1、3.3.1函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)（一）,1、一般地，對于給定區(qū)間D上的函數(shù)f(x)，若對于屬于區(qū)間D 的任意兩個自變量的值x1，x2，當(dāng)x1x2時，有,問題1：函數(shù)單調(diào)性的定義怎樣描述的?,(1)若f(x1)f (x2) ，那么f(x)在這個區(qū)間上 是增函數(shù).,(2)若f(x1)f(x2)，那么f(x)在這個區(qū)間上是減函數(shù).,(2)作差f(x1)f(x2) (作商),2用定義證明函數(shù)的單調(diào)性的一般步驟：,(1)任取x1、x2D，且x1 x2.,(4)定號(判斷差f(x1)f(x2)的正負(fù))(與比較),(3)變形(因式分解、配方、通分、提取公因式),(5)結(jié)論,一.知識回顧：,練習(xí)：討論函數(shù)y=x2

2、4x3的單調(diào)性.,定義法,單增區(qū)間：(，+).,單減區(qū)間：(，).,圖象法,二.思考與探究：,思考：那么如何求出下列函數(shù)的單調(diào)性呢?,(1)f(x)=2x3-6x2+7 (2)f(x)=ex-x+1 (3)f(x)=sinx-x,發(fā)現(xiàn)問題： 用單調(diào)性定義討論函數(shù)單調(diào)性雖然可行，但十分麻煩，尤其 是在不知道函數(shù)圖象時。例如：2x3-6x2+7，是否有更為 簡捷的方法呢？ 下面我們通過函數(shù)的y=x24x3圖象來考察單調(diào)性與導(dǎo)數(shù) 有什么關(guān)系,二.思考與探究：,2,.,.,.,.,.,.,.,再觀察函數(shù)y=x24x3的圖象：,總結(jié): 該函數(shù)在區(qū)間（，2）上單減,切線斜率小于0,即其導(dǎo)數(shù)為負(fù);,而當(dāng)x=

3、2時其切線斜率為0,即導(dǎo)數(shù)為0. 函數(shù)在該點單調(diào)性發(fā)生改變.,在區(qū)間（2，+）上單增,切線斜率大于0,即其導(dǎo)數(shù)為正.,思考：這種情況是否具有一般性呢？,二.思考與探究：,觀察下面一些函數(shù)的圖象, 探討函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)正負(fù)的關(guān)系.,結(jié)論：在定義域內(nèi)的某個區(qū)間(a,b)內(nèi), 如果 ,那么函數(shù) 在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增; 如果 ,那么函數(shù) 在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.,如果在某個區(qū)間內(nèi)恒有f(x)=0,則f(x)為常數(shù)函數(shù),二.思考與探究：,一般地，函數(shù)yf（x）在某個區(qū)間(a,b)內(nèi) 如果 ，那么函數(shù)y =f(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增; 如果 ，那么函數(shù)y =f(x) 在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.,如果在某

4、個區(qū)間內(nèi)恒有 ，那么f(x)為常數(shù)函數(shù).,三.結(jié)論：函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系,即導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)性決定原函數(shù)的增減性,則函數(shù)f(x)圖象的大致形狀是(）。,A,B,C,D,D,注：導(dǎo)函數(shù)f(x)的_與原函數(shù)f(x)的增減性有關(guān),正負(fù),四.例題講解,解：由題意可知,當(dāng)1x4時，f(x)為增函數(shù),當(dāng)x4,或x1時，f(x)為減函數(shù),當(dāng)x=4,或x=1時，兩點為“臨界點”,練習(xí)1.已知函數(shù)y=f (x)的圖象如圖所示，試畫出其導(dǎo)函數(shù)f (x)圖象 的大致形狀。,O,四.例題講解,練習(xí)2.設(shè)f (x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，y=f (x)的圖象如圖所示，則 y=f(x)的圖象最有可能是( ),x,y,o

5、,1,2,x,y,o,1,2,x,y,o,1,2,x,y,o,1,2,x,y,o,1,2,A,B,C,D,D,四.例題講解,練習(xí)3.函數(shù)y=f (x)的圖象如下圖所示,則 的圖象可能的是 ( ),四.例題講解,練習(xí)4.以下四圖，都是同一坐標(biāo)系中三次函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的圖 象，其中一定不正確的序號是（ ）,A、 B、 C、 D、,四.例題講解,例2. 判斷下列函數(shù)的單調(diào)性, 并求出單調(diào)區(qū)間:,四.例題講解,思路點撥：求可導(dǎo)函數(shù) f (x)單調(diào)區(qū)間的步驟,練習(xí)3.Pg93練習(xí)1,四.例題講解,2.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù) f (x)的單調(diào)區(qū)間，實質(zhì)上是轉(zhuǎn)化為解不等式 f(x)0 或f(x)0 ，不等式的解集就是

