第六章離散概率分布2023/3/30商學院1第一頁，共四十九頁，2022年，8月28日2023/3/30商學院2第6章離散概率分布

（DiscreteProbability

Distributions）

第1節(jié)隨機變量（randomvariable）第2節(jié)離散型隨機變量的概率分布（DiscreteProbabilityDistributions）第3節(jié)離散型隨機變量的數(shù)學期望和方差（expectedvalueandvariance）第4節(jié)幾種常用的離散型概率分布第二頁，共四十九頁，2022年，8月28日2023/3/30商學院3隨機變量

(randomvariables)一次試驗的結果的數(shù)值性描述一般用X，Y，Z

來表示例如：投擲兩枚硬幣出現(xiàn)正面的數(shù)量根據(jù)取值情況的不同分為離散型隨機變量（discreterandomvariables）和連續(xù)型隨機變量（continuousrandomvariables）第三頁，共四十九頁，2022年，8月28日2023/3/30商學院4離散型隨機變量隨機變量X取有限個值或所有取值都可以逐個列舉出來x1,x2，…以確定的概率取這些不同的值離散型隨機變量的一些例子試驗隨機變量可能的取值抽查100個產(chǎn)品一家餐館營業(yè)一天電腦公司一個月的銷售銷售一輛汽車取到次品的個數(shù)顧客數(shù)銷售量顧客性別0,1,2,…,1000,1,2,…0,1,2,…男性為0,女性為1第四頁，共四十九頁，2022年，8月28日2023/3/30商學院5連續(xù)型隨機變量

可以取一個或多個區(qū)間中任何值所有可能取值不可以逐個列舉出來，而是取數(shù)軸上某一區(qū)間內(nèi)的任意點連續(xù)型隨機變量的一些例子試驗隨機變量可能的取值抽查一批電子元件新建一座住宅樓測量一個產(chǎn)品的長度使用壽命(小時)半年后工程完成的百分比測量誤差(cm)X00

X100X0第五頁，共四十九頁，2022年，8月28日2023/3/30商學院6離散型隨機變量的概率分布(probabilitydistribution)第六頁，共四十九頁，2022年，8月28日2023/3/30商學院7離散型隨機變量的概率分布列出離散型隨機變量X的所有可能取值列出隨機變量取這些值的概率通常用下面的表格來表示X=xix1，x2

，…，xnP(X=xi)=pip1，p2

，…，pn

P(X=xi)=pi稱為離散型隨機變量的概率函數(shù)pi0；第七頁，共四十九頁，2022年，8月28日2023/3/30商學院8離散型隨機變量的概率分布

(例題分析)【例】一部電梯在一周內(nèi)發(fā)生故障的次數(shù)X及相應的概率如下表故障次數(shù)X=xi0123概率P(X=xi)pi5一部電梯一周發(fā)生故障的次數(shù)及概率分布

(1)確定的值(2)求正好發(fā)生兩次故障的概率(3)求故障次數(shù)多于一次的概率(4)最多發(fā)生一次故障的概率第八頁，共四十九頁，2022年，8月28日2023/3/30商學院9離散型隨機變量的概率分布

(例題分析)解：(1)由于0.10+0.25+0.35+

=1所以，

=0.30

(2)P(X=2)=0.35(3)P(X2)=0.10+0.25+0.35=0.70(4)P(X1)=0.35+0.30=0.65第九頁，共四十九頁，2022年，8月28日2023/3/30商學院10離散型隨機變量的數(shù)學期望和方差第十頁，共四十九頁，2022年，8月28日2023/3/30商學院11

我們知道,隨機變量的分布列或概率密度,全面地描述了隨機變量的統(tǒng)計規(guī)律。但在許多實際問題中,這樣的全面描述并不使人感到方便。

已知一只母雞的年產(chǎn)蛋量是一個隨機變量,如果要比較兩個品種的母雞的年產(chǎn)蛋量,通常只要比較這兩個品種的母雞的年產(chǎn)蛋量的平均值就可以了。平均值大就意味著這個品種的母雞的產(chǎn)蛋量高。如果不去比較它們的平均值,而只看它們的分布列,雖然全面,卻使人不得要領,既難以掌握,又難以迅速地作出判斷。第十一頁，共四十九頁，2022年，8月28日2023/3/30商學院125416212817103只數(shù)Nk3210-1-2日走時誤差xk則抽查到的100只手表的平均日走時誤差為即例:某手表廠在出廠產(chǎn)品中,抽查了N=100只手表的日走時誤差,其數(shù)據(jù)如表:第十二頁，共四十九頁，2022年，8月28日2023/3/30商學院13

