,得x2－3x－18＝0,∴(x－6）（x＋3)＝0.∵x＝6∈[1,8]，x＝－3?［1，8]，∴f(x)＝x2－3x－18在區(qū)間[1,8］上存在零點(diǎn)．答案：存在[怎樣快解·準(zhǔn)解]1．函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的判斷方法及適合題型方法解讀適合題型定理法利用函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理進(jìn)行判斷能夠容易判斷區(qū)間端點(diǎn)值所對應(yīng)函數(shù)值的正負(fù)．（如第1,4題）圖象法畫出函數(shù)圖象，通過觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點(diǎn)來判斷容易畫出函數(shù)的圖象．(如第2，3題)解方程法可先解對應(yīng)方程，然后看所求的根是否落在給定區(qū)間上當(dāng)對應(yīng)方程f（x)＝0易解時．（如第4題)2．利用函數(shù)零點(diǎn)存在性定理解題的步驟eq\a\vs4\al（考點(diǎn)二判斷函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)）eq\a\vs4\al(重點(diǎn)保分型考點(diǎn)--師生共研）高考中對函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)的考查主要以選擇題和填空題形式出現(xiàn)，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用，難度不大。[典題領(lǐng)悟]1．已知函數(shù)f（x）＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＋1,x≤0，，log2x,x>0,))則函數(shù)y＝f(f(x)）＋1的零點(diǎn)的個數(shù)是(）A．4 B．3C．2 D．1解析：選A由f(f（x）)＋1＝0，得f（f（x）)＝－1,由f（－2）＝feq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（1,2））)＝－1，得f（x)＝－2或f(x)＝eq\f（1，2)。若f（x）＝－2，則x＝－3或x＝eq\f（1，4)；若f(x)＝eq\f(1，2)，則x＝－eq\f（1,2)或x＝eq\r（2）.綜上可得函數(shù)y＝f(f（x)）＋1的零點(diǎn)的個數(shù)是4,故選A.2．已知函數(shù)f（x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（2－|x｜，x≤2，,x－22，x>2，))函數(shù)g（x）＝3－f（2－x)，則函數(shù)y＝f(x)－g（x)的零點(diǎn)個數(shù)為(）A．2 B．3C．4 D．5解析：選A由已知條件可得g(x)＝3－f(2－x)＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（｜x－2｜＋1，x≥0,，3－x2，x＜0.)）函數(shù)y＝f（x）－g(x）的零點(diǎn)個數(shù)即為函數(shù)y＝f（x)與y＝g（x)圖象的交點(diǎn)個數(shù),在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)y＝f（x）與y＝g（x)的圖象如圖所示．由圖可知函數(shù)y＝f（x）與y＝g（x）的圖象有2個交點(diǎn)，所以函數(shù)y＝f（x）－g(x）的零點(diǎn)個數(shù)為2，選A。[解題師說］掌握判斷函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)的3種方法(1）解方程法：若對應(yīng)方程f(x)＝0可解，通過解方程，則方程有幾個解就對應(yīng)有幾個零點(diǎn)．（如典題領(lǐng)悟第1題）(2）函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理法:利用定理不僅要判斷函數(shù)圖象在區(qū)間［a,b］上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f（b）＜0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)（如單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性)才能確定函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)．(3)數(shù)形結(jié)合法：合理轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖象(易畫出圖象)的交點(diǎn)個數(shù)問題．先畫出兩個函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的個數(shù)，其中交點(diǎn)的個數(shù)，就是函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)．