小學(xué)奧數(shù)舉一反三(三年級)教案

一、知識要點(diǎn)

按照一定次序排列起來的一列數(shù),叫做數(shù)列。如自然數(shù)列：1,2,3,4,……雙

數(shù)列：2,4,6,8,……我們研究數(shù)列,目的就是為了發(fā)現(xiàn)數(shù)列中數(shù)排列的規(guī)律,并依

據(jù)這個規(guī)律來填寫空缺的數(shù)。

按照一定的順序排列的一列數(shù),只要從連續(xù)的幾個數(shù)中找到規(guī)律,那么就可

以知道其余所有的數(shù)。尋找數(shù)列的排列規(guī)律,除了從相鄰兩數(shù)的和、差考慮,有時

還要從積、商考慮。善于發(fā)現(xiàn)數(shù)列的規(guī)律是填數(shù)的關(guān)鍵。

二、精講精練

【例題1】在括號內(nèi)填上合適的數(shù)。

（1）3,6,9,12,（）,（）

（2）1,2,4,7,11,（）,（）

（3）2,6,18,54,（）,（）

練習(xí)1：在括號內(nèi)填上合適的數(shù)。

（1）2,4,6,8,10,（）,（）

（2）1,2,5,10,17,（）,（）

（3）2,8,32,128,（）,（）

（4）1,5,25,125,（）,（）

（5）12,1,10,1,8,1,（）,（）

【例題2】先找出規(guī)律,再在括號里填上合適的數(shù)。

（1）15,2,12,2,9,2,（）,（）

（2）21,4,18,5,15,6,（）,（）

練習(xí)2：按規(guī)律填數(shù)。

（1）2,1,4,1,6,1,（）,（）

（2）3,2,9,2,27,2,（）,（）

（3）18,3,15,4,12,5,（）,（）

（4）1,15,3,13,5,11,（）,（）

（5）1,2,5,14,（）,（）

【例題3】先找出規(guī)律,再在括號里填上合適的數(shù)。

（1）2,5,14,41,（）（2）252,124,60,28,（）

（3）1,2,5,13,34,（）（4）1,4,9,16,25,36,（）

練習(xí)3：按規(guī)律填數(shù)。

（1）2,3,5,9,17,（）,（）（2）2,4,10,28,82,（）,

1/27

（）

（3）94,46,22,10,（）,（）（4）2,3,7,18,47,（）,（）

【例題4】根據(jù)前面圖形里的數(shù)的排列規(guī)律,填入適當(dāng)?shù)臄?shù)。

（1）

510712914

914111613

(2)

479

1614

828443

9327

（3）

12436

3612

練習(xí)4：找出排列規(guī)律,在空缺處填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。

（1）

378121216

59101414

(2)

794

8286278

（3）

841651512

1683272118

321664927

【例題5】按規(guī)律填數(shù)。

（1）187,286,385,（）,（）

（2）233141233524

25414643

練習(xí)5：根據(jù)規(guī)律,在空格內(nèi)填數(shù)。

（1）198,297,396,（）,（）

（2）325421453257

38642665

2/27

（3）372523453425

38952775

3/27

第2講有余除法

一、知識要點(diǎn)

把一些書平均分給幾個小朋友,要使每個小朋友分得的本數(shù)最多,這些書分

到最后會出現(xiàn)什么情況呢？一種是全部分完,還有一種是有剩余,并且剩余的本

數(shù)必須比小朋友的人數(shù)少,否則還可以繼續(xù)分下去。每次除得的余數(shù)必須比除數(shù)

小,這就是有余數(shù)除法計算中特別要注意的。

解這類題的關(guān)鍵是要先確定余數(shù),如果余數(shù)已知,就可以確定除數(shù),然后再根

據(jù)被除數(shù)與除數(shù)、商和余數(shù)的關(guān)系求出被除數(shù)。

在有余數(shù)的除法中,要記?。海?）余數(shù)必須小于除數(shù)；（2）被除數(shù)＝商×除

數(shù)＋余數(shù)。

二、精講精練

【例題1】[]÷6＝8……[],根據(jù)余數(shù)寫出被除數(shù)最大是幾？最小

是幾？

【思路導(dǎo)航】除數(shù)是____,根據(jù)____________,余數(shù)可填_____________.根據(jù)