如果另外再抽驗100只手表,每作一次這樣的檢驗,就得到一組不同的頻率,也就有不同的日走時誤差的平均值。由關于頻率和概率關系的討論知,理論上應該用概率去代替上述和式的頻率,這時得到的平均值才是理論上(也是真正)的平均值。

這樣我們就引出了隨機變量的數(shù)學期望的概念。第十三頁，共四十九頁，2022年，8月28日2023/3/30商學院14離散型隨機變量的數(shù)學期望

(expectedvalue)離散型隨機變量X的所有可能取值xi與其取相對應的概率pi乘積之和描述離散型隨機變量取值的集中程度記為或E(X)計算公式為第十四頁，共四十九頁，2022年，8月28日2023/3/30商學院15所以A的射擊技術較B的好。概率10981098擊中環(huán)數(shù)BA射手名稱例:有A，B兩射手，他們的射擊技術如表所示，試問哪一個射手本領較好？解A射擊平均擊中環(huán)數(shù)為B射擊平均擊中環(huán)數(shù)為第十五頁，共四十九頁，2022年，8月28日2023/3/30商學院16例：A，B兩種手表的日走時誤差分別具有如下的分布律：

易知E(XA)=E(XB)=0。由數(shù)學期望無法判別兩種手表的優(yōu)劣。但直覺告訴我們A優(yōu)于B,怎么樣用數(shù)學的方法把這種直覺表達出來呢?第十六頁，共四十九頁，2022年，8月28日2023/3/30商學院17分析原因：

A手表之所以優(yōu)于B手表,是因為A手表的日走時較B手表穩(wěn)定。其日走時與其日平均誤差的偏離程度小。

研究隨機變量與其均值的偏離程度是有必要的。怎么樣去度量這個偏離程度呢?(1)xk-E(X)表示xk與E(X)之間的偏差;(2)E[X-E(X)]不能反映X與E(X)之間的整體偏差;(3)E{|X-E(X)|}可以度量X與E(X)之間的整體偏差,但運算不方便;(4)E{[X-E(X)]2}可以度量X與E(X)之間的整體偏差,且運算也較方便。第十七頁，共四十九頁，2022年，8月28日2023/3/30商學院18離散型隨機變量的方差

(variance)隨機變量X的每一個取值與期望值的離差平方和的數(shù)學期望，記為2

或D(X)描述離散型隨機變量取值的分散程度計算公式為方差的平方根稱為標準差(standarddeviation)，記為或D(X)第十八頁，共四十九頁，2022年，8月28日2023/3/30商學院19離散型數(shù)學期望和方差

(例題分析)【例】一家電腦配件供應商聲稱，他所提供的配件100個中擁有次品的個數(shù)及概率如下表次品數(shù)X=xi0123概率P(X=xi)pi0.750.120.080.05每100個配件中的次品數(shù)及概率分布求該供應商次品數(shù)的數(shù)學期望和標準差

第十九頁，共四十九頁，2022年，8月28日2023/3/30商學院20TheprobabilitydistributionfordamageclaimspaidbytheNewtonAutomobileInsuranceCompanyoncollisioninsurancefollows.payment0500100030005000800010000probability0.850.040.040.030.020.010.01第二十頁，共四十九頁，2022年，8月28日2023/3/30商學院21a.Usetheexpectedcollisionpaymenttodeterminethecollisioninsurancepremiumthatwouldenablethecompanytobreakeven.b.Theinsurancecompanychargesanannualrateof$520forthecollisioncoverage.Whatistheexpectedvalueofthecollisionpolicyforapolicyholder?(Hint:Itistheexpectedpaymentsfromthecompanyminusthecostofcoverage.)Whydoesthepolicyholderpurchaseacollisionpolicywiththisexpectedvalue?第二十一頁，共四十九頁，2022年，8月28日2023/3/30商學院22常用離散型概率分布離散型概率分布兩點分布二項分布泊松分布超幾何分布第二十二頁，共四十九頁，2022年，8月28日2023/3/30商學院23兩點分布一個離散型隨機變量X只取0和1兩個可能的值它們的概率分布為

