三角形中位線中的常見

輔助線修訂版IBMTstandardizationoffice【IBMT5AB-IBMT08-IBMT2C-ZZT18】三角形中位線中的常見輔助線知識梳理知識點一中點、與中點有關(guān)的概念三角形中線的定義：三角形頂點和對邊中點的連線等腰三角形底邊的中線三線合一（底邊的中線、頂角的角平分線、底邊的高重合）三角形中位線定義：連結(jié)三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線．三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊并且等于它的一半．中位線判定定理：經(jīng)過三角形一邊中點且平行于另一邊的直線必平分第三邊．直角三角形斜邊中線：直角三角形斜邊中線等于斜邊一半斜邊中線判定：若三角性一邊上的中線等于該邊的一半，則這個三角形是直角三角二、與中點有關(guān)的輔助線方法一：倍長中線

解讀：凡是出現(xiàn)中線或類似中線的線段，都可以考慮倍長中線，倍長中線的目的可以旋轉(zhuǎn)等長度的線段，從而達(dá)到將條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化的目的。方法二：構(gòu)造中位線解讀：凡是出現(xiàn)中點，或多個中點，都可以考慮取另一邊中點，或延長三角形一邊，從而達(dá)到構(gòu)造三角形中位線的目的。方法三：構(gòu)造三線合一解讀：只要出現(xiàn)等腰三角形，或共頂點等線段，就需要考慮構(gòu)造三線合一，從而找到突破口

其他位置的也要能看出其他位置的也要能看出方法四：構(gòu)造斜邊中線解讀：只要出現(xiàn)直角三角形，或直角，則考慮連接斜邊中線段，第一可以出現(xiàn)三條等線段，第二可以出現(xiàn)兩個等腰三角形，從而轉(zhuǎn)化線段關(guān)系。其他位置的也要能看出其他位置的也要能看出常見考點構(gòu)造三角形中位線考點說明：①凡是出現(xiàn)中點，或多個中點，都可以考慮取四邊形對角線中點、等腰三角形底邊中點、直角三角形斜邊中點或其他線段中點;②延長三角形一邊，從而達(dá)到構(gòu)造三角形中位線的目的?！邦}中有中點，莫忘中位線”．與此很相近的幾何思想是“題中有中線，莫忘加倍延”，這兩個是常用幾何思想，但注意倍長中線的主要目的是通過構(gòu)造三角形全等將分散的條件集中起來．平移也有類似作用．典型例題【例1】已知：AD是八ABC的中線，AE是八ABD的中線，且AB=BD，求證：AC=2AE-舉一反三1.如右下圖，在1.如右下圖，在AABC中，若ZB=2ZC，AD1BC，E為BC邊的中點.求證:AB=2DE-2.在^ABC2.在^ABC中，ZACB=90。,AC=2BC，以BC為底作等腰直角力，E是CD的中點,求證：AE1EB且AE=BE.【例2】已知四邊形ABCD的對角線AC=BD，E【例2】已知四邊形ABCD的對角線AC=BD，E、F分別是AD、BC的中點，連結(jié)EF分別交AC、BD于M、N，求證：ZAMN=ZBNM-舉一反三1.已知四邊形ABCD中，AC<BD，E、F分別是AD、BC的中點EF交AC于M；EF交BD于N，AC和BD交于G點.求證：ZGMN>ZGNM?連結(jié)N．2.已知：在AABC中，BC>AC，動點D繞AABC的頂點A逆時針旋轉(zhuǎn)，且AD=BCDC.過AB、DC的中點E、F作直線，直線EF與直線AD、BC分別相交于點M、(1)如圖1,當(dāng)點D旋轉(zhuǎn)至UBC的延長線上時，點N恰好與點F重合，取AC的中點H,連結(jié)HE、HF，求證： ZAMF=/BNE(2)當(dāng)點D旋轉(zhuǎn)到圖2中的位置時，ZAMF與/BNE有何數(shù)量關(guān)系？請證明.【例3】如圖，在五邊形ABCDE中，/ABC=ZAED=90。，/BAC=ZEAD，F(xiàn)為CD的中點.求證：BF=EF.舉一反三1.如圖所示，在三角形ABC中，D為AB的中點，分別延長CA、CB到點E、F,使DE=DF.過E、F分別作直線CA、CB的垂線，相交于點P,設(shè)線段PA、PB的中點分別為M、N.求證：（1）ADEM0AFDN;（2）/PAE=ZPBF.

