第一章 概率論的基本概念定義：隨機(jī)試驗(yàn)E的每個(gè)結(jié)果樣本點(diǎn)組成樣本空間S，S的子集為E的隨機(jī)事件，單個(gè)樣本點(diǎn)為基本事件．事件關(guān)系：1．AB，A發(fā)生必導(dǎo)致B發(fā)生．2．AB和事件，A，B至少一個(gè)發(fā)生，AB發(fā)生．3．AB記AB積事件，A，B同時(shí)發(fā)生，AB發(fā)生．4．A－B差事件，A發(fā)生，B不發(fā)生，A－B發(fā)生．5．AB=?，A與B互不相容(互斥)，A與B不能同時(shí)發(fā)生，基本事件兩兩互不相容．6．AB=S且AB=?，A與B互為逆事件或?qū)α⑹录珹與B中必有且僅有一個(gè)發(fā)生，記B=．事件運(yùn)算：交換律、結(jié)合律、分配率略．德摩根律：，．概率：概率就是n趨向無窮時(shí)的頻率，記P(A)．概率性質(zhì):1．P(?)=0．2．(有限可加性)P(A1A2…An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)，Ai互不相容．3．若AB，則P(B－A)=P(B)－P(A)．4．對任意事件A，有．5．P(AB)=P(A)+P(B)－P(AB)．古典概型：即等可能概型，滿足：1．S包含有限個(gè)元素．2．每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相同．等概公式：．超幾何分布：，其中．條件概率：．乘法定理：．全概率公式：，其中為S的劃分．貝葉斯公式：，或．獨(dú)立性：滿足P(AB)=P(A)P(B)，則A，B相互獨(dú)立，簡稱A，B獨(dú)立．定理一：A，B獨(dú)立，則．P(B|A)=P(B)．定理二：A，B獨(dú)立，則A與，與，與也相互獨(dú)立．隨機(jī)變量及其分布(0—1)分布：，k=0，1（0<p<1）．伯努利實(shí)驗(yàn)：實(shí)驗(yàn)只有兩個(gè)可能的結(jié)果：A及．二項(xiàng)式分布：記X~b（n，p），．n重伯努利實(shí)驗(yàn)：獨(dú)立且每次試驗(yàn)概率保持不變．其中A發(fā)生k次，即二項(xiàng)式分布．泊松分布：記X~π（λ），，．泊松定理：，其中．當(dāng)，應(yīng)用泊松定理近似效果頗佳．隨機(jī)變量分布函數(shù)：，．．連續(xù)型隨機(jī)變量：，X為連續(xù)型隨機(jī)變量，為X的概率密度函數(shù)，簡稱概率密度．概率密度性質(zhì)：1．；2．；3．；4．，f(x)在x點(diǎn)連續(xù)；5．P{X=a}=0．均勻分布：記X~U(a，b)；；．性質(zhì)：對a≤c<c+l≤b，有指數(shù)分布：；．無記憶性：．正態(tài)分布：記；；．性質(zhì)：1．f(x)關(guān)于x=μ對稱，且P{μ-h<X≤μ}=P{μ<X≤μ+h}；2．有最大值f(μ)=()-1．標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：；．即μ=0，σ=1時(shí)的正態(tài)分布X~N(0，1)性質(zhì)：．正態(tài)分布的線性轉(zhuǎn)化：對有；且有．正態(tài)分布概率轉(zhuǎn)化：；．3σ法則：P=Φ(1)－Φ(-1)=%；P=Φ(2)－Φ(-2)=%；P=Φ(3)－Φ(-3)=%，P多落在(μ-3σ，μ+3σ)內(nèi)．上ɑ分位點(diǎn)：對X~N(0，1)，若zα滿足條件P{X>zα}=α，0<α<1，則稱點(diǎn)zα為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上α分位點(diǎn)．