（如典題領(lǐng)悟第2題)[沖關(guān)演練]1．函數(shù)f(x）＝｜x－2|－lnx在定義域內(nèi)的零點(diǎn)的個數(shù)為（）A．0 B．1C．2 D．3解析:選C由題意可知f(x)的定義域?yàn)椋?，＋∞）．在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y＝｜x－2|（x>0)，y＝lnx（x〉0)的圖象如圖所示．由圖可知函數(shù)f(x）在定義域內(nèi)的零點(diǎn)個數(shù)為2。2．函數(shù)f（x）＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（ex－x－2，x≥0,，x2＋2x,x＜0））的零點(diǎn)個數(shù)是(）A．0 B．1C．2 D．3解析：選C當(dāng)x＜0時，令f（x)＝0，即x2＋2x＝0，解得x＝－2或x＝0（舍去)．所以當(dāng)x＜0時，只有一個零點(diǎn);當(dāng)x≥0時，f（x)＝ex－x－2，而f′（x)＝ex－1,顯然f′（x)≥0,所以f(x）在[0，＋∞）上單調(diào)遞增，又f(0)＝e0－0－2＝－1＜0，f（2）＝e2－4＞0,所以當(dāng)x≥0時，函數(shù)f(x)有且只有一個零點(diǎn)．綜上，函數(shù)f(x)只有兩個零點(diǎn)，故選C。eq\a\vs4\al(考點(diǎn)三函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用）eq\a\vs4\al(重點(diǎn)保分型考點(diǎn)-—師生共研）函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用主要是利用函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理求相關(guān)參數(shù)值或范圍.多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn),體現(xiàn)了化歸的數(shù)學(xué)思想，題目難度較大.[典題領(lǐng)悟］已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x≥0時，f(x）＝a|x－2｜－a,其中a＞0，且為??常數(shù)．若函數(shù)y＝f(f(x）)有10個零點(diǎn)，則a的取值范圍是________．?［學(xué)審題]①可知函數(shù)f(x）的圖象關(guān)于y軸對稱；②由f(x)＝0，得x＝1或x＝3；③等價于函數(shù)y＝f(x）的圖象與直線y＝±1和y＝±3共有10個交點(diǎn)．解析：當(dāng)x≥0時，令f（x）＝0，得|x－2｜＝1，即x＝1或x＝3。因?yàn)閒（x）是定義在R上的偶函數(shù),所以f(x）的零點(diǎn)為x＝±1或x＝±3.令f（f(x））＝0，則f(x）＝±1或f（x)＝±3。因?yàn)楹瘮?shù)y＝f（f(x）)有10個零點(diǎn),所以函數(shù)y＝f（x）的圖象與直線y＝±1和y＝±3共有10個交點(diǎn)．由圖可知1＜a＜3。答案:(1，3）[解題師說]利用函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)范圍的思路方法及步驟(1）常規(guī)思路已知函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)，一般利用數(shù)形結(jié)合思想轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點(diǎn)個數(shù),這時圖形一定要準(zhǔn)確，這種數(shù)形結(jié)合的方法能夠幫助我們直觀解題．（2）常用方法(3)一般步驟[沖關(guān)演練]1．若函數(shù)f(x）＝2x－eq\f（2，x）－a的一個零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（)A．(1，3) B．（1，2）C．(0,3) D．（0，2)解析：選C因?yàn)楹瘮?shù)f（x)＝2x－eq\f（2,x）－a在區(qū)間（1,2)上單調(diào)遞增，又函數(shù)f（x）＝2x－eq\f(2，x)－a的一個零點(diǎn)在區(qū)間（1,2)內(nèi)，則有f（1）·f(2）<0,所以（－a）(4－1－a）〈0，即a（a－3)〈0，解得0〈a〈3。2．（2018·安慶摸底考試）若函數(shù)f（x)＝4x－2x－a，x∈［－1,1］有零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．解析：∵函數(shù)f（x)＝4x－2x－a，x∈[－1,1］有零點(diǎn)，∴方程4x－2x－a＝0在[－1,1]上有解，即方程a＝4x－2x在[－1,1］上有解．