____________,又已知商、除數(shù)、余數(shù),可求出最大的被除數(shù)為6×8＋5＝53,最

小的被除數(shù)為______________。列式如下：

________________________________________

答：被除數(shù)最大是53,最小是______。

練習(xí)1：

(1)下面題中被除數(shù)最大可填________,最小可填_______。[]÷8＝

3……[]

(2)下面題中被除數(shù)最大可填________,最小可填_______。[]÷4＝

7……[]

(3)下題中要使除數(shù)最小,被除數(shù)應(yīng)為________。[]÷[]＝

12……4

【例題2】算式[]÷[]＝8……［］中,被除數(shù)最小是幾？

【思路導(dǎo)航】題中只告訴我們商是8,要使被除數(shù)最小,那么只要除數(shù)和余數(shù)

小就行。余數(shù)最小為______,那么除數(shù)則為______。

根據(jù)這些,我們就可求出被除數(shù)最小為：8×______＋______＝_______。

練習(xí)2：

(1)下面算式中,被除數(shù)最小是幾？

①[]÷[]＝4……［］②[]÷[]＝7……

［］

4/27

③[]÷[]＝9……［］

(2)下面算式中商和余數(shù)相等,被除數(shù)最小是幾？

①[]÷[]＝3……［］②[]÷[]＝6……

［］

(3)算式[]÷8＝[]……［］中,商和余數(shù)都相等,那么被除數(shù)最

大是幾？

【例題3】算式28÷[]＝[]……4中,除數(shù)和商分別是______和

______。

【思路導(dǎo)航】根據(jù)“被除數(shù)＝商×除數(shù)＋余數(shù)”,可以得知“商×除數(shù)＝被

除數(shù)－余數(shù)”,所以本題中商×除數(shù)＝28－4＝24。這兩個數(shù)可能是1和24,____

和____,____和____,____和____,又因為余數(shù)為4,因此除數(shù)可以是24,12,8,6,

商分別為____,____,____,____。

_________________________________________________________________

答：除數(shù)和商分別是24,1；____,____；____,____；____,____。

練習(xí)3：

(1)下面算式中,除數(shù)和商各是幾？

①22÷[]＝[]……4②65÷[]＝[]……2

③37÷[]＝[]……7④48÷[]＝[]……6

(2)149除以一個兩位數(shù),余數(shù)是5,請寫出所有這樣的兩位數(shù)。

_________________________________________________________________

_________

(3)算式[]÷4＝[]……[]中,商和余數(shù)相等,被除數(shù)可以是哪

些數(shù)？

_________________________________________________________________

_________

【例題4】算式[]÷7＝[]……[]中,商和余數(shù)相等,被除數(shù)可

以是哪些數(shù)？

【思路導(dǎo)航】題目中告訴我們除數(shù)是7,商和余數(shù)相等,因為余數(shù)必須比除數(shù)

小,所以余數(shù)和商可為1,2,3,4,5,6,這樣被除數(shù)就可以求出來了。

7×1＋1＝87×2＋2＝167×3＋3＝24

7×4＋4＝327×5＋5＝407×6＋6＝48

答：被除數(shù)可以是8,16,24,32,40,48。

練習(xí)4：

5/27

(1)下列算式中,商和余數(shù)相等,被除數(shù)可以是哪些數(shù)？

①[]÷6＝[]……[]②[]÷5＝

[]……[]

③[]÷4＝[]……[]④[]÷3＝

[]……[]

(2)一個三位數(shù)除以15,商和余數(shù)相等,請你寫出五個這樣的除法算式。

(3)算式[]÷9＝[]……[]中,商和余數(shù)相等,被除數(shù)最大是

____。

【例題5】算式[]÷[]＝[]……4中,除數(shù)和商相等,被除數(shù)最

小是幾？

【思路導(dǎo)航】題目中告訴我們余數(shù)是4,除數(shù)和商相等,因為余數(shù)必須比除數(shù)