常用上ɑ分位點(diǎn)：Y服從自由度為1的χ2分布：設(shè)X密度函數(shù)fX(x)，，若Y=X2，則若設(shè)X~N(0，1)，則有定理：設(shè)X密度函數(shù)fX(x)，設(shè)g(x)處處可導(dǎo)且恒有g(shù)′(x)>0(或g′(x)<0)，則Y=g(X)是連續(xù)型隨機(jī)變量，且有h(y)是g(x)的反函數(shù)；=1\*GB3①若，則α=min{g(?∞)，g(+∞)}，β=max{g(?∞)，g(+∞)}；=2\*GB3②若fX(x)在[a，b]外等于零，g(x)在[a，b]上單調(diào)，則α=min{g(a)，g(b)}，β=max{g(a)，g(b)}．應(yīng)用：Y=aX+b~N(aμ+b，(|a|σ)2)．多維隨機(jī)變量及其分布二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)：分布函數(shù)(聯(lián)合分布函數(shù))：，記作：．．F（x，y）性質(zhì)：1．F（x，y）是x和y的不減函數(shù)，即x2>x1時(shí)，F(xiàn)（x2，y）≥F（x1，y）；y2>y1時(shí)，F(xiàn)（x，y2）≥F（x，y1）．2．0≤F（x，y）≤1且F（?∞，y）=0，F(xiàn)（x，?∞）=0，F(xiàn)（?∞，?∞）=0，F(xiàn)（+∞，+∞）=1．3．F（x+0，y）=F（x，y），F(xiàn)（x，y+0）=F（x，y），即F（x，y）關(guān)于x右連續(xù)，關(guān)于y也右連續(xù)．4．對于任意的(x1，y1)，(x2，y2)，x2>x1，y2>y1，有P{x1<X≤x2，y1<Y≤y2}≥0．離散型（X，Y）：，，．連續(xù)型（X，Y）：．f(x，y)性質(zhì)：1．f(x，y)≥0．2．．3．．4．若f(x，y)在點(diǎn)(x，y)連續(xù)，則有．n維：n維隨機(jī)變量及其分布函數(shù)是在二維基礎(chǔ)上的拓展，性質(zhì)與二維類似．邊緣分布：Fx(x)，F(xiàn)y(y)依次稱為二維隨機(jī)變量（X，Y）關(guān)于X和Y的邊緣分布函數(shù)，F(xiàn)X(x)=F(x，∞)，F(xiàn)Y(y)=F(∞，y)．離散型：和分別為（X，Y）關(guān)于X和Y的邊緣分布律，記，．連續(xù)型：，為（X，Y）關(guān)于X和Y的邊緣密度函數(shù)，記，．二維正態(tài)分布：．記(X，Y)~N(μ1，μ2，σ12，σ22，ρ)，．，．離散型條件分布律：．．連續(xù)型條件分布：條件概率密度：條件分布函數(shù)：含義：當(dāng)時(shí)，．均勻分布：若，則稱(X，Y)在G上服從均勻分布．獨(dú)立定義：若P{X≤x，Y≤y}=P{X≤x}P{Y≤y}，即F(x，y)=Fx(x)Fy(y)，則稱隨機(jī)變量X和Y是相互獨(dú)立的．獨(dú)立條件或可等價(jià)為：連續(xù)型：f(x，y)=fx(x)fy(y)；離散型：P{X=xi，Y=yj}=P{X=xi}P{Y=yj}．正態(tài)獨(dú)立：對于二維正態(tài)隨機(jī)變量（X，Y），X和Y相互對立的充要條件是：參數(shù)ρ=0．n維延伸：上述概念可推廣至n維隨機(jī)變量，要注意的是邊緣函數(shù)或邊緣密度也是多元(1~n-1元)的．定理：設(shè)（X1，X2，…，Xm）和（Y1，Y2，…，Yn）相互獨(dú)立，則Xi和Yj相互獨(dú)立．又若h，g是連續(xù)函數(shù)，則h（X1，X2，…，Xm）和g（Y1，Y2，…，Yn）相互獨(dú)立．Z=X+Y分布：若連續(xù)型(X，Y)概率密度為f(x，y)，則Z=X+Y為連續(xù)型且其概率密度為或．