方程a＝4x－2x可變形為a＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1，2））)2－eq\f（1,4）,∵x∈［－1，1］，∴2x∈eq\b\lc\[\rc\]（\a\vs4\al\co1（\f(1，2)，2)），∴eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（2x－\f(1,2）））2－eq\f(1,4)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1（－\f（1，4），2）).∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1(－\f（1,4)，2)）.答案：eq\b\lc\［\rc\］（\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，2))(一)普通高中適用作業(yè)A級——基礎(chǔ)小題練熟練快1．下列函數(shù)中,在(－1,1）內(nèi)有零點(diǎn)且單調(diào)遞增的是（)A．y＝logx B．y＝2x－1C．y＝x2－eq\f(1，2) D．y＝－x3解析：選B函數(shù)y＝logeq\f（1,2）x在定義域上單調(diào)遞減，y＝x2－eq\f(1,2）在(－1,1）上不是單調(diào)函數(shù)，y＝－x3在定義域上單調(diào)遞減，均不符合要求．對于y＝2x－1，當(dāng)x＝0∈（－1，1）時,y＝0且y＝2x－1在R上單調(diào)遞增．故選B.2．若函數(shù)f(x)＝ax＋1在區(qū)間（－1，1）上存在一個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（)A．(1,＋∞） B．(－∞，1）C．（－∞，－1）∪（1，＋∞） D．（－1，1)解析：選C由題意知，f(－1）·f（1)＜0,即(1－a)(1＋a）＜0，解得a＜－1或a＞1。3．已知函數(shù)f(x）＝eq\f(6,x）－log2x，在下列區(qū)間中，包含f（x)零點(diǎn)的區(qū)間是()A．（0,1) B．（1，2)C．(2,4) D．（4，＋∞)解析：選C因?yàn)閒（1)＝6－log21＝6〉0，f（2）＝3－log22＝2〉0，f（4）＝eq\f（3,2）－log24＝－eq\f（1,2）〈0，所以函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在區(qū)間為(2，4)，故選C。4．已知函數(shù)y＝f(x）的圖象是連續(xù)不斷的曲線，且有如下的對應(yīng)值表:x123456y124。433－7424.5－36.7－123.6則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[1,6］上的零點(diǎn)至少有()A．2個 B．3個C．4個 D．5個解析：選B依題意，f(2）〉0，f（3)<0，f（4）>0，f（5）〈0，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可知，f（x）在區(qū)間(2,3),（3，4)，(4,5）上均至少含有一個零點(diǎn),故函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間［1，6]上的零點(diǎn)至少有3個．5．已知實(shí)數(shù)a＞1,0＜b＜1，則函數(shù)f(x)＝ax＋x－b的零點(diǎn)所在的區(qū)間是(）A．(－2，－1） B．（－1，0）C．(0，1) D．(1，2）解析：選B因?yàn)閍＞1,0＜b＜1，所以f（x）＝ax＋x－b在R上是單調(diào)增函數(shù)，所以f(－1）＝eq\f（1，a)－1－b＜0，f(0）＝1－b＞0，由零點(diǎn)存在性定理可知，f（x）在區(qū)間(－1,0）上存在零點(diǎn)．6．已知函數(shù)f(x）＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(ex＋a，x≤0,，3x－1,x>0））（a∈R)，若函數(shù)f（x）在R上有兩個零點(diǎn)，則a的取值范圍是(）A．(－∞，－1） B．（－∞,0）C．（－1,0) D．［－1,0)解析：選D當(dāng)x>0時，f(x）＝3x－1有一個零點(diǎn)x＝eq\f（1,3),所以只需當(dāng)x≤0時，ex＋a＝0有一個根即可，即ex＝－a。當(dāng)x≤0時,ex∈(0，1］，所以－a∈（0，1]，即a∈[－1，0）,故選D.7．已知函數(shù)f（x)＝eq\f(2，3x＋1)＋a的零點(diǎn)為1，則實(shí)數(shù)a的值為______．解析:由已知得f(1)＝0，即eq\f(2，31＋1）＋a＝0，解得a＝－eq\f（1，2).答案：－eq\f(1，2）8．函數(shù)f（x)＝ex＋eq\f(1,2）x－2的零點(diǎn)有______個．解析：∵f(x)在R上單調(diào)遞增，又f(0）＝1－2〈0,f(1）＝e－eq\f（3,2）>0，∴函數(shù)f（x）有且只有一個零點(diǎn)．答案：19．已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（xlnx,x＞0，,x2－x－2，x≤0，））則其零點(diǎn)為________．