培優(yōu)點五導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1．利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性例1：求函數(shù)fxx33x23x3ex的單調(diào)區(qū)間【答案】見解析【解析】第一步：先確定定義域，fx定義域為R，第二步：求導(dǎo)：f'x3x26x3exx33x23x3exx39xexxx3x3ex，第三步：令fx0，即xx3x3ex0，第四步：處理恒正恒負的因式，可得xx3x30，第五步：求解x3,0U3,，列出表格2．函數(shù)的極值例2：求函數(shù)

f(x)

xe

x的極值．【答案】 f

x的極大值為

f 1

1，無極小值e【解析】 f

'

x

e

x

xe

x

1 xe

x令

f

'

x

0解得：

x

1，

f x的單調(diào)區(qū)間為：1f x的極大值為 f1 ，無極小值．e3．利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的最值例3：已知函數(shù)fxlnxmmR在區(qū)間1,e上取得最小值4，則m___________．x【答案】3e【解析】思路一：函數(shù)fx的定義域為0,，fx1m2．xx當(dāng)fx0時，1m0，xx2當(dāng)m0時，fx0，fx為增函數(shù)，所以f(x)minf(1)m4，m4，矛盾舍去；當(dāng)m0時，若x0,m，fx0，fx為減函數(shù)，若xm,，fx0，fx為增函數(shù)，所以f m ln m 1為極小值，也是最小值；①當(dāng)m1，即1m0時，fx在[1,e]上單調(diào)遞增，所以f(x)minf(1)m4，所以m4（矛盾）；e時，fx[1,e]fxminfem4，②當(dāng)me，即m在上單調(diào)遞減，1e所以m3e；③當(dāng)1me，即em1時，fx在[1,e]上的最小值為fmlnm14，此時me3e（矛盾）．綜上m3e．思路二：f'x1mxm，令導(dǎo)數(shù)f'x0xm，考慮最小值點只有可能在邊xx2x2界點與極值點處取得，因此可假設(shè)xm，x1，xe分別為函數(shù)的最小值點，求出m后再檢驗即可．對點增分集訓(xùn)一、單選題1．函數(shù)fxxlnx的單調(diào)遞減區(qū)間為（）A．0,1B．0,C．1,D．,0U1,【答案】A【解析】函數(shù)yxlnx的導(dǎo)數(shù)為y11，令y'110，得x1，xx∴結(jié)合函數(shù)的定義域，得當(dāng) x 0,1時，函數(shù)為單調(diào)減函數(shù)．因此，函數(shù)yxlnx的單調(diào)遞減區(qū)間是0,1．故選A．2．若x1是函數(shù)fxaxlnx的極值點，則（）A．fx有極大值1B．fx有極小值1C．fx有極大值0D．fx有極小值0【答案】A【解析】因為x1是函數(shù)fxaxlnx的極值點，所以f10，10，a1，a1fx1x1．當(dāng)x1時，fx0；當(dāng)0x1時，fx0，因此fx10x有極大值1，故選A．3．已知函數(shù)fxx3ax在,1上單調(diào)遞減，且gx2xa在區(qū)間1,2上既有最x大值，又有最小值，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．a(chǎn)2B．a(chǎn)3C．3a2D．3a2【答案】C【解析】因為函數(shù)fxx3ax在,1上單調(diào)遞減，所以f'x 3x2 a 0對于一切 x ,1恒成立，得 3x2 a， a 3，又因為gx2xa在區(qū)間1,2上既有最大值，又有最小值，x所以，可知g'x2a2在1,2上有零點，x也就是極值點，即有解2a0，在1,2上解得a2x2，x2可得8a2，3a2，故選C．32mx1是R上的單調(diào)函數(shù)，則m的范圍是（）4．函數(shù)yxx．．．．A．1,B．,1C．1,D．,13333【答案】C【解析】若函數(shù)yx3x2mx1是R上的單調(diào)函數(shù)，只需y'3x22xm0恒成立，即412m0，m1．故選C．35．遇見你的那一刻，我的心電圖就如函數(shù)yln1xsinx的圖象大致為（）1xA．B．C．D．【答案】A【解析】由yln1xsinx，其定義域為1x0，即1x1，1x1xfxln1xsinx，1x則f x f x 0函數(shù)為奇函數(shù)，故排除 C、D，fx2cosx0，則函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，排除B，故選A．1x1x6．函數(shù)f1321在x1,2內(nèi)存在極值點，則（）xxax2x31a111A．2B．a(chǎn)2221或a1D．a(chǎn)11C．a(chǎn)2或a222【答案】A【解析】若函數(shù)fx1x3ax22x1在x1,2無極值點，則f'xx22ax20或3f'xx22ax20在x1,2恒成立．①當(dāng)f'xx22ax20在x1,2恒成立時，a1時，f12a10，得a1；2a2時，f24a+20，得a；②當(dāng)f'xx22ax20在x1,2恒成立時，則f12a10且f'24a+20，得a1；2綜上，無極值時a1或a1．∴在1a1在x1,2存在極值．故選A．22227．已知fxax22xa，xR，若函數(shù)gxx3a22xfx在區(qū)間1,3上單調(diào)遞減，則實數(shù) a的取值范圍是（）A．a(chǎn) 1或a 3 B．a(chǎn) 1或a 3 C．a(chǎn) 9或a 3 D．a(chǎn) 9或a 3【答案】D【解析】因為g x 3x2 2ax a2，函數(shù)gx x3 a2 2x f x 在區(qū)間 1,3上單調(diào)遞減，所以gx0在區(qū)間1,3上恒成立，g10a22a309或a3，故選D．只需3，即a26a27解得ag0038．函數(shù)