6、函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。 3. 如果一個函數(shù)具有相同單調(diào)性的單調(diào)區(qū)間不止一個，那么這些單調(diào)區(qū)間中間不能用“” “或” “且”連接，而只能用“逗號”“和” “及”字隔開 4. 在利用導(dǎo)數(shù)來討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，首先要確定函數(shù)的定義域，即解決問題的過程中，只能在定義域內(nèi)通過討論導(dǎo)數(shù)的符號來判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,題后感悟： 1.當(dāng)遇到三次或三次以上的函數(shù),或圖象很難畫出的函數(shù)求單調(diào) 性問題時，應(yīng)考慮導(dǎo)數(shù)法.,四.例題講解,例3.求證函數(shù) 在（0,2）內(nèi)是減函數(shù),思路點撥： 利用導(dǎo)數(shù)判斷或證明可導(dǎo)函數(shù)f(x)在（a,b）內(nèi)的單調(diào)性的步驟： (1)求導(dǎo)求導(dǎo)數(shù)f(x) (2定號判斷f(x)在（a,b）內(nèi)的符號 (3

7、)下結(jié)論作出單調(diào)性結(jié)論,題后感悟： 1.利用導(dǎo)數(shù)判斷或證明一個函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性，實質(zhì)上就是判斷 或證明不等式f(x)0( f(x)0)在給定區(qū)間上恒成立。 2.如果出現(xiàn)個別點使f(x)=0，不影響函數(shù)在包含該點的某個區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性。,例1：求函數(shù)f(x)2x2ln x的單調(diào)區(qū)間,例4.如圖, 水以恒速(即單位時間內(nèi)注入水的體積相同)注入下面四種底面積相同的容器中, 請分別找出與各容器對應(yīng)的水的高度h與時間t 的函數(shù)關(guān)系圖象.,五.導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系在圖象上的應(yīng)用,例3表明，通過函數(shù)圖像，不僅可以看出函數(shù)的增或減，還可以看出其變化的快慢。結(jié)合圖像，你能從導(dǎo)數(shù)的角度解釋變化快慢的情況嗎？,

8、結(jié)論：一般地，如果一個函數(shù)在某一個范內(nèi)導(dǎo)數(shù)的絕對值較大， 那么函數(shù)在這個范圍內(nèi)變化得快，這時，函數(shù)的圖像就比較 “陡峭”（向上或向下）；反之，函數(shù)的圖像就“平緩”一些。 如圖所示函數(shù)y=f(x）在(0,b)或(a,0)內(nèi)的圖像“陡峭”，在(b, +) 或(-,a)內(nèi)的圖像“平緩”。,y,x,o,b,a,y=f(x),練習(xí)4 如圖，直線l和圓c，當(dāng)l從l0開始在平面上繞點O勻速旋轉(zhuǎn)(旋轉(zhuǎn)角度不超過90o)時，它掃過的圓內(nèi)陰影部分的面積S是時間t的函數(shù)，它的圖象大致是（ ）。,D,六.課堂小結(jié),說明:函數(shù)的單調(diào)區(qū)間必定是它的定義域的子區(qū)間,故求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間一定首先要確定函數(shù)的定義域,在求出使導(dǎo)數(shù)

9、的值為正或負(fù)的x的范圍時,要與定義域求兩者的交集.,2.證明可導(dǎo)函數(shù)f(x)在（a,b）內(nèi)的單調(diào)性的步驟： (1)求f(x) (2)確認(rèn)f(x)在（a,b）內(nèi)的符號 (3)作出結(jié)論,(1) 求出函數(shù) f(x)的定義域A；,(2) 求出函f(x)數(shù)的導(dǎo)數(shù) ；,(3)不等式組 的解集為f(x)的單調(diào)增區(qū)間；,(4)不等式組 的解集為f(x)的單調(diào)減區(qū)間；,1.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的一般步驟:,函數(shù) y = f (x) 在給定區(qū)間 G 上，當(dāng) 任意x 1、x 2 G 且 x 1 x 2 時,1.函數(shù)單調(diào)性的定義,2.單調(diào)函數(shù)的圖象特征,1）都有 f ( x 1 ) f ( x 2 )，,則 f ( x ) 在G 上是增函數(shù)；,2）都有 f ( x 1 ) f ( x 2 )，,則 f ( x ) 在G 上是減函數(shù)；,若 f(x) 在G上是增函數(shù)或減函數(shù)，,增函數(shù),減函數(shù),則 f(x) 在G上具有嚴(yán)格的單調(diào)性。,G 稱為單調(diào)區(qū)間,G = ( a , b ),一.知識回顧：,下圖(1)表示高臺跳水運動員的高度 h 隨時間 t 變化的函數(shù)的圖象， 圖(2)表示高臺跳水運動員的速度 v 隨時間 t 變化的函數(shù)的圖象. 運