解析：當(dāng)x＞0時，由f(x）＝0,即xlnx＝0得lnx＝0，解得x＝1；當(dāng)x≤0時，由f（x)＝0,即x2－x－2＝0，解得x＝－1或x＝2。因?yàn)閤≤0,所以x＝－1。綜上，函數(shù)的零點(diǎn)為1，－1。答案：1，－110．設(shè)函數(shù)y＝x3與y＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1，2)))x－2的圖象的交點(diǎn)為(x0,y0),若x0∈（n，n＋1），n∈N，則x0所在的區(qū)間是________．解析：設(shè)f(x)＝x3－eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1，2)））x－2，則x0是函數(shù)f(x）的零點(diǎn)，在同一平面直角坐標(biāo)系下作出函數(shù)y＝x3與y＝eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（1，2））)x－2的圖象如圖所示．因?yàn)閒（1)＝1－eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(1，2）)）－1＝－1＜0，f（2)＝8－eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(1，2）))0＝7＞0,所以f(1)·f（2)＜0，所以x0∈(1，2）．答案:(1,2)B級-—中檔題目練通抓牢1．已知函數(shù)f（x)＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(3x,x≤1,,log\f(1，3)x,x>1，））則函數(shù)y＝f（x）＋x－4的零點(diǎn)個數(shù)為(）A．1 B．2C．3 D．4解析：選B函數(shù)y＝f（x)＋x－4的零點(diǎn)個數(shù)，即函數(shù)y＝－x＋4與y＝f(x）的圖象的交點(diǎn)的個數(shù)．如圖所示，函數(shù)y＝－x＋4與y＝f(x）的圖象有兩個交點(diǎn)，故函數(shù)y＝f(x)＋x－4的零點(diǎn)有2個．故選B.2．(2018·云南第一次統(tǒng)一檢測）已知a，b，c,d都是常數(shù),a＞b,c＞d.若f（x）＝2018－(x－a）（x－b)的零點(diǎn)為c,d，則下列不等式正確的是（)A．a(chǎn)＞c＞b＞d B．a(chǎn)＞b＞c＞dC．c＞d＞a＞b D．c＞a＞b＞d解析：選Df(x）＝2018－(x－a）·（x－b)＝－x2＋(a＋b)x－ab＋2018，又f(a）＝f(b）＝2018，c,d為函數(shù)f（x)的零點(diǎn)，且a＞b，c＞d，所以可在平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)f（x）的大致圖象如圖所示，由圖可知c＞a＞b＞d,故選D.3．(2017·山東高考）已知當(dāng)x∈[0,1］時，函數(shù)y＝（mx－1)2的圖象與y＝eq\r(x)＋m的圖象有且只有一個交點(diǎn)，則正實(shí)數(shù)m的取值范圍是(）A．（0，1］∪[2eq\r(3)，＋∞） B．（0,1]∪［3，＋∞）C．(0，eq\r（2)]∪［2eq\r(3），＋∞) D．（0，eq\r(2）]∪［3，＋∞）解析：選B在同一平面直角坐標(biāo)系中，分別作出函數(shù)f（x）＝（mx－1)2＝m2eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(x－\f（1，m）))2與g（x)＝eq\r（x）＋m的大致圖象．分兩種情形:(1）當(dāng)0<m≤1時,eq\f(1，m)≥1,如圖①，當(dāng)x∈［0,1]時，f(x）與g(x）的圖象有一個交點(diǎn)，符合題意；(2）當(dāng)m〉1時，0<eq\f(1，m）〈1，如圖②，要使f（x)與g(x)的圖象在［0，1］上只有一個交點(diǎn)，只需g（1）≤f(1）,即1＋m≤（m－1）2，解得m≥3或m≤0（舍去)．綜上所述，m∈(0,1］∪［3,＋∞）．4．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(2x－1，x＞0，,－x2－2x,x≤0，)）若函數(shù)g（x)＝f（x）－m有3個零點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．解析：作出f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1，x＞0,,－x2－2x，x≤0))的圖象如圖所示．由于函數(shù)g（x)＝f(x)－m有3個零點(diǎn)，結(jié)合圖象得0＜m＜1，即m∈（0，1)．答案：（0，1）5．方程2x＋3x＝k的解在［1,2）內(nèi)，則k的取值范圍為______．解析：令函數(shù)f（x）＝2x＋3x－k，則f（x）在R上是增函數(shù)．當(dāng)方程2x＋3x＝k的解在(1,2)內(nèi)時，f（1)·f(2）<0，即（5－k)（10－k）〈0，解得5<k<10。當(dāng)f（1）＝0時，k＝5。綜上，k的取值范圍為［5,10）．