小,所以除數(shù)必須比4大,但其中要求最小的被除數(shù),因而除數(shù)應(yīng)填_______,商也

是______。由算式____________________,所以被除數(shù)最小是__________。

練習(xí)5：下面算式中,除數(shù)和商相等,被除數(shù)最小是幾？

(1)[]÷[]＝[]……6(2)[]÷[]＝

[]……8

(3)[]÷[]＝[]……3(4)[]÷[]＝

[]……9

(5)[]÷[]＝[]……7

6/27

第3講配對求和

一、知識要點(diǎn)

被人稱為“數(shù)學(xué)王子”的高斯在年僅8歲時,就以一種非常巧妙的方法又快

又好地算出了1+2+3+4+……+99+100的結(jié)果。小高斯是用什么辦法算得這么快

呢？原來,他用了一種簡便的方法：先配對再求和。

數(shù)列的第一個數(shù)（第一項）叫首項,最后一個數(shù)（最后一項）叫末項,如果一

個數(shù)列從第二項起,每一項與前一項的差是一個不變的數(shù),這樣的數(shù)列叫做等差

數(shù)列,這個不變的數(shù)則稱為這個數(shù)列的公差。

計算等差數(shù)列的和,可以用以下關(guān)系式：

等差數(shù)列的和＝（首項＋末項）×項數(shù)÷2

末項＝首項＋公差×（項數(shù)－1）

項數(shù)＝（末項－首項）÷公差＋1

二、精講精練

【例題1】你有好辦法算一算嗎？

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10＝（）

練習(xí)1：速算。

(1)1+2+3+4+5+……+20(2)1+2+3+4+……+99+100

(3)21+22+23+24+……+100

【例題2】計算。

(1)21+23+25+27+29+31(2)312+315+318+321+324

練習(xí)2：計算。

(1)48+50+52+54+56+58+60+62(2)108+128+148+168+188

【例題3】有一堆木材疊堆在一起,一共是10層,第1層有16根,第2層有

7/27

17根,……下面每層比上層多一根,這堆木材共有多少根？

練習(xí)3：

(1)體育館的東區(qū)共有30排座位,呈梯形,第1排有10個座位,第2排有11

個座位,……這個體育館東區(qū)共有多少個座位？

(2)有一串?dāng)?shù),第1個數(shù)是10,以后每個數(shù)比前一個數(shù)大4,最后一個數(shù)是90,

這串?dāng)?shù)連加的和是多少？

(3)有一個鐘,一點(diǎn)鐘敲1下,兩點(diǎn)鐘敲2下,……十二點(diǎn)鐘敲12下,分鐘指向

6敲1下,這個鐘一晝夜敲多少下？

【例題4】計算992+993+994+995+996+997+998+999。

練習(xí)4：計算。

(1)95+96+97+98+99(2)2006+2007+2008+2009

(3)9997+9998+9999(4)

100-1-3-5-7-9-11-13-15-17-19

【例題5】計算

1000-11-89-12-88-13-87-14-86-15-85-16-84-17-83-18-82-19-81

練習(xí)5：計算。

(1)1000-1-9-2-8-3-7-4-6-5-5-6-4-7-3-8-2-9-1

8/27

(2)1000-81-11-82-12-83-13-84-14-85-15-86-16-87-17-88-18-89-19

(3)2001-1+2-3+4-5+6-7+8-9+10-11+12-13+14-15+16

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第4講加減巧算

一、知識要點(diǎn)

在進(jìn)行加減運(yùn)算時,為了又快又好,除了要熟練地掌握計算法則外,還需要掌

握一些巧算的方法。加減法的巧算主要是運(yùn)用“湊整”的方法,把接近整十、整

百、整千的數(shù)看做所接近的數(shù)進(jìn)行簡算。

進(jìn)行加減巧算時,湊整之后,對于原數(shù)與整十、整百、整千……相差的數(shù),要

根據(jù)“多加要減去,少加要再加,多減要加上,少減要再減”的原則進(jìn)行處理。另

外,可以結(jié)合加法交換律、結(jié)合律以及減法的性質(zhì)進(jìn)行湊整,從而達(dá)到簡算的目

的。

二、精講精練

【例題1】你有好辦法迅速算出結(jié)果嗎？

(1)502+799-298-98(2)9999+999+99+9

練習(xí)1：計算。

(1)308+203-399-97(2)99999+9999+999+99+9

(3)1999+199+19(4)375+483+525+617

【例題2】計算。

(1)487+321+113+279(2)736-567+264

(3)877+345-677(4)528-248-152

練習(xí)2：計算。

(1)321+127+73+279(2)235-125+365

(3)987-733-167(4)487+(413-89)

