高中數(shù)學(xué)課件球的體積和表面積第一頁，共四十三頁，2022年，8月28日1.通過球的體積和表面積的計(jì)算,了解球的體積和表面積公式.2.會(huì)利用球的體積和表面積公式解決實(shí)際中的問題.第二頁，共四十三頁，2022年，8月28日球的體積和表面積設(shè)球的半徑為R,則球的體積V=______．表面積為S=______．4πR2第三頁，共四十三頁，2022年，8月28日1.“判一判”理清知識的疑惑點(diǎn)(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”).(1)決定球的大小因素是球的半徑.()(2)球面被經(jīng)過球心的平面截得的圓的半徑等于球的半徑.()(3)直徑為2的球的體積是直徑為1的球的體積的2倍.()第四頁，共四十三頁，2022年，8月28日提示：(1)正確.因?yàn)榍虻捏w積為只與球的半徑的立方有關(guān).(2)正確.球面被經(jīng)過球心的平面截得的圓叫做球的大圓，大圓的半徑等于球的半徑.(3)錯(cuò)誤.因?yàn)閮蓚€(gè)球的體積的比等于相應(yīng)的半徑的比的立方，故直徑為2的球的體積是直徑為1的球的體積的8倍.答案：(1)√(2)√(3)×第五頁，共四十三頁，2022年，8月28日2.“練一練”嘗試知識的應(yīng)用點(diǎn)(請把正確的答案寫在橫線上).(1)半徑為2的球的體積為________．(2)設(shè)M是球O的半徑OP的中點(diǎn)，分別過M，O作垂直于OP的平面，截球面得兩個(gè)圓面，則這兩個(gè)圓的面積之比為_______．(3)若一個(gè)幾何體的三視圖是三個(gè)直徑為4cm的圓，那么該幾何體的表面積為_______；體積為_______．第六頁，共四十三頁，2022年，8月28日【解析】(1)由答案：

