第五章向量解三角形篇向量解三角形在新教教材中實(shí)現(xiàn)了合體，這也意味著靈活度增加，本章節(jié)解三角形更多在解答題出現(xiàn)，向量和三角形綜合的則在小題中出現(xiàn)，本章是除了圓錐曲線以外，二級(jí)結(jié)論的最多的，學(xué)好本章，一定要反復(fù)推導(dǎo)結(jié)論，還要加強(qiáng)閱讀理解.一．基底運(yùn)算篇題型一.共線向量表示【例1】（2022?新高考Ⅰ）在中，點(diǎn)在邊上，．記，，則A． B． C． D．【例2】（2022?甘肅期末）在中，，分別是線段，上的點(diǎn)，與交于點(diǎn)，若，則A． B． C． D．【例3】（2022?廣東月考）設(shè)與是兩個(gè)不共線向量，關(guān)于向量，，，則下列結(jié)論中正確的是A．當(dāng)時(shí)，向量，不可能共線 B．當(dāng)時(shí)，向量，可能出現(xiàn)共線情況 C．若，且為單位向量，則當(dāng)時(shí)，向量，可能出現(xiàn)垂直情況D．當(dāng)時(shí)，向量平行【例4】（2022?濮陽開學(xué)）如圖，在梯形中，且，，，與交于點(diǎn)，則A． B． C． D．【例5】（2022?濰坊月考）設(shè)，且對(duì)任意，均有，為線段上一點(diǎn)，連接并延長到，使，若，則A．為直角三角形 B． C． D．這樣的點(diǎn)有2個(gè)題型二．極化恒等式【例6】（2020?新課標(biāo)Ⅰ）設(shè)，為單位向量，且，則．【例7】（2022?北京）在△中，，，．為△所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且，則的取值范圍是A．， B．， C．， D．，【例8】（2020?天津）如圖，在四邊形中，，，，且，，則實(shí)數(shù)的值為，若，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為．【例9】（2016?江蘇卷）如圖，在中，是的中點(diǎn)，是的兩個(gè)三等分點(diǎn)，，則.【例10】（2016?浙江卷）已知向量若對(duì)任意單位向量，均有，則的最大值是.【例11】（2017?全國II卷）已知是邊長為2的等邊三角形，P為平面內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值是（）A． B． C． D．【例12】（2022?重慶期末）如圖，正六邊形的邊長為2，半徑為1的圓的圓心為正六邊形的中心，若點(diǎn)在正六邊形的邊上運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)，在圓上運(yùn)動(dòng)且關(guān)于圓心對(duì)稱，則的值可能為A． B． C．3 D．【例13】（2022?淮安月考）如圖，在中，，，是的三等分點(diǎn)，且，則A． B． C． D．【例14】（2017?江蘇）在平面直角坐標(biāo)系中，，，點(diǎn)在圓O：上，若，則的橫坐標(biāo)范圍是．【例15】（2008?浙江卷）已知，是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量滿足，則的最大值是（）A． B． C． D．【例16】（2013?重慶卷）在平面內(nèi)，，，若，則的取值范圍是（）A． B. C. D.【例17】（2022?安徽模擬）已知，，，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【例18】（2022?紹興期中）已知平面向量，，滿足對(duì)任意都有，成立，，，則的值為（）A． B． C． D．【例19】（2022?山東月考）已知向量，，，其中，，與夾角為，且．則的最大值為．【例20】（2018?浙江）已知，，是平面向量，是單位向量．若非零向量與的夾角為，向量滿足，則的最小值是A． B． C．2 D．【例21】（2016?四川）在平面內(nèi)，定點(diǎn)，，，滿足，，動(dòng)點(diǎn)，滿足，，則的最大值是A． B． C． D．題型三．向量等數(shù)據(jù)線定理【例22】（2020?江蘇）在△中，，，，在邊上，延長到，使得．若為常數(shù)），則的長度是．【例23】（2022?開福區(qū)開學(xué)）在中，點(diǎn)滿足，當(dāng)點(diǎn)在線段（不含端點(diǎn)，上移動(dòng)時(shí)，若，則．【例24】（2022?漢中期中）給定兩個(gè)長度為1的平面向量和，它們的夾角為，點(diǎn)在以為圓心的圓弧上運(yùn)動(dòng)，若，其中，，則的最大值為（）A． B．5 C． D．6【例25】（2023?東營期末）在平行四邊形中，，，點(diǎn)是的三邊上的任意一點(diǎn)，設(shè)，．則下列結(jié)論正確的是A．