10/27

【例題3】計算下面各題。

(1)962-(284+262)(2)432-(154-168)

練習(xí)3：計算。

(1)421+(279-125)(2)812+(168-112)

(3)823-(175+323)(4)538-(283-162)

【例題4】2000-111-89-112-88-113-87-114-86-115-85-116-84

練習(xí)4：計算。

(1)800-99-1-98-2-97-3-96-4-95-5(2)

1000-10-20-30-40-50-60-70-80-90

【例題5】計算:98+97-96-95+94+93-92-91+90+89-88-87……-4-3+2+1

練習(xí)5：計算。

(1)2009+1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-11-12+13+14……+2006

(2)1+2-3+4+5-6+7+8-9……+97+98-99

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第5講圖形個數(shù)

一、知識要點(diǎn)

同學(xué)們,你想學(xué)會數(shù)圖形的方法嗎？要想不重復(fù)也不遺漏地數(shù)出線段、角、

三角形、長方形……那就必須要有次序、有條理地數(shù),從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律,以便得到正

確的結(jié)果。

要正確數(shù)出圖形的個數(shù),關(guān)鍵是要從基本圖形入手。首先要弄清圖形中包含

的基本圖形是什么,有多少個,然后再數(shù)出由基本圖形組成的新的圖形,并求出它

們的和。

二、精講精練

【例題1】數(shù)出下圖中有多少條線段？

ABCD

【思路導(dǎo)航】方法一：我們可以采用以線段左端點(diǎn)分類數(shù)的方法。以A點(diǎn)為

左端點(diǎn)的線段有：AB、AC、AD3條；以B點(diǎn)為左端點(diǎn)的線段有：BC、BD2條；

以C點(diǎn)為左端點(diǎn)的線段有：CD1條。所以,圖中共有線段3+2+1=6（條）。

方法二：把圖中線段AB、BC、CD看做基本線段來數(shù),那么,由1條基本線段

構(gòu)成的線段有：AB、BC、CD3條；由2條基本線段構(gòu)成的線段有:AC、BD2條；

由3條基本線段構(gòu)成的線段有：AD1條。所以,圖中一共有3+2+1=6（條）線段。

練習(xí)1：

（1）數(shù)出下圖中有多少條線段？（2）數(shù)出下圖中有幾個長方

形？

ABCDE

A

【例題2】數(shù)出圖中有幾個角？

B

OC

D

【思路導(dǎo)航】數(shù)角的個數(shù)可以采用與數(shù)線段相同的方法來數(shù)。

方法一：以O(shè)A為一邊的角有：∠AOB、∠AOC、∠AOD3個；以O(shè)B為一邊的

角還有：

∠BOC、∠BOD2個；以O(shè)C為一邊的角還有：∠COD1個。所以,圖中共有角3+2+1=6

（個）。

方法二：把圖中∠AOB、∠BOC、∠COD看做基本角來數(shù),那么,由1個基本角

構(gòu)成的角有：∠AOB、∠BOC、∠COD3個；由2個基本角構(gòu)成的角有:∠AOC、

∠BOD2個；由3個基本角構(gòu)成的角有：∠AOD1個。所以,圖中一共有3+2+1=6

A

（個）角。

B

OC

12/27

D

E

練習(xí)2：數(shù)出圖中有幾個角？

A

（1）（2）

B

P

OC

【例題3】數(shù)出右圖中共有多少個三角形？

