2017-2018學(xué)年江蘇省南京市玄武區(qū)高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、填空題（本大題共14小題，每題5分，共70分）（5分）拋物線丫2=4乂的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.（5分）若f（x）=xsinx則f（x）是^TOC\o"1-5"\h\z（5分）直線 的傾斜角是 ^（5分）若x,y滿足條件 的最大值為 ^（5分）經(jīng)過點(diǎn)P（-2,3）,且與直線x+2y-1=0平行的直線的方程是 .（5分）雙曲線-丫2=1的頂點(diǎn)到其漸近線的距離等于 ^（5分）若直線丫=乂^是函數(shù)丫=?*圖象的一條切線，則實(shí)數(shù)立勺值為 .（5分）函數(shù) 的最大值與最小值的和為^（5分）已知橢圓 的左，右焦點(diǎn)分別為工、F2,過點(diǎn)F/乍乂軸的垂線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，若F]F2=AB,則橢圓的離心率為 ^（5分）過點(diǎn)A（1,1）作圓。-2）2+（y-3）2=1的切線1則切線1的方程為^（5分）已知拋物線M:y2=2px8>0）的準(zhǔn)線方程是x=-1,若M上一點(diǎn)P到它的焦點(diǎn)的距離是5,則點(diǎn)P到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離是 ^（5分）若直線乂-丫+0=0與曲線 有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則m的取值范圍是^（5分）已知函數(shù)f（x）=mx2+1nx-2x在定義域內(nèi)是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)m范圍為^（5分）已知函數(shù)二￡一"‘>13,若方程f（x）-a=0有三個(gè)不相等的[x+1,工<0實(shí)根，則a的取值范圍是 .二、解答題（不大題共6小題，共90分）第1頁（共20頁）(14分)已知函數(shù)￡(乂)=lnx-ax,2^K且1(1)=0.(1)求函數(shù)￡5)的解析式；(2)求函數(shù)￡(乂)的極值.(14分)已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A(4,1),B(-6,3),C(3,0).(1)求AB邊上的高所在直線的方程；(2)求4ABC外接圓的方程.(14分)如圖，有一塊鋼板其邊緣由一條線段AB及一段拋物線弧組成，其中拋物線弧所在曲線的方程為y=2x2-2,計(jì)劃將此鋼板切割成等腰梯形ABCD的形狀(A,B,C,D四點(diǎn)都在拋物線上).(1)若設(shè)點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為x(0vxv1),試求梯形面積S關(guān)于乂的函數(shù)關(guān)系式;(2)求梯形面積的最大值.(16分)已知圓C的圓心在直線x-y-1=0上，且圓C與直線x-2y+5=0相切于點(diǎn)P(1,3).(1)求圓C的方程；(2)若直線3x-y+a=0與圓C相交于A,B兩點(diǎn)，CA^CB,求實(shí)數(shù)2的值.(16分)在平面直角坐標(biāo)系xoy中，點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,丫2)在拋物線x2=4y上，x1x2=-4.(1)證明：直線人8過拋物線的焦點(diǎn).(2)過A,B分別作拋物線的切線，證明切線的交點(diǎn)在一條定直線上.(16分)設(shè)f(x)=aex-a-2x,?是自然對(duì)數(shù)的底，a^R,x^R.(1)若f(x)在(0,+8)上是增函數(shù)，求@的最小值；(2)若f(x)〉3-3ex對(duì)一切乂^(-8,0］成立，求2的取值范圍.第2頁(共20頁)第3頁（共20頁）2017-2018學(xué)年江蘇省南京市玄武區(qū)高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、填空題（本大題共14小題，每題5分，共70分）（5分）拋物線丫2=4乂的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 （1,0）.【解答】解：???拋物線y2=4x是焦點(diǎn)在x軸正半軸的標(biāo)準(zhǔn)方程，p=2???焦點(diǎn)坐標(biāo)為：（1,0）故答案為：（1,0）（5分）若f（x）=xsinx貝11（*）是sin+xcosx.