y

f x在定義域

,3

內(nèi)可導(dǎo)，其圖像如圖所示．記

y f

x的導(dǎo)函數(shù)為2y f

x，則不等式

f

x

0的解集為（）A．1,1U2,3B．1,1U4,83233C．3,1U1,2D．3,1U1,4U4,32223233【答案】A【解析】由圖象知1和2,3上fx遞減，因此f'x0的解集為1U2,3．,1,133故選A．9．設(shè)函數(shù)fx1xlnxx0，則yfx（）3A．在區(qū)間1,1，1,e內(nèi)均有零點eB．在區(qū)間1,1，1,e內(nèi)均無零點eC．在區(qū)間1,1內(nèi)有零點，在區(qū)間1,e內(nèi)無零點eD．在區(qū)間1,1內(nèi)無零點，在區(qū)間1,e內(nèi)有零點e【答案】D【解析】fx的定義域為0,，fx在0,3單調(diào)遞減，[3,單調(diào)遞增，f11x，3x當(dāng)在區(qū)間1,1上時，fx在其上單調(diào)，f1110，f110，故fx在區(qū)間ee3e31,1上無零點，e當(dāng)在區(qū)間1,e上時，fx在其上單調(diào)，fee，f11，故fx在區(qū)間1,e10033上有零點．故選D．10．若函數(shù)fxx33ax23a2x1既有極大值又有極小值，則實數(shù)a的取值范圍為（）A．1a2B．1a2C．a(chǎn)1或a2D．a(chǎn)1或a2【答案】D【解析】Qfxx33ax23a2x1，fx3x26ax3a2，Q函數(shù)fxx33ax23a2x1既有極大值又有極小值，fx3x26ax3a20有兩個不等的實數(shù)根，36a236a20，a2a20，則a1或a2，故選D．11．已知函數(shù)fxx32ax23bxc的兩個極值點分別在1,0與0,1內(nèi)，則2ab的取值范圍是（）A．3,3B．3,1C．1,3D．1,3222222【答案】A【解析】Q由函數(shù)fxx32ax23bxc，求導(dǎo)f'x3x24ax3b，Qfx的兩個極值點分別在區(qū)間1,0與0,1內(nèi)，由24ax3b0的兩個根分別在3xf'00區(qū)間0,1與1,0內(nèi)，f'10，f'103b0Q令z2ab，轉(zhuǎn)化為在約束條件為34a3b0時，求z2ab的取值范圍，34a3b0可行域如下陰影（不包括邊界） ，目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為z2ab，由圖可知，z在A3,0處取得最大值3，在B3,0處424取得最小值3Q可行域不包含邊界，z2a33．本題選擇A選項．22212．設(shè)函數(shù)yfx在區(qū)間a,b上的導(dǎo)函數(shù)為fx，fx在區(qū)間a,b上的導(dǎo)函數(shù)為x，若在區(qū)間a,b上fx0，則稱函數(shù)fx在區(qū)間a,b上為“凹函數(shù)”，已知fx1x51mx42x2在區(qū)間1,3上為“凹函數(shù)”，則實數(shù)m的取值范圍為（）2012A．,31B．31,5C．,5D．,399【答案】D【解析】∵fx1x51mx42x2，∴fx1x4mx34x，∴fxx3mx24，201243∵函數(shù)在區(qū)間1,3上為“凹函數(shù)”∴fx0，∴x3mx240在1,3上恒成立，即mx42在1,3上恒成立．x∵y41,3x4143m3x在上為單調(diào)增函數(shù)，∴x2，∴，x2故選D．二、填空題13．函數(shù) f x 2x3 2x2在區(qū)間 1,2上的最大值是 ___________．【答案】8【解析】fx6x24x2x3x2，已知x1,2，當(dāng)2x2或1x0時，fx0，fx在該區(qū)間是增函數(shù)，3當(dāng)0x2時，fx0，fx在該區(qū)間是減函數(shù)，3故函數(shù)在x0處取極大值，f00，又f28，故fx的最大值是8．14．若函數(shù)fxx3ax23x4a3在,1，2,上都是單調(diào)增函數(shù)，則實數(shù)a的取值集合是______．【答案】3,154【解析】fxx3ax23x4a3，fx3x22ax3，Q函數(shù)fxx3ax23x4a3在,1，2,上都是單調(diào)增函數(shù)，則f10，即32a30，解得a3，f20，即154a0，解得a15，4則實數(shù)a的取值集合是15，故答案為15．3,3,4415．函數(shù)fxx2alnx1aR在1,2內(nèi)不存在極值點，則a的取值范圍是___________．