ABCD

【思路導(dǎo)航】方法一：我們可以采用按邊分類數(shù)的方法。以PA為邊的三角

形有：△PAB、△PAC、△PAD、3個；以PB為邊的三角形還有：△PBC、△PBD2

個；以PC為邊的三角形還有：△PCD1個。所以,圖中共有三角形3+2+1=6（個）。

方法二：把圖中三角形△PAB、△PBC、△PCD看做基本三角形來數(shù),那么,由1

個基本三角形構(gòu)成的三角形有：△PAB、△PBC、△PCD3個；由2個基本三角形

構(gòu)成的三角形有:△PAC、△PBD2個；由3個基本三角形構(gòu)成的三角形有：△

PAD1個。所以,圖中一共有3+2+1=6（個）三角形。方法三：我們發(fā)現(xiàn),要數(shù)出

圖中三角形的個數(shù),只需數(shù)出線段AD中包含幾條線段就可以了,即3+2+1=6

（個）。所以圖中共有6個三角形。

練習(xí)3：數(shù)出圖中共有多少個三角形？A

A

（1）（2）

K

G

GHI

BCDEFBCDEF

AB

【例題4】數(shù)出下圖中有多少個長方形？

CD

【思路導(dǎo)航】數(shù)圖中有多少個長方形和數(shù)三角形的方法一樣,長方形是由長、

寬兩對線段圍成,線段CD上有3+2+1=6（條）線段,其中每一條與AC中一條線段

對應(yīng),分別作為長方形的長和寬,這里共有6×1=6（個）長方形,而AC上共有2+1=3

（條）線段也就有6×3=18（個）長方形。它的計算公式為：

長方形的總數(shù)=長邊線段的總數(shù)×寬邊線段的總數(shù)

（3+2+1）×（2+1）=18（個）答：圖中共有18個長方形。

練習(xí)4：

（1）數(shù)出下圖中有多少個長方形？（2）數(shù)出下圖中有多少個

正方形？

AB

CD

13/27

【例題5】有5個同學(xué),每兩個人握手一次,一共要握手多少次？

【思路導(dǎo)航】這道題可以用數(shù)線段的方法來解答。根據(jù)題意,畫出線段圖,每

一個端點(diǎn)代表一個同學(xué)。

12345

從圖上可以看出,第1個同學(xué)要與其余4個同學(xué)握手共握手4次；第2個同

學(xué)還要與其余3個同學(xué)握手共握手3次,第3個同學(xué)要與其余2個同學(xué)握手共握

手2次；第4個同學(xué)還要與最后1個同學(xué)握手共握手1次。所以,一共要握手

4+3+2+1=10（次）

練習(xí)5：

（1）銀海學(xué)校三年級有9個班,每兩個班要比賽拔河一次,這樣一共要拔河

幾次？

（2）有1,2,3,4,5,6,7,8等8個數(shù)字,能組成多少個不同的兩位數(shù)？

14/27

第6講植樹問題

一、知識要點(diǎn)

爸爸給晶晶出了一道題：“小朋友們在路的一邊植樹,先植一棵樹,以后每隔3

米植一棵,已經(jīng)植了9棵,問第一棵和第九棵樹相距多少米？”晶晶一看,隨口答

題：“27米。”同學(xué)們,晶晶答對了嗎？

這一類應(yīng)用題我們通常稱為“植樹問題”。解答這類問題的關(guān)鍵是要弄清總

距離、間隔長和棵數(shù)三者之間的關(guān)系。解答植樹問題先要考慮植樹的方式,一般

在不封閉的線路上植樹,棵數(shù)＝總距離÷間隔長＋1；在封閉的線路上植樹,棵數(shù)

＝總距離÷間隔長。

另外,生活中還有一些問題,可以用植樹問題的方法來解答。比如鋸木頭、爬

樓梯問題等等,這時解題的關(guān)鍵是要將題目中的條件和問題與植樹問題中的“總

距離”、“間隔長”、“棵數(shù)”對應(yīng)起來。

二、精講精練

【例題1】小朋友們在路的一邊植樹,先植一棵樹,以后每隔3米植一棵,已經(jīng)