或也稱0-1分布第二十三頁，共四十九頁，2022年，8月28日2023/3/30商學院24兩點分布

(例題分析)

【例】已知一批產(chǎn)品的次品率為p＝0.04，合格率為q=1-p=1-0.04=0.96。并指定廢品用1表示，合格品用0表示。則任取一件為廢品或合格品這一離散型隨機變量，其概率分布為X=xi01P(X=xi)=pi0.050.950.5011xP(x)第二十四頁，共四十九頁，2022年，8月28日2023/3/30商學院25二項試驗

(伯努利試驗)

二項分布與伯努利試驗有關貝努里試驗滿足下列條件一次試驗只有兩個可能結果，即“成功”和“失敗”“成功”是指我們感興趣的某種特征一次試驗“成功”的概率為p，失敗的概率為q=1-p，且概率p對每次試驗都是相同的試驗是相互獨立的，并可以重復進行n次在n次試驗中，“成功”的次數(shù)對應一個離散型隨機變量X

第二十五頁，共四十九頁，2022年，8月28日2023/3/30商學院26 例：1.獨立重復地拋n次硬幣，每次只有兩個可能的結果：正面，反面，如果是不放回抽樣呢？ 2.將一顆骰子拋n次，設A={得到1點}，則每次試驗只有兩個結果： 3.從52張牌中有放回地取n次，設A={取到紅牌}，則每次只有兩個結果：第二十六頁，共四十九頁，2022年，8月28日2023/3/30商學院27設A在n重貝努利試驗中發(fā)生X次，則并稱X服從參數(shù)為p的二項分布，記推導：設Ai={第i次A發(fā)生}，先設n=3第二十七頁，共四十九頁，2022年，8月28日2023/3/30商學院28二項分布

(Binomialdistribution)重復進行n

次試驗，出現(xiàn)“成功”的次數(shù)的概率分布稱為二項分布，記為X~B(n，p)設X為n次重復試驗中出現(xiàn)成功的次數(shù)，X取x

的概率為第二十八頁，共四十九頁，2022年，8月28日2023/3/30商學院29例：設有80臺同類型設備，各臺工作是相互獨立的，發(fā)生故障的概率都是0.01，且一臺設備的故障能有一個人處理。 考慮兩種配備維修工人的方法，其一是由4個人維護，每人負責20臺；其二是由3個人共同維護80臺。試比較這兩種方法在設備發(fā)生故障時不能及時維修的概率的大小。第二十九頁，共四十九頁，2022年，8月28日2023/3/30商學院30第三十頁，共四十九頁，2022年，8月28日2023/3/30商學院31

例：某人騎了自行車從學校到火車站，一路上 要經(jīng)過3個獨立的交通燈，設各燈工作獨 立，且設各燈為紅燈的概率為p，0<p<1， 以Y表示一路上遇到紅燈的次數(shù)。

(1)求Y的概率分布律；

(2)求恰好遇到2次紅燈的概率。

解：這是三重貝努利試驗

第三十一頁，共四十九頁，2022年，8月28日2023/3/30商學院32

例：某人獨立射擊n次，設每次命中率為p，

0<p<1，設命中X次，(1)求X的概率分布 律；(2)求至少有一次命中的概率。

解：這是n重貝努利試驗同時可知：上式的意義為：若p較小，p≠0,只要n充分大，至少有一次命中的概率很大。即“小概率事件”在大量試驗中“至少有一次發(fā)生”幾乎是必然的。第三十二頁，共四十九頁，2022年，8月28日2023/3/30商學院33