【答案】a2或a8【解析】函數(shù)fxx2alnx1aR在1,2內(nèi)不存在極值點fxx2alnx1aR在1,2內(nèi)單調(diào)函數(shù)fx0或fx0aR在1,2內(nèi)恒成立，由fx2xa0在1,2內(nèi)恒成立a2x2，x1,2，即a2，xmin同理可得a8，故答案為a2或a8．16．已知函數(shù)fxexalnx，①當(dāng)a1時，fx有最大值；②對于任意的 a 0，函數(shù) f x是0, 上的增函數(shù)；③對于任意的a0，函數(shù)fx一定存在最小值；④對于任意的a0，都有fx0．其中正確結(jié)論的序號是_________．（寫出所有正確結(jié)論的序號）【答案】②③【解析】由函數(shù)的解析式可得：f'xexa，當(dāng)a1時，f'xex1，f''xex1，xxx2f''x單調(diào)遞增，且f1e10，據(jù)此可知當(dāng)x1時，f'x0，fx單調(diào)遞增，函數(shù)沒有最大值，說法①錯誤；當(dāng)a0時，函數(shù)yex，yalnx均為單調(diào)遞增函數(shù)，則函數(shù)fx是0,上的增函數(shù)，說法②正確；當(dāng)a0時，f'xexa單調(diào)遞增，且f'aea10，x且當(dāng)limexa0，據(jù)此可知存在x00,a，x0x在區(qū)間0,x0上，f'x0，fx單調(diào)遞減；在區(qū)間x0,上，f'x0，fx單調(diào)遞增；函數(shù)fx在xx0處取得最小值，說法③正確；當(dāng)a1時，fxexlnx，由于e50,151,e，fe5ee5lne5ee550，說法④錯誤；，故ee綜上可得：正確結(jié)論的序號是②③．三、解答題17．已知函數(shù)fxlnxaxaR（1）討論函數(shù)fx在0,上的單調(diào)性；x2恒成立．（2）證明：eelnx0【答案】（1）當(dāng)a0時，fx在0,上單調(diào)遞增；當(dāng)a0時，f1上單調(diào)遞x在0,a增，在1,上單調(diào)遞減；（2）見解析．a(chǎn)【解析】（1）fx1a1axx0，xx當(dāng)a0時，fx0恒成立，所以，fx在0,上單調(diào)遞增；當(dāng)a0時，令fx0，得到x1，所以，當(dāng)x0,1時，fx0，fx單調(diào)遞增，aa當(dāng)x1,時，fx0，fx單調(diào)遞減．a(chǎn)綜上所述，當(dāng)a0時，fx在0,上單調(diào)遞增；當(dāng)a0時，fx在0,1上單調(diào)遞增，a在1,上單調(diào)遞減．a(chǎn)（2）證法一：由（1）可知，當(dāng)a0時，fxlnxaxln11，a1，有l(wèi)nxx，即lnxx2ex（當(dāng)且僅當(dāng)xe時等號成立），特別地，取a0e，所以elnxee因此，要證x20恒成立，只要證明xex在0,上恒成立即可，eelnxe設(shè)gxexx0，則gxexx1，xx2當(dāng)x0,1時，gx0，gx單調(diào)遞減，當(dāng)x1,時，gx0，gx單調(diào)遞增．所以，當(dāng)x1時，gxming1exex在0,，即e上恒成立．因此，有exexe2lnx，又因為兩個等號不能同時成立，所以有exe2lnx0恒成立．x2ex1x1x21證法二：記函數(shù)xelnxe2lnx，則xe2exex，可知x在0,上單調(diào)遞增，又由10，20知，x在0,上有唯一實根x0，且1x02，則x0ex0210，即ex021（*），x0x0當(dāng)x0,x0時，x0，x單調(diào)遞減；當(dāng)xx0,時，x0，x單調(diào)遞增，所以xx0ex02lnx0，結(jié)合（*）式ex021，知x02lnx0，x0122x01x02所以xx0x02x010，x0x0x0則xex2lnx0x2x20恒成立．，即elnx，所以有eelnx18．已知函數(shù)fxaexx2bxa,bR，其導(dǎo)函數(shù)為yf'x．（1）當(dāng)b2時，若函數(shù)yf'x在R上有且只有一個零點，求實數(shù)a的取值范圍；（2）設(shè)a0，點Pm,nm,nR是曲線yfx上的一個定點，是否存在實數(shù)00xxm使得fx0nf'x0mm成立？并證明你的結(jié)論．2x0【答案】（1）a22或a0,；（2）不存在，見解析．e【解析】（1）當(dāng)b2時，fxaexx22x，aR，f'xaex2x2，aR，由題意得aex2x20，即a22x，ex令hx22x，則hx2