植了9棵,問第一棵和第九棵樹相距多少米？

【思路導(dǎo)航】要得出正確的結(jié)果,我們可以畫出如下的示意圖：

03米6米9米12米15米18米21米24米

1棵2棵3棵4棵5棵6棵7棵8棵9棵

根據(jù)“已經(jīng)植了9棵”,從圖中可以看出,第一棵樹和第九棵樹之間的間隔是

9-1=8（個）,每個間隔是3米,所以第一棵和第九棵相距3×8=24（米）,具體列

式如下：

3×（9-1）=3×8=24（米）答：第一棵和第九棵樹相距24米。

練習(xí)1：

（1）在路的一側(cè)插彩旗,每隔5米插一面,從起點(diǎn)到終點(diǎn)共插了20面,這條

道路有多長？

（2）在學(xué)校的走廊兩邊,每隔4米放一盆菊花,從起點(diǎn)到終點(diǎn)一共放了20盆,

這條走廊長多少米？

【例題2】在一條長42米的大路兩側(cè)栽樹,從起點(diǎn)到終點(diǎn)一共栽了14棵,已

知相鄰兩棵樹之間的距離都相等,問相鄰兩棵樹之間的距離是多少米？

【思路導(dǎo)航】根據(jù)“在路的兩側(cè)共栽了14棵樹”這個條件,我們可以先求出

每一側(cè)栽了14÷2=7（棵）樹,那么從第1棵樹到第7棵樹之間的間隔是7-1=6

（個）。42米長的大路平均分成6段,每段是42÷6=7（米）。列式如下：

42÷（14÷2-1）=42÷（7-1）=42÷6=7（米）答：相鄰兩棵樹之間的距離

是7米。

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練習(xí)2：在公園一條長30米的路的兩側(cè)放椅子,從起點(diǎn)到終點(diǎn)共放了12把椅

子,相鄰兩把椅子的距離相等,相鄰兩把椅子之間相距多少米？

【例題3】把一根鋼管鋸成小段,一共花了28分鐘,已知每鋸開一段需要4

分鐘,這根鋼管被鋸成了多少段？

【思路導(dǎo)航】我們先求出鋼管被鋸開了28÷4=7（處）,因而被鋸開的段數(shù)有

7+1=8（段）。列式如下：28÷4+1=7+1=8（段）答：這根鋼管

被鋸成了8段。

練習(xí)3：一根圓木鋸成2米長的小段,一共花了12分鐘。已知每鋸下一段要

3分鐘,這根圓木長多少米？

【例題4】甲、乙兩人比賽爬樓梯,甲跑到4樓時,乙恰好跑到3樓,照這樣

計算,甲跑到16樓時,乙跑到了多少樓？

【思路導(dǎo)航】解答爬樓梯問題時,不能以樓層進(jìn)行計算,而要用樓梯段數(shù)進(jìn)行

計算,因為第一層樓是不用爬的,“樓層數(shù)-1”才是要走的“樓梯段數(shù)”,根據(jù)題

意“甲跑到4樓時,乙恰好跑到3樓”,實際上是說“甲跑3段樓梯與乙跑2段樓

梯所用的時間相同?！闭者@樣計算,甲跑到16樓,也就是跑了15段樓梯,應(yīng)是甲跑

3段樓梯所用的時間的5倍,在同一時間里,乙跑的樓梯段數(shù)也是他跑2段樓梯的

5倍,也就是這時乙跑了10段樓梯,即他跑到了第10+1=11（樓）。列式如下：

（3-1）×[（16-1）÷（4-1）]+1=2×5+1=11（樓）

答：甲跑到16樓時,乙跑到了11樓。

練習(xí)4：小明和小紅兩人爬樓梯比賽,小明跑到第4層時,小紅跑到第5層,

照這樣計算,當(dāng)小明跑到第16層時,小紅跑到了第幾層？

【例題5】一個圓形跑道長300米,沿跑道周圍每隔6米插一面紅旗,每兩面

紅旗中間插一面黃旗,跑道周圍各插了多少面紅旗和黃旗？

【思路導(dǎo)航】在圓周上插旗,插的面數(shù)正好等于分成的段數(shù),所以插了紅旗

300÷6=50（面）,由于每兩面紅旗中間插一面黃旗,所以黃旗的面數(shù)就等于紅旗

的面數(shù),也是50面。

300÷6=50（面）答：跑道周圍插了50面紅旗和50面黃

旗。

練習(xí)5：

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（1）有一個正方形水池,周長是200米。如果沿著水池周圍每隔10米裝一