fX和fY的卷積公式：記，其中除繼上述條件，且X和Y相互獨(dú)立，邊緣密度分別為fX(x)和fY(y)．正態(tài)卷積：若X和Y相互獨(dú)立且X~N(μ1，σ12)，記Y~N(μ2，σ22)，則對Z=X+Y有Z~N(μ1+μ2，σ12+σ22)．1．上述結(jié)論可推廣至n個(gè)獨(dú)立正態(tài)隨機(jī)變量．2．有限個(gè)獨(dú)立正態(tài)隨機(jī)變量的線性組合仍服從正態(tài)分布．伽馬分布：記，，．，其中．若X和Y獨(dú)立且X~Γ(α，θ)，記Y~Γ(β，θ)，則有X+Y~Γ(α+β，θ)．可推廣到n個(gè)獨(dú)立Γ分布變量之和．：，若X和Y相互獨(dú)立，則有．分布：，若X和Y相互獨(dú)立，則有．大小分布：若X和Y相互獨(dú)立，且有M=max{X，Y}及N=min{X，Y}，則M的分布函數(shù)：Fmax(z)=FX(z)FY(z)，N的分布函數(shù)：Fmin(z)=1－[1－FX(z)][1－FY(z)]，以上結(jié)果可推廣到n個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量的情況．第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征數(shù)學(xué)期望：簡稱期望或均值，記為E(X)；離散型：．連續(xù)型：．定理：設(shè)Y是隨機(jī)變量X的函數(shù)：Y=g(X)(g是連續(xù)函數(shù))．1．若X是離散型，且分布律為P{X=xk}=pk，則：．2．若X是連續(xù)型，概率密度為f(x)，則：．定理推廣：設(shè)Z是隨機(jī)變量X，Y的函數(shù)：Z=g(X，Y)(g是連續(xù)函數(shù))．1．離散型：分布律為P{X=xi，Y=yj}=pij，則：．2．連續(xù)型：期望性質(zhì)：設(shè)C是常數(shù)，X和Y是隨機(jī)變量，則：1．E(C)=C．2．E(CX)=CE(X)．3．E(X+Y)=E(X)+E(Y)．4．又若X和Y相互獨(dú)立的，則E(XY)=E(X)E(Y)．方差：記D(X)或Var(X)，D(X)=Var(X)=E{[X－E(X)]2}．標(biāo)準(zhǔn)差(均方差)：記為σ(X)，σ(X)=．通式：．，．標(biāo)準(zhǔn)化變量：記，其中，，稱為X的標(biāo)準(zhǔn)化變量．，．方差性質(zhì)：設(shè)C是常數(shù)，X和Y是隨機(jī)變量，則：1．D(C)=0．2．D(CX)=C2D(X)，D(X+C)=D(X)．3．D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E{(X－E(X))(Y－E(Y))}，若X，Y相互獨(dú)立D(X+Y)=D(X)+D(Y)．4．D(X)=0的充要條件是P{X=E(X)}=1．正態(tài)線性變換：若，是不全為0的常數(shù)，則．切比雪夫不等式：或，其中，，為任意正數(shù)．協(xié)方差：記．X與Y的相關(guān)系數(shù)：．D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y)，Cov(X，Y)=E(XY)－E(X)E(Y)．性質(zhì)：1．Cov(aX，bY)=abCov(X，Y)，a，b是常數(shù)．2．Cov(X1+X2，Y)=Cov(X1，Y)+Cov(X2，Y)．系數(shù)性質(zhì)：令e=E[(Y－(a+bX))2]，則e取最小值時(shí)有，其中，．1．|ρXY|≤1．2．|ρXY|=1的充要條件是：存在常數(shù)a，b使P{Y=a+bX}=1．