， B．當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)， C．的最大值為1 D．滿足的點(diǎn)有且只有一個(gè)【例26】（2022?湖北期末）已知中，是邊上靠近的三等分點(diǎn)，過點(diǎn)的直線分別交直線，于不同的兩點(diǎn)，，設(shè)，，其中，，則下列結(jié)論正確的是A．B． C． D．【例27】（2022?遼寧月考）已知中，是邊的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，則A．的值可以等于2 B．的值可以等于2 C．的值可以等于 D．的值可以等于3二．四心定理篇1.重心定理和奔馳定理【例28】（2022?歷城區(qū)月考）點(diǎn)是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，下列說法正確的是A．若，則點(diǎn)是邊的中點(diǎn) B．若點(diǎn)是邊靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，則， C．若點(diǎn)在邊的中線上且，則點(diǎn)是的重心 D．若，則與的面積相等【例29】（2022?江寧區(qū)期末）已知點(diǎn)為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則下列選項(xiàng)正確的有A． B．直線過邊的中點(diǎn) C． D．若，則2.垂心定理【例30】（2023?南關(guān)區(qū)期末）已知為的垂心，面積為，，，則一定有（注意：此處會(huì)用到余弦定理和面積公式）A． B． C． D．【例31】（2023?鄒城市期中）“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”．奔馳定理：已知是內(nèi)的一點(diǎn)，，，的面積分別為，，，則有．設(shè)是銳角內(nèi)的一點(diǎn)，，，分別是的三個(gè)內(nèi)角，以下命題正確的有A．若，則為的重心 B．若，則 C．若，，，則 D．若為的垂心，則3.外心定理【例32】（2023?石家莊期末）著名數(shù)學(xué)家歐拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，此直線被稱為三角形的歐拉線，該定理被稱為歐拉線定理．已知的外心為，垂心為，重心為，且，，下列說法正確的是A． B． C． D．【例33】（2023?丹東期末）已知外接圓圓心在上，則A． B． C．， D．4.內(nèi)心定理【例34】（2023?饒河縣開學(xué)）給出下列命題，其中錯(cuò)誤的選項(xiàng)有A．非零向量，滿足且與同向，則 B．已知且與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 C．若單位向量的夾角為，則當(dāng)取最小值時(shí)， D．在中，若，則為等腰三角形【例35】（2023?臺(tái)州期末）下列說法中，正確的是A．若，則與夾角為銳角 B．若是內(nèi)心，且滿足，則這個(gè)三角形一定是銳角三角形 C．在中，若，則為的重心 D．在中，若，則為的垂心【例36】（2023?鯉城區(qū)期中）在中，，，為內(nèi)的一點(diǎn)，設(shè)，則下列說法正確的是A．若為的重心，則 B．若為的內(nèi)心，則 C．若為的外心，則 D．若為的垂心，則三．解三角形正余弦定理篇題型一二級(jí)結(jié)論妙用【例37】（2021?甲卷）在中，已知，，，則A．1 B． C． D．3【例38】（2022?上海）已知在中，，，，則的外接圓半徑為．【例39】（2021?乙卷）記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，面積為，，，則．【例40】（2022?郴州期末）在中，，，分別為角，，的對(duì)邊，已知，，且，則A． B． C． D．【例41】（2022?福州期末）的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，．其面積為，周長為．若，且，則A． B．的最大值為 C．的外接圓半徑為 D．的最小值為6【例42】（2022?菏澤期末）已知三個(gè)內(nèi)角，，的對(duì)應(yīng)邊分別為，，，且，，則下列結(jié)論正確的有A．面積的最大值為 B． C．周長的最大值為6 D．的取值范圍為【例43】(2022·全國甲卷理)已知ΔABC中,點(diǎn)D在邊BC上,∠ADB=120°,AD=2,CD=2BD.當(dāng)ACAB取得最小值時(shí),BD=【例44】（2021?浙江）在中，，，是的中點(diǎn)，，則；．【例45】（2022?黑龍江期中）已知三個(gè)內(nèi)角，，的對(duì)應(yīng)邊分別為，，，且，，則A． B．