盞紅燈,再在相鄰的兩盞紅燈中間等距離地裝4盞黃燈。問水池周圍一共裝了幾

盞紅燈？幾盞黃燈？

（2）一條公路長480米,在兩旁植樹,兩端都植。每隔12米植一棵樟樹,兩

棵樟樹中間又等距離地栽了3棵柳樹。問樟樹和柳樹各栽了多少棵？

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第7講簡單推理

一、知識要點(diǎn)

數(shù)學(xué)課上,老師布置了一道題：

□＋△=28□=△＋△＋△□=（）△=（）

要得出正確的結(jié)論,就要進(jìn)行分析、推理。學(xué)會了推理,能使你變得更聰明,

頭腦更靈活。數(shù)學(xué)上有許多重大的發(fā)現(xiàn)和疑難問題的解決都離不開推理。

解答這類推理題時,要求小朋友仔細(xì)觀察,認(rèn)真分析等式中幾個圖形之間的

關(guān)系,尋找解題的突破口,然后再利用等量代換、消去等方法來進(jìn)行解答。

二、精講精練

【例題1】下式中,□和△各代表幾？

□＋△=28□=△＋△＋△□=（）△=（）

【思路導(dǎo)航】根據(jù)□＋△=28,我們可以得出□=28－△；由□=△＋△＋△得

到28=△＋△＋△＋△,4個△等于28,一個△等于28÷4=7；由□=△＋△＋△可

求出□=7＋7＋7=21。

練習(xí)1：

1．☆＋○=18☆=○＋○☆=（）○=（）

2．△＋○=25△=○＋○＋○＋○△=（）○=（）

3．○＋□=36○=□＋□＋□＋□＋□○=（）□=（）

【例題2】下式中,□和△各代表幾？

□×△=36□÷△=4□=（）△=（）

【思路導(dǎo)航】根據(jù)□÷△=4可知△為一份,□是這樣的4份,即□=4△；又根

據(jù)□×△=36,可以得到4△×△=36,即△×△=9,進(jìn)一步得到△=3,□=4△=4×

3=12。

練習(xí)2：

1．○和□各表示幾？

○×□=16□÷○=4○=（）□=（）

2．想想,填填。

○×△=20○=△＋△＋△＋△＋△○=（）△=（）

3．□和○各代表幾？

□=○＋○＋○＋○○×□=16□=（）○=

（）

【例題3】下式中,□和△各代表幾？

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□＋□＋△=16□＋△＋△=14□=（）△=

（）

【思路導(dǎo)航】16里面有2個□,1個△；14里面有1個□,2個△,16減去14

等于2,即□－△=2,那么如果把△換成了□,則16需要加上2,即□＋□＋□=16

＋2,那么□=（16＋2）÷3=6,△=16－6×2=4。

練習(xí)3：

1．□＋□＋○＋○=38□＋□＋○=22□=（）○=

（）

2．□＋□＋□＋△＋△=52□＋□＋△＋△＋△=48

□=（）△=（）

3．○＋△＋□＋□=10△＋□＋△＋□=12△＋○＋□＋○

=12

○=（）□=（）△=（）

【例題4】下式中,□和○各代表幾？

□＋□＋○＋○＋○=34○＋○＋○＋○＋□＋□＋□=48

□=（）○=（）

【思路導(dǎo)航】34里面有2個□、3個○,48里面有3個□、4個○,用48減

去34得到□＋○=14,34中有2個（□＋○）及1個○。所以,○=34－14×2=6,

□=（34－6×3）÷2=8。

練習(xí)4：

1．☆＋☆＋△＋△＋△=24△＋△＋△＋△＋☆＋☆＋☆=36

☆=（）△=（）

2．○＋○＋○＋△＋△=54△＋△＋△＋○＋○＋○＋○=76

○=（）△=（）

3．□＋□＋□＋△＋△＋△＋△=96△＋△＋△＋△＋△＋□＋□＋□

＋□=123

□=（）△=（）

【例題5】下式中,□、☆和△各代表幾？

☆＋☆=□＋□＋□□＋□＋□=△＋△＋△＋△☆＋□＋△

＋△=80

☆=（）□=（）△=（）