例：有一大批產(chǎn)品，其驗收方案如下：先作第一次檢驗， 從中任取10件，經(jīng)檢驗無次品接受這批產(chǎn)品，次品數(shù)大 于2拒收；否則作第二次檢驗，從中任取5件，僅當5件 中無次品便接受這批產(chǎn)品，設產(chǎn)品的次品率為p． 求這批產(chǎn)品能被接受的概率L(p)．L(P)=P(A)解： 設X為第一次抽得的次品數(shù)，Y為第2次抽得的次品數(shù)； 則X～b(10,p)，Y～b(5,p)，且{X=i}與{Y=j}獨立。A={接受該批}。第三十三頁，共四十九頁，2022年，8月28日2023/3/30商學院34二項分布對于P(X=x)0，x=1,2,…,n，有同樣有當n=1時，二項分布化簡為第三十四頁，共四十九頁，2022年，8月28日2023/3/30商學院35二項分布

(例題分析)

【例】已知一批產(chǎn)品的次品率為4%，從中任意有放回地抽取5個。求5個產(chǎn)品中：(1)沒有次品的概率是多少？(2)恰好有1個次品的概率是多少？(3)有3個以下次品的概率是多少？第三十五頁，共四十九頁，2022年，8月28日2023/3/30商學院36Auniversityfoundthat20%ofitsstudentswithdrawwithoutcompletingtheintroductorystatisticscourse.Assumethat20studentsregisteredforthecourse.a.Computetheprobabilitythattwoorfewerwillwithdraw.b.Computetheprobabilitythatexactlyfourwillwithdraw.c.Computetheprobabilitythatmorethanthreewillwithdraw.d.Computetheexpectednumberofwithdrawals.第三十六頁，共四十九頁，2022年，8月28日2023/3/30商學院37泊松分布

(Poissondistribution)1837年法國數(shù)學家泊松(D.Poisson，1781—1840)首次提出用于描述在一指定時間范圍內(nèi)或在一定的長度、面積、體積之內(nèi)每一事件出現(xiàn)次數(shù)的分布泊松分布的例子一定時間段內(nèi)，某航空公司接到的訂票電話數(shù)一定時間內(nèi)，到車站等候公共汽車的人數(shù)一定路段內(nèi)，路面出現(xiàn)大損壞的次數(shù)一定時間段內(nèi)，放射性物質(zhì)放射的粒子數(shù)一匹布上發(fā)現(xiàn)的疵點個數(shù)一定頁數(shù)的書刊上出現(xiàn)的錯別字個數(shù)

第三十七頁，共四十九頁，2022年，8月28日2023/3/30商學院38泊松分布

(概率分布函數(shù))—

給定的時間間隔、長度、面積、體積內(nèi)“成功”的平均數(shù)e=2.71828x

—給定的時間間隔、長度、面積、體積內(nèi)“成功”的次數(shù)第三十八頁，共四十九頁，2022年，8月28日2023/3/30商學院39泊松分布

(例題分析)【例】假定某航空公司預訂票處平均每小時接到42次訂票電話，那么10分鐘內(nèi)恰好接到6次電話的概率是多少？解：設X=10分鐘內(nèi)航空公司預訂票處接到的電話次數(shù)

第三十九頁，共四十九頁，2022年，8月28日2023/3/30商學院40Airlinepassengersarriverandomlyandindependentlyatthepassenger-screeningfacilityatamajorinternationalairport.Themeanarrivalrateis10passengersperminute.a.Computetheprobabilityofnoarrivalsinaone-minuteperiod.b.Computetheprobabilitythatthreeorfewerpassengersarriveinaone-minuteperiod.c.Computetheprobabilityofnoarrivalsina15-secondperiod.d.Computetheprobabilityofatleastonearrivalina15-secondperiod.第四十頁，共四十九頁，2022年，8月28日2023/3/30商學院41泊松分布

(作為二項分布的近似)當試驗的次數(shù)n

很大，成功的概率p

很小時，可用泊松分布來近似地計算二項分布的概率，即實際應用中，當P0.05，n>20，np5時，近似效果良好第四十一頁，共四十九頁，2022年，8月28日2023/3/30商學院42例：一個由500人組成的團體，其中恰好有X個人在元旦過生日的可能性有多大？X二項泊松00.253630.25413210.3484270.34813620.238850.23845630.1089370.10888740.0371890.03729150.010