周長的最大值為6 C．的取值范圍為， D．的最大值為【例46】（2023?赫山區(qū)月考）已知中，角，，所對(duì)的邊分別是，，，，，則下列說法正確的是A． B．的最大值為 C．面積的最大值為 D．的最大值為【例47】（2022?利辛縣月考）已知中，，，點(diǎn)在線段上，，，則下列說法正確的是A．是直角三角形 B． C． D．的面積為【例48】（2023?海珠區(qū)期中）已知中，，，，在上，為的角平分線，為中點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是A. B．的面積為 C． D．在的外接圓上，則的最大值為【例49】（2023?相城區(qū)月考）在中，已知，，是的平分線，則的長度可能為A．1 B．2 C．3 D．4四．解三角形倍角定理篇【例50】（2023?襄陽月考）在銳角中，若，則的值可能是A． B． C． D．【例51】（2022?重慶期末）在銳角三角形中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，則A． B． C． D．【例52】（2022?秦淮區(qū)月考）在銳角中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，且，則下列結(jié)論正確的有A． B．的取值范圍為 C．的取值范圍為 D．的取值范圍為【例53】（2022?河北期中）記銳角的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，，則A． B．的取值范圍為 C．的取值范圍為 D．的取值范圍為【例54】（2022?北碚區(qū)月考）在中，角、、所對(duì)的邊分別為、、，且，則下列說法正確的是A．若，則的外接圓的面積為 B．若，且有兩解，則的取值范圍為， C．若，且為銳角三角形，則的取值范圍為， D．若，且，為的內(nèi)心，則的面積為四．解三角形之正切定理篇【例55】（2023?新疆模擬）在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，若，則的面積為時(shí)，的最大值是A．2 B． C．4 D．【例56】（2023?紹興月考）在銳角三角形中，角，，的對(duì)邊分別是，，，若的面積，給出以下兩個(gè)結(jié)論；（1）；（2）有最小值為8．則A．（1）正確，（2）錯(cuò)誤 B．（1）錯(cuò)誤，（2）正確 C．（1）（2）都正確 D．（1）（2）都錯(cuò)誤【例57】（2023?淄博期末）已知的三個(gè)內(nèi)角，，滿足，則A．是銳角三角形B．角的最大值為 C．角的最大值為 D．【例58】（2023?南京模擬）的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且，，，則A． B． C．的面積為 D．的周長為【例59】（2023?金壇區(qū)月考）設(shè)邊，，所對(duì)的角分別為，，，若的面積為，則以下結(jié)論中正確的是A．取不到最小值2 B．的最大值為4 C．角的最大值為 D．的最小值為【例60】（2023?黃岡期中）在銳角中，內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，若，則（）A．1 B．C．4 D．2達(dá)標(biāo)訓(xùn)練1.（2022?天津）在中，，，是中點(diǎn)，，試用，表示為，若，則的最大值為．2.（2022?浙江）設(shè)點(diǎn)在單位圓的內(nèi)接正八邊形的邊上，則的取值范圍是．3.（2020?浙江）已知平面單位向量，滿足．設(shè)，，向量，的夾角為，則的最小值是．4.（2019?江蘇）如圖，在中，是的中點(diǎn)，在邊上，，與交于點(diǎn)．若，則的值是．5.（2022?長汀縣月考）已知中，，在方向上的投影為3，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則下列式子有確定值的是A． B． C． D．6.（2018?天津）如圖，在平面四邊形中，，，，．若點(diǎn)為邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A． B． C． D．7.（2022?南關(guān)區(qū)期末）在等腰梯形中，，，，為的中點(diǎn)，為線段上的點(diǎn)，則的最小值是A．0 B． C． D．18.（2022?海淀開學(xué)）已知，是單位向量，，若，則的取值范圍是A．， B．， C．， D．，9.（2022?浙江月考）已知向量滿足，則向量與夾角的最大值是A． B． C． D．10.（2022?沙坪壩區(qū)期末）已知圓，過點(diǎn)的直線交圓于，兩點(diǎn)，下列說法正確的是A．當(dāng)時(shí)，的最小值是 B．