(2)如圖作球的經(jīng)過球心的一個(gè)圓截面，設(shè)球的半徑為2R，則OM=R，所以MM′=

所以兩圓面積比為答案：第七頁，共四十三頁，2022年，8月28日(3)由該幾何體的三視圖為三個(gè)圓，所以該幾何體為球，直徑為4cm，所以球的表面積為4π×22=16π；體積為答案：16π第八頁，共四十三頁，2022年，8月28日一、球的體積與表面積探究：觀察球的體積與表面積公式，思考下面的問題(1)計(jì)算球的表面積與體積，關(guān)鍵需要確定哪個(gè)量？提示：要計(jì)算球的表面積和體積，關(guān)鍵是要確定球的半徑R.第九頁，共四十三頁，2022年，8月28日(2)若已知球的體積為V，則球的表面積S如何用V表示？提示：因?yàn)閂=πR3,所以因此第十頁，共四十三頁，2022年，8月28日(3)若兩球的半徑之比為R1∶R2，那么兩球的表面積之比及體積之比分別是多少？提示：第十一頁，共四十三頁，2022年，8月28日【探究提升】計(jì)算球的體積及表面積的兩點(diǎn)說明(1)球的體積和表面積都是關(guān)于半徑R的函數(shù)，因此求體積和表面積時(shí)，只需求出半徑即可.(2)確定一個(gè)球的條件是球心和球的半徑，已知球的半徑可以利用公式求它的表面積和體積；反過來已知體積或表面積也可以求其半徑．第十二頁，共四十三頁，2022年，8月28日二、球的截面探究1：用任何一個(gè)平面去截球所得的截面是什么形狀？提示：用任何一個(gè)平面去截球，所得的截面是一個(gè)圓面.探究2：球心和截面圓圓心的連線與截面有何關(guān)系？提示：球心和截面圓圓心的連線垂直于截面.探究3：若球的半徑為R，截面圓半徑為r，則球心到截面的距離d是多少？提示：第十三頁，共四十三頁，2022年，8月28日【探究提升】用一個(gè)平面去截球，對所得截面的三點(diǎn)說明(1)當(dāng)截面過球心時(shí),截面圓的半徑即為球的半徑；當(dāng)截面不過球心時(shí),截面圓的半徑都小于球的半徑.(2)球的截面是圓面而不是圓,注意圓面與圓是兩個(gè)不同的概念.(3)球的截面在解決球的有關(guān)計(jì)算問題中起著關(guān)鍵的作用，要注意球的半徑與截面圓半徑的關(guān)系．第十四頁，共四十三頁，2022年，8月28日類型一球的體積和表面積的計(jì)算嘗試解答下面的問題，歸納求球的表面積及體積的策略.1.若球的體積擴(kuò)大到原來的27倍，則它的表面積擴(kuò)大到原來的()A.3倍B.3倍C.9倍D.9倍第十五頁，共四十三頁，2022年，8月28日2.(2013·寧德高一檢測)一平面截一球得到直徑是6cm的圓面，球心到這個(gè)平面的距離是4cm，則該球的體積為()3.三個(gè)球的半徑之比為1∶2∶3，那么最大的球的體積是另外兩個(gè)球的體積和的_______倍，最大球的表面積是另外兩個(gè)球的表面積和的________.第十六頁，共四十三頁，2022年，8月28日【解題指南】1.求出半徑擴(kuò)大的倍數(shù)，根據(jù)表面積公式，得出表面積擴(kuò)大的倍數(shù).2.根據(jù)球半徑、截面圓半徑和球心到截面的距離構(gòu)成直角三角形，可求得球的半徑，即可求得體積.3.根據(jù)球的半徑之比，設(shè)出球的半徑，表示出體積和表面積，從而判斷出它們之間的關(guān)系.第十七頁，共四十三頁，2022年，8月28日【解析】1.選C.因?yàn)轶w積擴(kuò)大到原來的27倍，所以r變?yōu)?r，所以它的表面積擴(kuò)大為原來的9倍.2.選C.因?yàn)榍虬霃?、截面圓半徑和球心到截面的距離構(gòu)成一個(gè)直角三角形，所以球半徑為=5(cm)，所以球的體積為第十八頁，共四十三頁，2022年，8月28日3.設(shè)三個(gè)球的半徑分別為r,2r,3r，則所以S1=4πr2,S2=4π(2r)2=16πr2，S3=4π(3r)2=36πr2，所以答案：3第十九頁，共四十三頁，2022年，8月28日【技法點(diǎn)撥】求球的體積與表面積的策略(1)要求球的體積或表面積,必須知道半徑R或者通過條件能求出半徑R,然后代入體積或表面積公式求解.(2)半徑和球心是球的最關(guān)鍵要素,把握住了這兩點(diǎn),計(jì)算球的表面積或體積的相關(guān)題目也就易如反掌了.第二十頁，共四十三頁，2022年，8月28日【變式訓(xùn)練】把半徑分別為6cm,8cm,10cm的三個(gè)鐵球熔成一個(gè)大鐵球，這個(gè)大鐵球的半徑為()A.3cmB.6cmC.8cmD.12cm【解析】選D.設(shè)大鐵球的半徑為r，則：解得r=12.第二十一頁，共四十三頁，2022年，8月28日類型二與球有關(guān)的組合體的表面積與體積的計(jì)算通過解答下面的問題，體會(huì)與球有關(guān)的組合體問題，并總結(jié)求解該類問題的技巧.1.(2012·廣東高考)某幾何體的三視圖如圖所示，它的體積為()A.72πB.48πC.30πD.24π第二十二頁，共四十三頁，2022年，8月28日2.一個(gè)四面體的所有棱長都是，四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，則此球的表面積為()A.3πB.4πC.3πD.6π3.(2012·天津高考)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示(單位：m)，則該幾何體的體積為______m3.第二十三頁，共四十三頁，2022年，8月28日【解題指南】1.根據(jù)三視圖準(zhǔn)確判斷出此幾何體的形狀，是解決本題的關(guān)鍵.顯然本題幾何體是由一個(gè)半球和一個(gè)倒立的圓錐組成的組合體.2.將四面體補(bǔ)成一個(gè)正方體，該正方體的體對角線長為球的直徑.3.由三視圖正確判斷出組合體的圖形是關(guān)鍵.第二十四頁，共四十三頁，2022年，8月28日【解析】1.選C.由三視圖可知該組合體由一個(gè)半球和一個(gè)倒立的圓錐組成.2.選A.以四面體側(cè)棱為正方體的面對角線構(gòu)造正方體，則正方體內(nèi)接于球，正方體的棱長為1，體對角線長為球的直徑.所以2R=，S球=4πR2=3π.第二十五頁，共四十三頁，2022年，8月28日3.該組合體的上面是一個(gè)長、寬、高分別為6，3，1的長方體，下面是兩個(gè)半徑為的相切的球體，所以所求的體積是：V=2V球+V

