第十三講協(xié)方差相關(guān)系數(shù)和矩的概念1第1頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期二四、第2頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期二問(wèn)題對(duì)于二維隨機(jī)變量(X,Y):已知聯(lián)合分布邊緣分布

這說(shuō)明對(duì)于二維隨機(jī)變量，除了每個(gè)隨機(jī)變量各自的概率特性以外，相互之間可能還有某種聯(lián)系.問(wèn)題是用一個(gè)什么樣的數(shù)去反映這種聯(lián)系.數(shù)反映了隨機(jī)變量X,Y之間的某種關(guān)系第3頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期二協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)和矩第十三講4第4頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期二一、協(xié)方差的定義與性質(zhì)1、定義稱(chēng)為X,Y的協(xié)方差.記為1）若(X,Y)為離散型r.v.，則2）若(X,Y)為連續(xù)型r.v.，則第5頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期二2、協(xié)方差的簡(jiǎn)單性質(zhì)1）2）3）第6頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)

可見(jiàn)，若X與Y獨(dú)立，Cov(X,Y)=0.3.計(jì)算協(xié)方差的一個(gè)簡(jiǎn)單公式由協(xié)方差的定義及期望的性質(zhì)，可得Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}=E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y)=E(XY)-E(X)E(Y)即特別地7第7頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期二若X1,X2,…,Xn兩兩獨(dú)立,，上式化為D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)4.隨機(jī)變量和的方差與協(xié)方差的關(guān)系8第8頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期二協(xié)方差的大小在一定程度上反映了X和Y相互間的關(guān)系，但它還受X與Y本身度量單位的影響.例如：Cov(kX,kY)=k2Cov(X,Y)為了克服這一缺點(diǎn)，對(duì)協(xié)方差進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，這就引入了相關(guān)系數(shù).9第9頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期二二、相關(guān)系數(shù)的定義與性質(zhì)1、定義若D(X)>0,D(Y)>0,稱(chēng)為X,Y的相關(guān)系數(shù)，記為第10頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期二2、相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)1）2）存在a（不為0）及b使P(Y=aX+b)=1注：1）的大小是X,Y之間線(xiàn)性關(guān)系的一種度量。2）稱(chēng)X,Y不相關(guān)，不相關(guān)表示X,Y之間不存在線(xiàn)性關(guān)系，但不排除有其他關(guān)系。3）稱(chēng)X,Y完全線(xiàn)性相關(guān)（詳細(xì)證明自看,見(jiàn)教材.）第11頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期二3）X,Y線(xiàn)性不相關(guān)X,Y相互獨(dú)立X,Y線(xiàn)性不相關(guān)即由并不一定能推出X和Y獨(dú)立.請(qǐng)看下例.第12頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期二例

設(shè)X服從(-1/2,1/2)內(nèi)的均勻分布,而Y=cosX,因而=0，即X和Y線(xiàn)性不相關(guān).但X和Y不獨(dú)立.不難求得，Cov(X,Y)=0，事實(shí)上，X的密度函數(shù)13第13頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期二但對(duì)下述情形，獨(dú)立與不相關(guān)等價(jià)若(X,Y)服從二維正態(tài)分布，則X與Y獨(dú)立X與Y不相關(guān)前面，我們已經(jīng)看到：若X與Y獨(dú)立，則X與Y不相關(guān)，但由X與Y不相關(guān)，不一定能推出X與Y獨(dú)立.14第14頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期二三、有關(guān)例題求Cov(X,Y),XY10

pqXP10

pqYP例1已知

X,Y的聯(lián)合分布律為0<p<1p+q=1解10

pqXYPXY1010

p0

0

q第15頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期二第16頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期二例2

設(shè)~U(0,2),X=cos

,Y=cos(+

),

是給定的常數(shù)，求XY解第17頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期二第18頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期二若若有線(xiàn)性關(guān)系若線(xiàn)性不相關(guān)，但不獨(dú)立，沒(méi)有線(xiàn)性關(guān)系，但有函數(shù)關(guān)系第19頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期二例3

設(shè)X,Y相互獨(dú)立，且都服從

N(0,

2),

U=aX+bY,V=aX-bY,a,b為常數(shù)，且都不為零，求UV解由第20頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期二而故第21頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期二例4

設(shè)(X,Y)~N(1,4;1,4;0.5),Z=X+Y,

求

XZ解第22頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期二例3.2.2

隨機(jī)向量(X,Y)~f(x,y)=求X,Y的相關(guān)系數(shù)ρXY.解=7/6=5/3由對(duì)稱(chēng)性得=7/6EY2=5/3所以,DX=11/36,DY=11/36=4/323第23頁(yè)，共26頁(yè)，202