P是邊.已知：在AABC中，分別以AB、AC為斜邊作等腰直角三角形ABM，和CANP是邊BC的中點.求證：PM=PN.如圖所示，已知l^ABD和AACE都是直角三角形，且/ABD=ZACE=90。，連接DE，設(shè)M為DE的中點.(1)求證MB=MC.(2)設(shè)/BAD=ZCAE，固定RtAABD，讓RtAACE移至圖示位置，此時MB=MC是否成立？請證明你的結(jié)論．DABE

DABE.在4ABC中，AB=AC,分別以AB和AC為斜邊，向4ABC的外側(cè)作等腰直角三角形，M是BC邊中點中點，連接MD和ME(1)如圖1所示，若AB二AC，則MD和ME的數(shù)量關(guān)系是(2)如圖2所示，若ABWAC其他條件不變，則MD和ME具有怎樣的數(shù)量和位置關(guān)系？請給出證明過程；(3)在任意AABC(3)在任意AABC中，仍分別以AB和AC為斜邊，是BC的中點，連接MD和忖￡,請在圖3中補(bǔ)全圖形AB M B M向4人8。的內(nèi)側(cè)作等腰直角三角形，M，并直接判斷4MED的形狀.圖2圖圖2【例4】以AABC的兩邊AB、AC為腰分別向外作等腰RtAABD和等腰RtAACE，/BAD=ZCAE=90。.連接DE，M、N分別是BC、DE的中點.探究：AM與DE的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系．（1）如圖①當(dāng)AABC為直角三角形時，AM與DE的位置關(guān)系是；線段AM與DE的數(shù)量關(guān)系是；（2）將圖①中的等腰RtAABD繞點A沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)0。（0<e<90）后，如圖②所示，(1)問中得到的兩個結(jié)論是否發(fā)生改變？并說明理由．舉一反三.(1)如圖1,BD、CE分別是△ABC的外角平分線，過點A作AD1BD、AE1CE，垂足分別為D、E，連接DE.求證：DE//BC,DE=1(AB+BC+AC)2(2)如圖2,BD、CE分別是△ABC的內(nèi)角平分線，其他條件不變;

（3）圖3，為△ABC外角（3）圖3，為△ABC外角的內(nèi)角平分線，CE為△ABC的平分線，其他條件不變。則在圖2、圖3兩種情況下，DE、BC還平行嗎？它與△ABC三邊又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請你寫出猜測，并給與證明．.已知AABC中，ZACB=90。，AB邊上的高線CH與AABC的兩條內(nèi)角平分線AM、BN分別交于P、Q兩點PM、QN的中點分別為E、F.求證：EF〃AB.AAP、【例5】等腰梯形ABCD中，AB//CD，AC=BD，AC與BD交于點O，ZAOB=60。P、Q、R分別是OA、BC、OD的中點，求證：APQR是正三角形.舉一反三.AD是AABC的中線，F(xiàn)是AD的中點，BF的延長線交AC于E.求證：AE=1AC.3ABDC【例6】如左下圖，在梯形ABCD中，AB/CD，E、F分別是AC>BD中點.求證:EF//AB，且EF=1(AB-CD).2舉一反三.在課外小組活動時，小慧拿來一道題（原問題）和小東，小明交流原問題：如圖1，已知AABC,ZACB=90。，ZABC=45。,分別以AB,BC為邊向外作AABD和ABCE,且DA=DB,EB=EC,ZADB=ZBEC=90。,連接DE交AB于點F,探究線段DF與EF的數(shù)量關(guān)系。小慧同學(xué)的思路是：過點0作DG1AB于G，構(gòu)造全等三角形，通過推理使問題得解小東同學(xué)說：我做過一道類似的題目，不同的是， ZABC=30。，ZADB=ZBEC=60。小明同學(xué)經(jīng)過合情推理，提出一個猜想，我們可以把問題推廣到一般情況。請你參考小慧同學(xué)的思路，探究并解決這三位同學(xué)提出的問題：（1）寫出原問題中DF與EF的數(shù)量關(guān)系（2）如圖2，若ZABC=30。，ZADB=ZBED=60。，原問題中的其他條件不變，你在（1）中得到的結(jié)論是否發(fā)生變化？請寫出你的猜想并加以證明；