長方體=2×π×()3+6×3×1=18+9π.答案：18+9π第二十六頁，共四十三頁，2022年，8月28日【互動(dòng)探究】題3條件不變，求該組合體的表面積.【解析】該組合體的上面是一個(gè)長、寬、高分別為6，3，1的長方體，下面是兩個(gè)半徑為的相切的球體，所以所求的表面積為S=2S球+S長方體=2×4π×()2+2(6×3+6×1+1×3)=54+18π.第二十七頁，共四十三頁，2022年，8月28日【技法點(diǎn)撥】解決與球有關(guān)的組合體問題的解題技巧(1)與球有關(guān)的組合體問題：解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)位置，明確有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并且作出合適的截面圖.(2)球與旋轉(zhuǎn)體的組合，通過作它們的軸截面解題.(3)球與多面體的組合，通過多面體的一條側(cè)棱和球心、切點(diǎn)或接點(diǎn)作出截面圖.第二十八頁，共四十三頁，2022年，8月28日提醒：解決該類問題，關(guān)鍵是作出截面圖形，使相關(guān)元素盡可能多地落在截面圖形內(nèi).第二十九頁，共四十三頁，2022年，8月28日類型三有關(guān)球的切、接問題試著解答下列與球的切、接有關(guān)的題目,總結(jié)常見的幾何體與球的切、接問題的解決策略.1.設(shè)長方體的長、寬、高分別為2a,a,a,其頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上,該球的表面積為(

)A.3πa2 B.6πa2 C.2πa2 D.24πa22.一個(gè)半球內(nèi)切于圓錐,半球的底面在圓錐底面內(nèi).求證：圓錐側(cè)面積與半球面面積之比等于圓錐體積與半球體積之比.第三十頁，共四十三頁，2022年，8月28日【解題指南】1.長方體的體對角線等于其外接球的直徑.2.設(shè)出圓錐的底面半徑,母線長及球的半徑,分別表示出面積和體積,計(jì)算其比值判斷即可.第三十一頁，共四十三頁，2022年，8月28日【解析】1.選B.由長方體的長,寬,高分別為2a,a,a，則長方體的體對角線為與外接球的直徑相等，故2R=a,S球=4πR2=6πa2.2.設(shè)圓錐的底面半徑為R，球半徑為r,圓錐的母線長為l,則S圓錐側(cè)=×2πR·l,S半球=2πr2,V圓錐=×πR2×V半球=πr3,S圓錐側(cè)∶S半球=V圓錐∶V半球=所以S圓錐側(cè)∶S半球=V圓錐∶V半球.第三十二頁，共四十三頁，2022年，8月28日【互動(dòng)探究】若題1中的長方體改為“三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且其長為2a,a,a”，能由本例1的解法得到此三棱錐的外接球的體積嗎？【解析】能.由題意，此三棱錐的外接球與以三條兩兩垂直的側(cè)棱為棱的長方體的外接球相同，故第三十三頁，共四十三頁，2022年，8月28日【技法點(diǎn)撥】常見的幾何體與球的切、接問題的解決策略(1)處理有關(guān)幾何體外接球或內(nèi)切球的相關(guān)問題時(shí)，要注意球心的位置與幾何體的關(guān)系，一般情況下，由于球的對稱性，球心總在幾何體的特殊位置，比如中心、對角線的中點(diǎn)等.(2)解決球與幾何體的切、接問題的關(guān)鍵是根據(jù)“切點(diǎn)”和“接點(diǎn)”，作出軸截面圖，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題來計(jì)算.第三十四頁，共四十三頁，2022年，8月28日(3)具體解題流程第三十五頁，共四十三頁，2022年，8月28日【拓展延伸】與球有關(guān)的組合體中的數(shù)量關(guān)系(1)長方體內(nèi)接于球：(R為球的半徑，a,b,c為長方體的長、寬、高).(2)正方體內(nèi)接于球：2R=a(R為球的半徑，a為正方體的棱長).(3)球內(nèi)切于正方體：2R=a(R為球的半徑，a為正方體的棱長).(4)球與正方體的每條棱都相切：2R=a(R為球的半徑，a為正方體的棱長).第三十六頁，共四十三頁，2022年，8月28日【變式訓(xùn)練】正方體的內(nèi)切球和外接球的半徑之比為()【解析】選D.設(shè)正方體的棱長為a,則內(nèi)切球半徑為,外接球半徑為所以半徑之比為1∶=∶3.第三十七頁，共四十三頁，2022年，8月28日1.如果兩個(gè)球的表面積之比為4∶9,那么這兩個(gè)球的體積之比為(

)A.8∶27

B.2∶3

C.4∶9

D.2∶9【解析】選A.因?yàn)镾1∶S2=4∶9,所以r1∶r2=2∶3,所以V1∶V2=8∶27.第三十八頁，共四十三頁，2022年，8月28日2.將棱長為2的正方體木塊削成一個(gè)體積最大的球,則這個(gè)球的表面積為(

)A.2π B.4π C.8π D.16π【解析】選B.由題意知,此球是正方體的內(nèi)切球,根據(jù)其幾何特征知,此球的直徑與正方體的棱長是相等的,故可得球的直徑為2,再用表面積