當(dāng)時(shí)，的取值范圍是， C．當(dāng)時(shí)，為定值 D．當(dāng)，且時(shí)，11.（2022?通州區(qū)期末）直角中，斜邊，為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，（其中，則A．的取值范圍是 B．點(diǎn)經(jīng)過的外心 C．點(diǎn)所在軌跡的長度為2 D．的取值范圍是12.（2022?同安區(qū)月考）在中，點(diǎn)為平面中一點(diǎn)，、、角所對(duì)的邊分別為、、，且，，，下面說法錯(cuò)誤的是A．是銳角三角形 B．內(nèi)切圓半徑為 C．滿足，則點(diǎn)為的垂心 D．若點(diǎn)在所在直線上，，則有13.（2022?同安區(qū)月考）在中，點(diǎn)為平面中一點(diǎn)，、、角所對(duì)的邊分別為、、，且，，，下面說法錯(cuò)誤的是A．是銳角三角形 B．內(nèi)切圓半徑為 C．滿足，則點(diǎn)為的垂心 D．若點(diǎn)在所在直線上，，則有14.（2022?紹興期末）已知為銳角三角形，為此三角形的外心，，，，面積分別為，，，則以下結(jié)論正確的是A． B． C．的外接圓半徑為 D．的最大值為15．（2022?下期末）已知是的重心，是邊的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是A． B． C． D．若，則16.（2022?湖北期末）已知中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且，若點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，是的中點(diǎn)，點(diǎn)是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，，則下列說法正確的是A．若，則 B．若在方向上的投影向量為，則的最小值為 C．若點(diǎn)為的中點(diǎn)，則 D．若，則為定值1817.（2022?石家莊期末）著名數(shù)學(xué)家歐拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，此直線被稱為三角形的歐拉線，該定理被稱為歐拉線定理．已知的外心為，垂心為，重心為，且，，下列說法正確的是A． B． C． D．18.（2022?弋江區(qū)開學(xué)）如圖，為內(nèi)任意一點(diǎn)，角，，的對(duì)邊分別為，，，則總有優(yōu)美等式成立．此結(jié)論稱為三角形中的奔馳定理，由此判斷以下命題中，正確的有A．若是的重心，則有 B．若，則是的內(nèi)心 C．若，則 D．若是的外心，且，則19.（2022?臺(tái)州期末）下列說法中，正確的是A．若，則與夾角為銳角 B．若是內(nèi)心，且滿足，則這個(gè)三角形一定是銳角三角形 C．在中，若，則為的重心 D．在中，若，則為的垂心【解答】解：對(duì)選項(xiàng)，，與夾角為銳角或零度角，選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)，是內(nèi)心，根據(jù)內(nèi)心的向量式可得，又，，，為鈍角，選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)，在中，若，為的重心，選項(xiàng)正確；對(duì)選項(xiàng)，在中，若，，，，同理，為的垂心，選項(xiàng)正確．故選：．20.（2022?玉溪期末）已知，，，，則下列結(jié)論正確的是A．若是的重心，則 B．若是的內(nèi)心，則 C．若是的垂心，則 D．若是的外心，則21.（2022?萬州區(qū)校級(jí)開學(xué)）在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知，，且，則有A． B． C． D．22.（2022?龍崗區(qū)期中）在中，，，分別為，，的對(duì)邊，下列敘述正確的是A．若是銳角三角形，則不等式恒成立 B．，則 C．若，則為鈍角三角形 D．若，，則三角形的形狀唯一確定23.（2022?沙坪壩區(qū)期末）在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，且，則下列說法正確的有A． B．若，且的面積為，則的最小邊長為2 C．若時(shí)，是唯一的，則 D．若時(shí)，周長的范圍為24.（2022?武昌區(qū)期中）在銳角中，角，，所對(duì)邊分別為，，，外接圓半徑為，若，，則A． B． C．的最大值為3 D．的取值范圍為，25.（2022?尖山區(qū)月考）在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且，，則可能的值不是A．3 B．