|ρXY|越大e越小X和Y線性關(guān)系越明顯，當(dāng)|ρXY|=1時(shí)，Y=a+bX；反之亦然，當(dāng)ρXY=0時(shí)，X和Y不相關(guān)．X和Y相互對立，則X和Y不相關(guān)；但X和Y不相關(guān)，X和Y不一定相互獨(dú)立．定義：k階矩(k階原點(diǎn)矩)：E(Xk)．n維隨機(jī)變量Xi的協(xié)方差矩陣：，=E{[Xi－E(Xi)][Xj－E(Xj)]}．k+l階混合矩：E(XkYl)．k階中心矩：E{[X－E(X)]k}．k+l階混合中心矩：E{[X－E(X)]k[Y－E(Y)]l}．n維正態(tài)分布：，．性質(zhì)：1．n維正態(tài)隨機(jī)變量(X1，X2，…，Xn)的每一個(gè)分量Xi(i=1，2，…，n)都是正態(tài)隨機(jī)變量，反之，亦成立．2．n維隨機(jī)變量(X1，X2，…，Xn)服從n維正態(tài)分布的充要條件是X1，X2，…，Xn的任意線性組合l1X1+l2X2+…+lnXn服從一維正態(tài)分布(其中l(wèi)1，l2，…，ln不全為零)．3．若(X1，X2，…，Xn)服從n維正態(tài)分布，且Y1，Y2，…，Yk是Xj(j=1，2，…，n)的線性函數(shù)，則(Y1，Y2，…，Yk)也服從多維正態(tài)分布．4．若(X1，X2，…，Xn)服從n維正態(tài)分布，則“Xi相互獨(dú)立”與“Xi兩兩不相關(guān)”等價(jià)．第五章 大數(shù)定律及中心極限定理弱大數(shù)定理：若X1，X2，…是相互獨(dú)立并服從同一分布的隨機(jī)變量序列，且E(Xk)=μ，則對任意ε>0有或，．定義：Y1，Y2，…，Yn，…是一個(gè)隨機(jī)變量序列，a是一個(gè)常數(shù)．若對任意ε>0，有則稱序列Y1，Y2，…，Yn，…依概率收斂于a．記伯努利大數(shù)定理：~對任意ε>0有或．~其中fA是n次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率．中心極限定理定理一：設(shè)X1,X2,…,Xn,…相互獨(dú)立并服從同一分布，且E(Xk)=μ，D(Xk)=σ2>0，則n→∞時(shí)有近似的N(0，1)或~N(0，1)或~N(μ，)．近似的定理二：設(shè)X1,X2,…,Xn,…相互獨(dú)立且E(Xk)=μk，D(Xk)=σk2>0，若存在δ>0使n→∞時(shí)，，則~N(0，1)，記．定理三：設(shè)，則n→∞時(shí)，(0，1)，．第六章 樣本及抽樣分布定義：總體：全部值；個(gè)體：一個(gè)值；容量：個(gè)體數(shù)；有限總體：容量有限；無限總體：容量無限．定義：樣本：X1,X2,…,Xn相互獨(dú)立并服從同一分布F的隨機(jī)變量，稱從F得到的容量為n的簡單隨機(jī)樣本．頻率直方圖：圖形：以橫坐標(biāo)小區(qū)間為寬，縱坐標(biāo)為高的跨越橫軸的幾個(gè)小矩形．橫坐標(biāo)：數(shù)據(jù)區(qū)間（大區(qū)間下限比最小數(shù)據(jù)值稍小，上限比最大數(shù)據(jù)值稍大；小區(qū)間：均分大區(qū)間，組距Δ=大區(qū)間/小區(qū)間個(gè)數(shù)；小區(qū)間界限：精度比數(shù)據(jù)高一位）．圖形特點(diǎn)：外輪廓接近于總體的概率密度曲線．縱坐標(biāo)：頻率/組距（總長度：<1/Δ；小區(qū)間長度：頻率/組距）．定義：樣本p分位數(shù)：記xp，有1．樣本xi中有np個(gè)值≤xp．2．樣本中有n(1－p)個(gè)值≥xp．箱線圖：xp選擇：記．分位數(shù)，記為Q2或M，稱為樣本中位數(shù)．