【解答】解：:f（x）=xsinx??f（x）=sin+xcosx故答案為sin+xcosx（5分）直線 的傾斜角是30°.【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)直線 的傾斜角為a而直線 變形可得：y=x-,其斜率k=,則有tana=,又由0°＜。＜180°,則a=30°故答案為：30°.（5分）若x,y滿足條件工+產(chǎn)匚則工心+元勺最大值為【解答】解：畫出％y滿足約束條件的平面區(qū)域，如圖示：第4頁（共20頁）由卞'，解得A(1,1),|x+y=1 2 2由2=2乂+丫可知直線過A(1,5)時(shí)，2最大，得：y=2H+M故答案為：怖.(5分)經(jīng)過點(diǎn)P(-2,3),且與直線x+2y-1=0平行的直線的方程是x+2y-4=0.【解答】解：設(shè)經(jīng)過點(diǎn)P(-2,3),且與直線x+2y-1=0平行的直線的方程是x+2y+c=0,把P(-2,3)代入，得：-2+6+c=0,解得c=-4.???經(jīng)過點(diǎn)P(-2,3),且與直線x+2y-1=0平行的直線的方程是x+2y-4=0.故答案為：x+2y-4=0.(5分)雙曲線 -y2=1的頂點(diǎn)到其漸近線的距離等于【解答】解：雙曲線,一秒=1的頂點(diǎn)坐標(biāo)(2,0),其漸近線方程為y=±廣4 2所以所求的距離為下」=答.故答案為：得.第5頁(共20頁)(5分)若直線丫=乂^是函數(shù)丫=?*圖象的一條切線，則實(shí)數(shù)b的值為-1.【解答】解：???y=e\???y'邛設(shè)切點(diǎn)為P(x0,ex。)，則過P的切線方程為y-ex0=ex0(x-x。)，整理，得y=xex。-ex0x0+ex0,?直線是y=2x+b是曲線y=ex+x的一條切線，?ex0=1,x0=0,;?b=-1.故答案為：-1.(5分)函數(shù) 的最大值與最小值的和為16.【解答】解：???函數(shù) ，函數(shù)f(x)=x3-3x2+2,.?.f(x)=3x2-6x=3x(x-2),令16)=0,又x0-2,］，解得x=0或x=2.xC(-2,0),16)>0,函數(shù)是增函數(shù)，xC(0,2),16)<0,函數(shù)是減函數(shù)；xC(2,),16)>0,函數(shù)是增函數(shù)；f(-2)=-18.f(0)=2,f(2)=-2,f()=-,最小值為f(-2).最大值為：f(0),??函數(shù)￡(x)在區(qū)間［-2,/上最大值與最小值的和：f(0)+f(-2)=-16.故答案為：-16.第6頁(共20頁)(5分)已知橢圓與+*1(￡>￡>0)的左，右焦點(diǎn)分別為F1、F2,過點(diǎn)F/乍乂軸的垂線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，若F1F2=AB,則橢圓的離心率為—得TOC\o"1-5"\h\z2 2【解答】解：橢圓巳+勺1匕>匕>0)的左，右焦點(diǎn)分別為F1、F2,過點(diǎn)F/、xab軸的垂線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，若F1F2=AB,可知橢圓的通經(jīng)等于焦距，即 ，可得： ，即e2+eT=0,eC(0,1),解得e=.故答案為： ^10.(5分)過點(diǎn)A(1,1)作圓。-2)2+(y-3)2=1的切線1則切線1的方程為x=1或3x-4y+1=0.【解答】解：如圖，當(dāng)切線1得斜率不存在時(shí)，切線方程為x=1;當(dāng)切線1得斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為y-1=k(x-1),即kx-y-k+1=0.由 ，解得k=,???切線方程為W，~7一?+『口，即3X-4丫+1=0.綜上，切線1的方程為x=1或3x-4y+1=0.故答案為：x=1或3x-4y+1=0.11.(5分)已知拋物線M:y2=2px8>0)的準(zhǔn)線方程是x=-1,若M上一點(diǎn)P第7頁(共20頁)到它的焦點(diǎn)的距離是5,則點(diǎn)P到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離是」立_.【解答】解：拋物線M:y2=2px8>0)的準(zhǔn)線方程是x=-1,可得口=2,所以丫2=4%點(diǎn)P到它的焦點(diǎn)的距離是5,可得P(4,±4).則點(diǎn)P到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離：：H^=4-F.故答案為：4.