空間向量法解決立體幾何問題數(shù)學專題二1、判斷直線、平面間的位置關系；(1)直線與直線的位置關系;(2)直線與平面的位置關系;(3)平面與平面的位置關系;2、求解空間中的角度；3、求解空間中的距離。立體幾何問題的類型利用空間向量解決立體幾何問題，是利用平面向量解決平面幾何問題的發(fā)展。主要變化是維數(shù)增加了，討論的對象由二維圖形變?yōu)槿S圖形。為了用空間向量解決立體幾何問題，首先必須把點、直線、平面的位置用向量表示出來。αn直線的方向向量和法向量2.平面的法向量如果表示向量n的有向線段所在的直線垂直于平面α,稱這個向量垂直于平面α,記作n⊥α,這時向量n叫做平面α的法向量.利用空間向量決定點、直線和平面在空間中的位置1、如何確定一個點在空間的位置？OP2、如何確定一條直線在空間的位置？3、如何確定一個平面在空間的位置？O因為方向向量與法向量可以確定直線和平面向量，所以我們可以利用直線的方向向量和平面的法向量表示空間直線、平面間的平行、垂直、夾角等位置關系。習題講解1、設分別是直線的方向向量，根據(jù)下列條件判斷直線的位置關系。習題講解2、設分別是平面的法向量，根據(jù)下列條件判斷平面的位置關系。例題講解定理：一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行。已知：直線和平面，其中，相交，，求證：第一步(設):設出平面法向量的坐標為n=(x,y,z).第二步(列):根據(jù)n·a=0且n·b=0可列出方程組第三步(解):把z看作常數(shù),用z表示x、y.第四步(取):取z為任意一個正數(shù)(當然取得越特殊越好),便得到平面法向量n的坐標.求平面的法向量的坐標的步驟2、在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,O是面AC的中心,求面OA1D1的法向量.AAABCDOA1B1C1D1zxy習題講解解：以A為原點建立空間直角坐標系O-xyz（如圖）,設平面OA1D1的法向量的法向量為n=(x,y,z),則O（1，1，0），A1（0，0，2），D1（0，2，2）由=（-1，-1，2），=（-1，1，2）得，解得取z=1得平面OA1D1的法向量的坐標n=(2,0,1).2、在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,O是面AC的中心,求面OA1D1的法向量.習題講解AAABCDOA1B1C1D1zxy二.立體幾何問題的類型及解法1.判定直線、平面間的位置關系(1)直線與直線的位置關系不重合的兩條直線a,b的方向向量分別為a,b.①若a∥b,即a=λb,則a∥b.②若a⊥b,即a·b=0,則a⊥babab例2已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=θ,求證:CC1⊥BDA1B1C1D1CBAD證明：設a,b,c,依題意有|a|=|b|，于是a–b∵=c(a–b)=c·a–c·b=|c|·|a|cosθ–|c|·|b|cosθ=0∴CC1⊥BD

例3棱長都等于2的正三棱柱ABC-A1B1C1,D,E分別是AC,CC1的中點,求證:(I)A1E⊥平面DBC1;(II)AB1∥平面DBC1A1C1B1ACBEDzxy解：以D為原點，DA為x軸，DB為y軸建立空間直角坐標系D-xyz.則A(-1,0,0),B(0,,0),E(1,0,1),A1(-1,0,2),B1(0,,2),C1(1,0,2).設平面DBC1的法向量為n=(x,y,z),則解之得，取z=1得n=(-2,0,1)(I)=-n,從而A1E⊥平面DBC1(II),而n=-2+0+2=0AB1

∥平面DBC1(3)平面與平面的位置關系平面α的法向量為n1,平面β的法向量為n2

n1n1n2

n2①若n1∥n2,即n1=λn2,則α∥β②若n1⊥n2,即n1·n2=0,則α⊥ββαβα

證明:以A為原點建立如圖所示的的直角坐標系A-xyz,設正方體的棱長為2,則E(2,0,1),A1(0,0,2),F(1,2,0),D(0,2,0),于是設平面AED的法向量為n1=(x,y,z)得解之得取z=2得n1=(-1,0,2)同理可得平面A1FD的法向量為n2=(2,0,1)∵n1·n2=-2+0+2=0∴面AED⊥面A1FD2.求空間中的角(1)兩異面直線的夾角利用向量法求兩異面直線所成的夾角,不用再把這兩條異面直線平移,求出兩條異面直線的方向向量,則兩方向向量的夾角與兩直線的夾角相等或互補,我們僅取銳角或直角就行了.(2)直線與與平面所成的角若n是平面α的法向量,a是直線L的方向向量,則L與α所成的角θ=-<a,n>或θ=<a,n>-(下圖).