(3)如圖3,若ZADB=ZBEC=2ZABC,原問題中的其他條件不變，你在(1)中得到的結(jié)論是否發(fā)生變化？請寫出你的猜想并加以證明。圖1圖1圖圖1 圖2真題演練1.已知：△AOB真題演練1.已知：△AOB中，AB=OB=2,△COD中，CD=OC=3,4ABO=NDCO.連接AD、BC、，點M、N、P分別為AO、DO、BC的中點.(1)如圖1,若A、O、C三點在同一直線上，且NABO=60，則△PMN的形狀是此時ADBC此時ADBC(2)如圖2,若A、O、C三點在同一直線上，且NABO=2a，證明△PMNs△bao，并計算a計算a的值(用含a的式子表示)；(3)在圖2中，固定△AOB,將△COD繞點O旋轉(zhuǎn)，直接寫出PM的最大值.2.如圖，D是4ABC中AB邊的中點，4BCE和4ACF都是等邊三角形，M、N分別是CE、CF的中點.(1)求證：4DMN是等邊三角形；(2)連接EF,Q是EF中點，CPLEF于點P.求證：DP=DQ.同學(xué)們，如果你覺得解決本題有困難，可以閱讀下面兩位同學(xué)的解題思路作為參考：小聰同學(xué)發(fā)現(xiàn)此題條件中有較多的中點，因此考慮構(gòu)造三角形的中位線，添加出了一些輔助線；小慧同學(xué)想到要證明線段相等，可通過證明三角形全等，如何構(gòu)造出相應(yīng)的三角形呢？她考慮將4NCM繞頂點旋轉(zhuǎn)到要證的對應(yīng)線段的位置，由此猜想到了所需構(gòu)造的三角形的位置.3.在4ABC中PE，3.在4ABC中PE，AB于點E，PFLAC于點F.（1）如圖1，當(dāng)AB=AC時判斷的DE與DF的數(shù)量關(guān)系，直接寫出你的結(jié)論;D為BC邊的中點，在三角形內(nèi)部取一點P,使得NABP=NACP.過點P作（2）如圖2，當(dāng)ABwAC，其它條件不變時，1）中的結(jié)論是否發(fā)生改變？請說明理由．ABDC圖圖1 圖2 圖34.探究問題：已知AD、BE分別為4ABC的邊BC、AC上的中線，且AD、BE交于點O.（1）4ABC為等邊三角形，如圖1,則AO:OD=；（2）當(dāng)小明做完（1）問后繼續(xù)探究發(fā)現(xiàn)，若4ABC為一般三角形（如圖2），⑴中的結(jié)論仍成立，請你給予證明.（3）運用上述探究的結(jié)果，解決下列問題：如圖3,在4ABC中，點E是邊AC的中點，人口平分/8人^AD^BE于點F,若AD二BE=4.求：4ABC的周長.AAAA5.如圖1,在四邊形ABCD中，AB=CD,E、F分別是BC、AD的中點，連結(jié)EF并延長，分別與 BA.CD的延長線交于點M、N,則/BME=ACNE（不需證明）.（溫馨提示：在圖1中，連結(jié)BD，取BD的中點H，連結(jié)HE、HF，根據(jù)三角形中位線定理，證明HE=HF，從而Z1=/2，再利用平行線性質(zhì)，可證得/BME=/CNE.）問題一：如圖2,在四邊形ADBC中，AB與CD相交于點O,AB=CD,E、F分別是BC、AD的中點，連結(jié)EF，分別交DC、AB于點M、N，判斷^OMN的形狀，請直接寫出結(jié)論．問題二：如圖3,在^ABC中，AC>AB,D點在AC上，AB=CD,E、F分別是BC、AD的中點，連結(jié)EF并延長，與BA的延長線交于點G，若/EFC=60°連結(jié)GD，判斷△AGD的形狀并證明.

ME圖1圖2圖ME圖1圖2圖36.我們知道三角形三條中線的交點叫做三角形的重心．經(jīng)過證明我們可得三角形重心具備下面的性質(zhì)：重心到頂點的距離與重心到該頂點對邊中點的距離之比為2:1．請你用備下面的性質(zhì)：此性質(zhì)解決下面的問題.已知：如圖，點。為等腰直角三角形短。的重心，ZCAB=90。，直線m過點O,過A、B、C三點分別作直線m的垂線，垂足分別為點D、E、F.

（1）當(dāng)直線m與BC平行時（如圖1）,請你猜想線段BE、CF和AD三者之間的數(shù)量關(guān)系并證明；（2）當(dāng)直線m繞點O旋轉(zhuǎn)到與BC不平行時，分別探究在圖2、圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否還成立？若成立，請給予證明；若不成立，線段AD、BE、CF三者之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的結(jié)論，不需證明．7.以平面上一點O為