(5分)若直線乂-丫+0=0與曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則m的取值范圍是 (-3,3]U?3).【解答】解：因?yàn)?<9-y2<9,所IX0<x<3.所以曲線曲線 等價(jià)為x2+y2=9,(0<x<3),為圓的右半部分.由x-y+m=0得y=x+m,由圖象可知當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)(0,3)時(shí)，m=3.當(dāng)直線與圓相切時(shí)，圓心到直線的距離 ，即得m= ，結(jié)合圖形可知m=-3.有一個(gè)交點(diǎn)，m6(-3,3]時(shí)有一個(gè)交點(diǎn).故答案為：(-3,3]U{-3}.(5分)已知函數(shù)￡(x)=mx2+lnx-2x在定義域內(nèi)是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)m范圍為一m》.一.【解答】解：求導(dǎo)函數(shù)，可得￡'6)=2mx+1-2,x>0,第8頁(共20頁)函數(shù)￡6)=0*2+1皿-2乂在定義域內(nèi)是增函數(shù)，所以『6)〉0成立，所以21^+[-2>0,x>0時(shí)恒成立,所以/nK號(hào)-1產(chǎn)-1，所以-20<-1所以m〉?時(shí)，函數(shù)f。)在定義域內(nèi)是增函數(shù).故答案為 ^(5分)已知函數(shù) ，若方程f(x)-a=0有三個(gè)不相等的實(shí)根，則a的取值范圍是(2-21n21).【解答】解：由題意函數(shù) ，可知：x>0時(shí)，f(x)=ex-2,x—0,1n2)時(shí)，16)<0,函數(shù)是減函數(shù)，xC(1nZ+8)時(shí)，16)>0,函數(shù)是增函數(shù)，x=1n2函數(shù)￡6)取得極小值：2-21口2.xv0時(shí)，函數(shù)是增函數(shù)，f(0)=1.由關(guān)于x的方程f(x)-a=0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，可知實(shí)數(shù)@的取值范圍為(2-21n21).故答案為：(2-21n21)二、解答題(不大題共6小題，共90分)(14分)已知函數(shù)￡(x)=1nx-ax,@曰，且1(1)=0.第9頁(共20頁)(1)求函數(shù)￡。)的解析式；(2)求函數(shù)￡。)的極值.【解答】解：(1)y=f'(x)=l-a,??f‘(1)=1-a=0,\a=1.即f(x)=lnx-x;(2)令/。)=-1二0,解得x=1,??當(dāng)xC(0,1)時(shí)，16)>0,函數(shù)是增函數(shù)，當(dāng)xC(1,+8)時(shí)，f(x)〈0,函數(shù)是減函數(shù)，??當(dāng)x=1時(shí)，有極大值f(1)=-1.(14分)已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A(4,1),B(-6,3),C(3,0).(1)求AB邊上的高所在直線的方程；(2)求4ABC外接圓的方程.【解答］解：(□二?△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A(4,1),B(-6,3),C(3,0).?AB的斜率為 =-,?AB邊上的高所在直線的斜率為5,故AB邊上的高所在直線的方程為y-0=5(x-3),即5x-y-15=0.(2)設(shè)^ABC外接圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,由已知，點(diǎn)A(4,1),B(-6,3),C(3,0)滿足上述方程，分別代入方程，可得 ，解得：D=1,E=-9,F=-12,所求圓的方程為：x2+y2+x-9y-12=0.(14分)如圖，有一塊鋼板其邊緣由一條線段AB及一段拋物線弧組成，其中拋物線弧所在曲線的方程為y=2x2-2,計(jì)劃將此鋼板切割成等腰梯形ABCD的形狀(A,B,C,D四點(diǎn)都在拋物線上).(1)若設(shè)點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為x(0vxv1),試求梯形面積S關(guān)于乂的函數(shù)關(guān)系式;第10頁(共20頁)(2)求梯形面積的最大值.,4 S【解答】解：(1)令丫=2乂2-2=0,解得x=±1,故梯形的下底長為2,由梯形上底長為2七可得梯形的高為2-2x2,故梯形面積5=(2+2x)(2-2x2)=-2(x3+x2-x-1)(0vxv1),???