分位數(shù)，記為Q1，稱為第一四分位數(shù)．分位數(shù)，記為Q3，稱為第三四分位數(shù)．圖形：minQ1minQ1MQ3max圖形特點(diǎn)：M為數(shù)據(jù)中心，區(qū)間[min，Q1]，[Q1，M]，[M，Q3]，[Q3，max]數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)各占1/4，區(qū)間越短數(shù)據(jù)密集．四分位數(shù)間距：記IQR=Q3－Q1；若數(shù)據(jù)X<Q1－或X>Q3+，就認(rèn)為X是疑似異常值．抽樣分布：樣本平均值：樣本方差：樣本標(biāo)準(zhǔn)差：樣本k階(原點(diǎn))矩：，k≥1樣本k階中心矩：，k≥2經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)：，．表示F的一個(gè)樣本X1,X2,…,Xn中不大于x的隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)．自由度為n的χ2分布：記χ2~χ2（n），，其中X1,X2,…,Xn是來自總體N(0，1)的樣本．E(χ2)=n，D(χ2)=2n．χ12+χ22~χ2（n1+n2）．．χ2分布的分位點(diǎn)：對于0<α<1，滿足，則稱為的上α分位點(diǎn)．當(dāng)n充分大時(shí)(n>40)，，其中是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上α分位點(diǎn)．自由度為n的t分布：記t~t(n)，，其中X~N(0，1)，Y~χ2(n)，X，Y相互獨(dú)立．h(t)圖形關(guān)于t=0對稱；當(dāng)n充分大時(shí)，t分布近似于N(0，1)分布．t分布的分位點(diǎn)：對于0<α<1，滿足，則稱為的上α分位點(diǎn)．由h(t)對稱性可知t1－α(n)=－tα(n)．當(dāng)n>45時(shí)，tα(n)≈zα，zα是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上α分位點(diǎn)．自由度為(n1，n2)的F分布：記F~F(n1，n2)，，其中U~χ2(n1)，V~χ2(n2)，X，Y相互獨(dú)立．1/F~F(n2，n1)F分布的分位點(diǎn)：對于0<α<1，滿足，則稱為的上α分位點(diǎn)．重要性質(zhì)：F1－α(n1，n2)=1/Fα(n1，n2)．定理一：設(shè)X1,X2,…,Xn是來自N(μ，σ2)的樣本，則有，其中是樣本均值．定理二：設(shè)X1,X2,…,Xn是來自N(μ，σ2)的樣本，樣本均值和樣本方差分別記為，，則有1．；2．與相互獨(dú)立．定理三：設(shè)X1,X2,…,Xn是來自N(μ，σ2)的樣本，樣本均值和樣本方差分別記為，，則有．定理四：設(shè)X1,X2,…,Xn1與Y1,Y2,…,Yn2分別是來自N(μ1，σ12)和N(μ2，σ22)的樣本，且相互獨(dú)立．設(shè)這兩個(gè)樣本的樣本均值和樣本方差分別記為，，，，則有1．．2．當(dāng)σ12=σ22=σ2時(shí)，，其中，．第七章 參數(shù)估計(jì)定義：估計(jì)量：，估計(jì)值：，統(tǒng)稱為估計(jì)．矩估計(jì)法：令=()(k為未知數(shù)個(gè)數(shù))聯(lián)立方程組，求出估計(jì)．設(shè)總體X均值μ及方差σ2都存在，則有，．最大似然估計(jì)法：似然函數(shù)：離散：或連續(xù)：，化簡可去掉與θ無關(guān)的因式項(xiàng)．即為最大值，可由方程或求得．