naa

于是,因此θθnαα例6正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長為a,高為，求AC1與側面ABB1A1所成的角zxyC1A1B1ACBO解:建立如圖示的直角坐標系,則A(,0,0),B(0,,0)A1(,0,).C(-,0,)設面ABB1A1的法向量為n=(x,y,z)由得，解得，取y=,得n=(3,,0)而∴∴（3）二面角設n1、n2分別是二面角兩個半平面α、β的法向量，由幾何知識可知，二面角α-L-β的大小與法向量n1、n2夾角相等（選取法向量豎坐標z同號時相等）或互補（選取法向量豎坐標z異號時互補），于是求二面角的大小可轉化為求兩個平面法向量的夾角，這樣可避免了二面角的平面角的作圖麻煩.n1n1n2n2例7在四棱錐S-ABCD中∠DAB=∠ABC=90°，側棱SA⊥底面AC，SA=AB=BC=1，AD=2，求二面角A-SD-C的余弦值.BCzxyABCDS解：建立如圖所示的空間直角坐標系O-xyz，則B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），S（0，0，1）.設平面SCD的法向量n1=(x,y,z),則由

得

n1=(1,1,2).而面SAD的法向量n2=(1,0,0).于是二面角A-SD-C的大小θ滿足

∴二面角A-SD-C的余弦值為.3.求解空間中的距離(1)異面直線間的距離兩條異面直線間的距離也不必尋找公垂線段,只需利用向量的正射影性質直接計算.如圖,設兩條異面直線a、b的公垂線的方向向量為n,這時分別在a、b上任取A、B兩點,則向量在n上的正射影長就是兩條異面直線a、b的距離.∴

即兩異面直線間的距離等于兩異面直線上分別任取兩點的向量和公垂線方向向量的數(shù)量積的絕對值與公垂線的方向向量模的比值.nabAB例8在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,求異面直線AC1與BD間的距離.zxyABCDD1C1B1A1解:建立如圖所示的空間直角坐標系A-xyz,,則A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),C1(1,1,1),設異面直線AC1與BD的公垂線的方向向量n=(x,y,z),則由,得

n=(-1,-1,2).

∵,∴異面直線AC1與BD間的距離(2)點到平面的距離A為平面α外一點(如圖),n為平面α的法向量,過A作平面α的斜線AB及垂線AH.

==.于是，點到平面的距離等于平面內外兩點的向量和平面的法向量的數(shù)量積的絕對值與平面的法向量模的比值.nABHαθ例9在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=,AC=BC=1,∠ACB=90°,求B1到面A1BC的距離.zxyCC1A1B1AB解:以C為原點建立空間直角坐標系C-xyz,則C(0,0,0),A1(1,0,),B(0,1,0),B1(0,1,).設面A1BC的法向量n=(x,y,z),由得

n=(-,0,1).

∵,∴或∵,∴或∵,∴可見,選擇平面內外兩點的向量時,與平面內的點選擇無關.會求了點到平面的距離,直線到平面、平面到平面間的距離都可轉化為求點到平面的距離來求.例10四棱錐P-ABCD的底面ACBD是菱形,AB=4,∠ABC=60°,側棱PA⊥底面AC且PA=4,E是PA的中點,求PC與平面BED間的距離.xzyPBEADCF解:以A為原點、AB為x軸、△ACD中CD邊上的高AF為y軸、AP為z軸建立空間直角坐標系,則F為CD的中點,于是A(0,0,0),B(4,0,0),F(0,2,0),C(2,2,0),D(-2,2,0),P(0,0,4),E(0,0,2).設面BED的法向量n=(x,y,z),由得