答案：［5，10）6．已知y＝f（x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，當(dāng)x∈［0，＋∞）時,f(x）＝x2－2x。（1)寫出函數(shù)y＝f（x）的解析式．(2）若方程f（x)＝a恰有3個不同的解，求a的取值范圍．解：（1）設(shè)x＜0，則－x＞0，所以f(－x）＝x2＋2x.又因?yàn)閒(x）是奇函數(shù)，所以f（x)＝－f(－x)＝－x2－2x。所以f(x)＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x2－2x,x≥0，,－x2－2x,x＜0.））(2）方程f（x)＝a恰有3個不同的解,即y＝f（x）與y＝a的圖象有3個不同的交點(diǎn)．作出y＝f（x)與y＝a的圖象如圖所示，故若方程f(x）＝a恰有3個不同的解，只需－1＜a＜1，故a的取值范圍為（－1，1)．7．已知二次函數(shù)f(x)＝x2＋(2a－1）x＋1－2（1）判斷命題:“對于任意的a∈R,方程f（x）＝1必有實(shí)數(shù)根”的真假，并寫出判斷過程；（2）若y＝f（x)在區(qū)間（－1,0）及eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(0，\f（1,2)））內(nèi)各有一個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：(1)“對于任意的a∈R，方程f(x）＝1必有實(shí)數(shù)根"是真命題．依題意，f(x)＝1有實(shí)根，即x2＋(2a－1)x－2a＝0有實(shí)根，因?yàn)棣ぃ?2a－1)2＋8a＝(2a＋1)2≥0對于任意的a∈R恒成立，即x2＋（2a－1）x－2a＝0必有實(shí)根，從而（2)依題意，要使y＝f(x）在區(qū)間（－1,0）及eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（0，\f（1，2））)內(nèi)各有一個零點(diǎn)，只需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（f－1＞0，，f0＜0，,f\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（1，2））)＞0，））即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－4a＞0，，1－2a＜0，,\f(3，4）－a＞0，）)解得eq\f（1，2）＜a＜eq\f（3，4）.故實(shí)數(shù)a的取值范圍為eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1,2），\f（3，4)）)。C級——重難題目自主選做1．（2018·福建寧德一模）已知函數(shù)f(x）＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（kx＋3，x≥0，，\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(1，2））)x,x＜0,)）若方程f(f（x)）－2＝0恰有三個實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）A．［0，＋∞） B．［1，3]C。eq\b\lc\(\rc\]（\a\vs4\al\co1(－1,－\f(1,3)）） D.eq\b\lc\[\rc\]（\a\vs4\al\co1（－1,－\f（1，3））)解析：選C∵f(f(x)）－2＝0，∴f（f(x)）＝2，∴f（x）＝－1或f(x）＝－eq\f（1,k）（k≠0)．（1)當(dāng)k＝0時,作出函數(shù)f（x）的圖象如圖①所示，由圖象可知f（x)＝－1無解,∴k＝0不符合題意；（2)當(dāng)k＞0時，作出函數(shù)f(x)的圖象如圖②所示,由圖象可知f(x)＝－1無解且f(x)＝－eq\f（1，k)無解，即f（f（x)）－2＝0無解，不符合題意；（3）當(dāng)k＜0時，作出函數(shù)f(x）的圖象如圖③所示，由圖象可知f（x)＝－1有1個實(shí)根，∵f(f(x）)－2＝0有3個實(shí)根，∴f（x）＝－eq\f（1,k)有2個實(shí)根,∴1＜－eq\f(1，k）≤3，解得－1＜k≤－eq\f（1,3）。綜上，k的取值范圍是eq\b\lc\（\rc\]（\a\vs4\al\co1(－1,－\f（1，3)））.故選C。2．已知函數(shù)f(x）＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（｜x｜,x≤m，，x2－2mx＋4m,x＞m，)）其中m＞0,若存在實(shí)數(shù)b，使得關(guān)于x的方程f(x）＝b有三個不同的根，則m的取值范圍是________．解析：函數(shù)y＝|x|為偶函數(shù),且左減右增．函數(shù)y＝x2－2mx＋4m（x＞m）圖象的對稱軸為x＝m，且在對稱軸右側(cè)單調(diào)遞增．