梯形面積S關(guān)于乂的函數(shù)關(guān)系式5=-2(x3+x2-x-1)(0vxv1);(2)由(1)得：S’=2(3x2+2x-1)(0vxv1),令5'=0解得：乂=-1,或乂=,當(dāng)0vxv時(shí)，5&0,函數(shù)為增函數(shù)；當(dāng)vxv1時(shí)，520,函數(shù)為減函數(shù)；故當(dāng)x=時(shí)，5最大值為：.???梯形面積的最大值笑.27(16分)已知圓C的圓心在直線x-y-1=0上，且圓C與直線x-2y+5=0相切于點(diǎn)P(1,3).(1)求圓C的方程；(2)若直線3x-y+a=0與圓C相交于A,B兩點(diǎn)，CA^CB,求實(shí)數(shù)2的值.【解答】解：(1)設(shè)過切點(diǎn)P(1,3)且與乂-2丫+5=0垂直的直線為2x+y+m=0,則2+3+m=0,解得m=-5,??直線方程為2x+y-5=0;與x-y-1=0聯(lián)立，求得圓心為C(2,1),第11頁(共20頁),半徑r="2-1)，門-3)2—G??所求圓的方程為(X-2)2+(y-1)2=5;(2)設(shè)直線3x-y+a=0與圓C相交于A(叼yj、B(x2,y2)兩點(diǎn)，由，消去》整理得；10x2+(6a-10)x+a2-2a=0,?Xi+X2- ,xix2= ；又CA，CB,=0,即(x「2)(x2-2)+(y1-1)(y2-1)=0,.,.(Xi-2)(x2-2)+(3xJa-1)(3*2+2-1)=0,整理得10xF2+(3a-5)(xjx2)+a2-2a+5=0,??10x +(3a-5)x +a2-2a+5=0,化簡得a2+10a+10=0,解得a=-5+或a=-5- ;(16分)在平面直角坐標(biāo)系xoy中，點(diǎn)A(x1,yj,B(x2,丫2)在拋物線x2=4y上，x1x2=-4.(1)證明：直線人8過拋物線的焦點(diǎn).(2)過A,B分別作拋物線的切線，證明切線的交點(diǎn)在一條定直線上.【解答】證明：(1)設(shè)直線人8斜率存在時(shí)，設(shè)AB的方程為y=kx+b,則 ，整理得：x2-4kx-4b=0,..xF/Tb,由xf2=-4.?5=1,則直線人8的方程為y=kx+1,拋物線的焦點(diǎn)為F(0,1),??直線八8過橢圓的焦點(diǎn)F(0,1),當(dāng)直線AB的斜率為0時(shí)，x1=2,x2=-2,代入拋物線x2=4y,解得：y=1,第12頁(共20頁)則直線AB為丫=1,故拋物線的焦點(diǎn)，綜上可知：直線人8過橢圓的焦點(diǎn)F(0,1),⑵拋物線方程可化為y=(x2,于是y《x,設(shè)兩條切線交于點(diǎn)T,則"卜kBT="^x2，L??.直線AT的方程為y-yjx1(x-xj,即y-=x1(x-xj,y=x1x-,同理，直線81的方程為y=x2x-,聯(lián)立 ，解得：y= = =-1,??切線的交點(diǎn)在直線丫=-1上.(16分)設(shè)f(x)=aex-a-2x,?是自然對(duì)數(shù)的底，a6R,x^R.(1)若f(x)在(0,+8)上是增函數(shù)，求@的最小值；(2)若f(x)〉3-3ex對(duì)一切乂6(-8,0］成立，求2的取值范圍.【解答】解：(1)f(x)=aex-2,若f(x)在(0,+8)上是增函數(shù)，則a>在(0,+8)恒成立，???x6(0,+8)時(shí)，，故a>2,2的最小值是2;(2)若f(x)>3-3ex對(duì)一切xC(-8,0］成立，即aex-a-2x)>3-3ex對(duì)一切xC(-8,0］成立,a(ex-1)>3(1-ex)+2x對(duì)一a)xC(-8,0］成立當(dāng)xv0時(shí)，ex-1<0???a<-3+2M在x6(-8,0］恒成立，ez-1令h(x)=2’,(x<0),ex-1第13頁(共20頁)h，(x)=，[：?]”，令0(x)=ex(1-x)-1,(x<0)G'(x)=-xex>0???G(x)在(-8,0)遞增，且6(0)=0???G(x)v0,即h'(x)v0.故h(x)在(-8,0]遞減，利用洛必達(dá)法則，有 = =2.,.h(x)>2.當(dāng)x=0時(shí)，aH,終上所述：a的取值范圍為(-8,-1]第14頁（共20頁）第15頁（共20頁）第16頁（共20頁）贈(zèng)送初中數(shù)學(xué)幾何模型【模型一】一線三等角喉型：圖形特征：60060° 60。 45。45° 45。運(yùn)用舉例：.如圖，若點(diǎn)B在x軸正半軸上，點(diǎn)A（44）、C（L—1）,且48=：83AB^BC,求點(diǎn)B的坐標(biāo)；.如圖，在直線l上依次擺放著七個(gè)正方形（如圖所示），已知斜放置的三個(gè)正方形的面積分別是L2、3,正放置的四個(gè)正方形的面積依次是S1、S2、S3、S,，則第17頁（共20頁）S1S4 .如圖，Rt