當(dāng)多個(gè)未知參數(shù)θ1，θ1，…，θk時(shí)：可由方程組或（）求得．最大似然估計(jì)的不變性：若u=u(θ)有單值反函數(shù)θ=θ(u)，則有，其中為最大似然估計(jì)．截尾樣本取樣：定時(shí)截尾樣本：抽樣n件產(chǎn)品，固定時(shí)間段t0內(nèi)記錄產(chǎn)品個(gè)體失效時(shí)間(0≤t1≤t2≤…≤tm≤t0)和失效產(chǎn)品數(shù)量．定數(shù)截尾樣本：抽樣n件產(chǎn)品，固定失效產(chǎn)品數(shù)量數(shù)量m記錄產(chǎn)品個(gè)體失效時(shí)間(0≤t1≤t2≤…≤tm)．結(jié)尾樣本最大似然估計(jì)：定數(shù)截尾樣本：設(shè)產(chǎn)品壽命服從指數(shù)分布X~e（θ），θ即產(chǎn)品平均壽命．產(chǎn)品ti時(shí)失效概率P{t=ti}≈f(ti)dti，壽命超過tm的概率，則，化簡得，由得：，其中s(tm)=t1+t2+…+tm+(n－m)tm，稱為實(shí)驗(yàn)總時(shí)間．定時(shí)截尾樣本：與定數(shù)結(jié)尾樣本討論類似有s(t0)=t1+t2+…+tm+(n－m)t0，，，．無偏性：估計(jì)量的存在且，則稱是的無偏估計(jì)量．有效性：與都是的無偏估計(jì)量，若，則較有效．相合性：設(shè)的估計(jì)量，若對于任意有，則稱是的相合估計(jì)量．置信區(qū)間：，和分別為置信下限和置信上限，則是的一個(gè)置信水平為置信區(qū)間，稱為置信水平，．正態(tài)樣本置信區(qū)間：設(shè)X1，X2，…，Xn是來自總體X~N(μ，σ2)的樣本，則有μ的置信區(qū)間：樞軸量WW分布a，b不等式置信水平置信區(qū)間其中zα/2為上α分位點(diǎn)θ置信區(qū)間的求解：1．先求樞軸量：即函數(shù)W=W(X1，X2，…，Xn；θ)，且函數(shù)W的分布不依賴未知參數(shù)．如上討論標(biāo)注2．對于給定置信水平，定出兩常數(shù)a，b使P{a<W<b}=，從而得到置信區(qū)間．(0－1)分布p的區(qū)間估計(jì)：樣本容量n>50時(shí)，若令，，，則有置信區(qū)間(，）．單側(cè)置信區(qū)間：若或，稱(，)或(，)是θ的置信水平為的單側(cè)置信區(qū)間．正態(tài)總體均值、方差的置信區(qū)間與單側(cè)置信限（置信水平為）待估其他樞軸量W的分布置信區(qū)間單側(cè)置信限一個(gè)正態(tài)總體μσ2已知，μσ2未知，σ2μ未知，兩個(gè)正態(tài)總體μ1－μ2σ12，σ22已知μ1－μ2σ12=σ22=σ2未知σ12/σ22μ1，μ2未知，單個(gè)總體X~N(μ，σ2)，兩個(gè)總體X~N(μ1，σ12)，Y~N(μ2，σ22)．第八章 假設(shè)實(shí)驗(yàn)定義：H0：原假設(shè)或零假設(shè)，為理想結(jié)果假設(shè)；H1：備擇假設(shè)，原假設(shè)被拒絕后可供選擇的假設(shè)．第Ⅰ類錯(cuò)誤：H0實(shí)際為真時(shí)，卻拒絕H0．第Ⅱ類錯(cuò)誤：H0實(shí)際為假時(shí)，卻接受H0．顯著性檢驗(yàn)：只對犯第第Ⅰ類錯(cuò)誤的概率加以控制，而不考慮第Ⅱ類錯(cuò)誤的概率的檢驗(yàn)．P{當(dāng)H0為真拒絕H0}≤α，α稱為顯著水平．拒絕域：取值拒絕H0．臨界點(diǎn)：拒絕域邊界．雙邊假設(shè)檢驗(yàn)：H0：θ=θ0，H1：θ≠θ0．右邊檢驗(yàn)：H0：θ≤θ0，H1：θ>θ0．左邊檢驗(yàn)：H0：θ≥θ0，H1：θ<θ0．正態(tài)總體均