故當(dāng)x≤m時函數(shù)f(x)先減后增，當(dāng)x＞m時函數(shù)f（x)單調(diào)遞增，畫出函數(shù)f(x）的大致圖象如圖所示，要使f（x)＝b有三個不同的根，則必須滿足m＞m2－2m2＋4m，解得答案：（3，＋∞)(二)重點(diǎn)高中適用作業(yè)A級——保分題目巧做快做1．下列函數(shù)中,在（－1，1)內(nèi)有零點(diǎn)且單調(diào)遞增的是()A．y＝logx B．y＝2x－1C．y＝x2－eq\f（1,2) D．y＝－x3解析:選B函數(shù)y＝logeq\f（1，2）x在定義域上單調(diào)遞減，y＝x2－eq\f(1,2）在(－1,1)上不是單調(diào)函數(shù)，y＝－x3在定義域上單調(diào)遞減，均不符合要求．對于y＝2x－1,當(dāng)x＝0∈（－1,1)時,y＝0且y＝2x－1在R上單調(diào)遞增．故選B.2．已知函數(shù)y＝f(x)的圖象是連續(xù)不斷的曲線，且有如下的對應(yīng)值表:x123456y124.433－7424。5－36.7－123。6則函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間［1,6］上的零點(diǎn)至少有（）A．2個 B．3個C．4個 D．5個解析：選B依題意，f(2)〉0，f(3）〈0,f(4）〉0，f(5）〈0，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可知，f(x）在區(qū)間（2，3），（3，4)，（4，5）上均至少含有一個零點(diǎn),故函數(shù)y＝f(x）在區(qū)間［1，6]上的零點(diǎn)至少有3個．3.（2018·四川雙流中學(xué)必得分訓(xùn)練)函數(shù)f(x)＝2x＋2x的零點(diǎn)所處的區(qū)間是（）A．[－2，－1］ B．[－1，0]C．［0,1］ D．［1,2］解析：選Bf(－2)＝2－2＋2×（－2）〈0，f（－1)＝2－1＋2×（－1）<0,f(0）＝20＋0〉0，由零點(diǎn)存在性定理知,函數(shù)f（x)的零點(diǎn)在區(qū)間[－1,0]上．故選B。4。(2018·甘肅天水一中月考)已知函數(shù)f（x)＝lnx－ax2＋ax恰有兩個零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（)A．（－∞，0） B．（0,＋∞)C．（0，1）∪(1,＋∞) D．（－∞，0）∪{1｝解析：選C由題意,顯然x＝1是函數(shù)f(x)的一個零點(diǎn),取a＝－1，則f（x)＝lnx＋x2－x，f′(x）＝eq\f（2x2－x＋1，x)＝eq\f(2\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,4））)2＋\f（7,8），x)>0恒成立．則f(x）僅有一個零點(diǎn)，不符合題意，排除A、D；取a＝1，則f(x)＝lnx－x2＋x,f′（x）＝eq\f（1－2x2＋x，x）＝eq\f(1＋2x1－x，x），令f′(x)＝0，得x＝1，則f(x）在（0,1）上遞增,在（1，＋∞）上遞減，f（x)max＝f(1）＝0,即f(x）僅有一個零點(diǎn),不符合題意，排除B,故選C.5．（2018·云南第一次統(tǒng)一檢測）已知a，b，c,d都是常數(shù)，a＞b，c＞d.若f（x)＝2018－(x－a）(x－b）的零點(diǎn)為c，d,則下列不等式正確的是(）A．a(chǎn)＞c＞b＞d B．a(chǎn)＞b＞c＞dC．c＞d＞a＞b D．c＞a＞b＞d解析：選Df（x)＝2018－（x－a）·（x－b)＝－x2＋（a＋b）x－ab＋2018,又f(a)＝f（b）＝2018，c,d為函數(shù)f(x)的零點(diǎn)，且a＞b,c＞d,所以可在平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)f（x）的大致圖象如圖所示，由圖可知c＞a＞b＞d，故選D。6．函數(shù)f（x）＝ex＋eq\f（1,2）x－2的零點(diǎn)有______個．解析:∵f（x）在R上單調(diào)遞增，又f（0)＝1－2〈0，f(1）＝e－eq\f(3，2）〉0,∴函數(shù)f（x)有且只有一個零點(diǎn)．答案:17．已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(xlnx，x＞0，，x2－x－2,x≤0，）)則其零點(diǎn)為________．解析：當(dāng)x＞0時，由f（x）＝0,即xlnx＝0得lnx＝0，解得x＝1；當(dāng)x≤0時,由f(x）＝0,即x2－x－2＝0，解得x＝－1或x＝2。因?yàn)閤≤0，所以x＝－1。綜上,函數(shù)的零點(diǎn)為1，－1.答案:1，－18．已知函數(shù)f（x）＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1，x＞0,，－x2－2x,x≤0,）)若函數(shù)g（x）＝f（x）－m有3個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．解析：作出f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（2x－1,x＞0，，－x2－2x,x≤0))的圖象如圖所示．由于函數(shù)g(x)＝f(x)－m有3個零點(diǎn)，結(jié)合圖象得0＜m＜1,即m∈(0，1)．答案：（0，1）9.已知函數(shù)f（x）＝x3－x2＋eq\f（x,2）＋eq\f(1，4）.求證：存在x0∈eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（0，\f（1,2))），使f（x0）＝x0。證明：令g(x)＝f（x）－x.∵g(0)＝eq\f(1，4）,geq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（1，2)）)＝feq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（1，2)））－eq\f(1，2)＝－eq\f（1，8），∴g(0）·geq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1,2）））〈0.又∵函數(shù)g(x）在eq\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1（0，\f（1,2））)上是連續(xù)不斷的曲線，∴存在x0∈eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2）)）,使g（x0)＝0，即f（x0)＝x0。10．已知y＝f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，當(dāng)x∈［0，＋∞）時，f(x)＝x2－2x.（1)寫出函數(shù)y＝f(x)的解析式．（2）若方程f（x)＝a恰有3個不同的解，求a的取值范圍．解:（1)設(shè)x＜0，則－x＞0，所以f(－x)＝x2＋2x。又因?yàn)閒（x)是奇函數(shù)，所以f（x）＝－f（－x）＝－x2－2x。所以f(x）＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2x，x≥0，，－x2－2x,x＜0.)）（2)方程f（x）＝a恰有3個不同的解，即y＝f(x）與y＝a的圖象有3個不同的交點(diǎn)．作出y＝f（x）與y＝a的圖象如圖所示,故若方程f（x）＝a恰有3個不同的解，只需－1＜a＜1,故a的取值范圍為(－1,1）．B級——拔高題目穩(wěn)做準(zhǔn)做1.已知x0是f（x）＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（1，2））)x＋eq\f（1,x)的一個零點(diǎn),x1∈（－∞，x0），x2∈（x0,0）,則（）A．f（x1)＜0，f（x2)＜0 B．f（x1）＞0，f(x2)＞0C．f(x1)＞0,f（x2）＜0 D．f(x1)＜0,f（x2）＞0解析：選C因?yàn)閤0是函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(1,2)))x＋eq\f（1,x）的一個零點(diǎn),所以f（x0)＝0，因?yàn)閒（x)＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（1,2）））x＋eq\f(1,x）在(－∞,0)和（0，＋∞）上是單調(diào)遞減函數(shù)，且x1∈(－∞，x0)，x2∈（x0,0），所以f（x1）＞f(x0）＝0＞f(x2）．2。設(shè)函數(shù)f(x)＝ex＋x－2,g(x)＝lnx＋x2－3。若實(shí)數(shù)a,b滿足f(a)＝0，g（b）＝0，則()A．g(a)<0<f(b） B．f（b)〈0<g(a)C．0<g（a)〈f(b） D．f(b）<g（a）〈0解析：選A因?yàn)楹瘮?shù)f(x）＝ex＋x－2在R上單調(diào)遞增,且f(0）＝1－2<0，f（1)＝e－1>0,所以f(a）＝0時，a∈（0,1）．又g(x)＝lnx＋x2－3在(0，＋∞）上單調(diào)遞增，且g(1)＝－2〈0，所以g(a）〈0.由g(2)＝ln2＋1〉0,所以g(b）＝0時，b∈(1,2),又f(1)＝e－1〉0，所以f(b）〉0.綜上可知,g(a）<0<f（b）．3.（2018·福建寧德一模）已知函數(shù)f(x）＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(kx＋3，x≥0，,\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（1，2）))x，x＜0，）)若方程f（f(x)）－2＝0恰有三個實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________．解析:∵f(f(x)）－2＝0，∴f(f(x）)＝2，∴f(x）＝－1或f(x)＝－eq\f(1，k)(k≠0)．（1）當(dāng)k＝0時，作出函數(shù)f(x)的圖象如圖①所示，由圖象可知f（x）＝－1無解,∴k＝0不符合題意；(2）當(dāng)k＞0時，作出函數(shù)f（x)的圖象如圖②所示,由圖象可知f(x)＝－1無解且f（x)＝－eq\f(1，k）無解,即f（f（x）)－2＝0無解，不符合題意；（3）當(dāng)k＜0時，作出函數(shù)f(x）