【思路導(dǎo)航】因為2個☆等于3個□,3個□又等于4個△,所以2個☆等于

4個△,那么1個☆等于2個△。在☆＋□＋△＋△=80中,2個△可以用1個☆

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替代,就變?yōu)椤睿酰?80,而2個☆又可以用3個□替代,也就是□＋□＋□＋

□=80,所以□=20,☆=20×3÷2=30,△=20×3÷4=15。

練習(xí)5：

1．△＋△=○＋○＋○○＋○＋○=□＋□＋□○＋□＋△＋△

=100

○=（）□=（）△=（）

2．○＋○=□＋□＋□□＋□＋□=△＋△△＋□＋○=40

△=（）□=（）○=（）

3．□＋□=○＋○＋○○＋○＋○=☆＋☆＋☆＋☆＋☆＋☆＋

☆＋☆

□＋○＋☆＋☆＋☆＋☆=320

○=（）□=（）☆=（）

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第8講算式謎

一、知識要點(diǎn)

一個完整的算式,缺少幾個數(shù)字,那就成了一道算式謎。

解算式謎,就是要將算式中缺少的數(shù)字補(bǔ)齊,使它成為一道完整的算式。

解算式謎的思考方法是推理加上嘗試,首先要仔細(xì)觀察算式特征,由推理能

確定的數(shù)先填上；不能確定的,要分幾種情況,逐一嘗試。分析時要認(rèn)真分析已知

數(shù)字與所缺數(shù)字的關(guān)系,抓準(zhǔn)解題的突破口。

二、精講精練

【例題1】在下面算式的□內(nèi),填上適當(dāng)?shù)臄?shù)字,使算式成立。

答案：

【思路導(dǎo)航】已知被乘數(shù)個位是8,積的個位是2,可推出乘數(shù)可能是4或9,

但積的百位上是7,因而乘數(shù)只能是4,被乘數(shù)百位是1,那么十位上只能是9。（算

式見右上）

練習(xí)1：在□里填上適當(dāng)?shù)臄?shù),使算式成立。

【例題2】□里填哪些數(shù)字,可使這道除法算式成為一道完整的算式？

551515

6解題思路：6060690

66

303030

303030

0000

【思路導(dǎo)航】已知除數(shù)和商的某些位上的數(shù),求被除數(shù),可以從商的末位上的

數(shù)與除數(shù)相乘的積想起,5630,可知被除數(shù)個位為0,再想商十位上的數(shù)與6的

乘積為一位數(shù),這個數(shù)只能是1,這樣確定商的十位為1,最后被除數(shù)十位上的數(shù)

為369。

練習(xí)2：在□里填上適當(dāng)?shù)臄?shù),使算式成立。

（1）8（2）7

45

00

【例題3】在下面豎式的□里,各填入一個合適的數(shù)字,使算式成立。

1121314

7

答案：784791798

7777

142128

142128

0000

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【思路導(dǎo)航】要求□里填哪些數(shù),我們可以先想被除數(shù)的十位上的數(shù)是多少。

容易知道,被除數(shù)的十位數(shù)字比7大,只可能是8或9。如果十位數(shù)字是8,那么商

的個位只能是2；如果十位數(shù)字是9,那么商的個位是3或4。所以,這道題有三

種填法（見上頁）。

練習(xí)3：□里可以填哪些數(shù)字？

（1）1（2）2

84

8

00

【例題4】在下面豎式的□里,各填入一個合適的數(shù)字,使算式成立。

430408040

824327864327

4答案：2464

3232

23232

【思路導(dǎo)航】通過觀察7,我們發(fā)現(xiàn),由于余數(shù)是7,則除數(shù)必須比77大,7且被除

數(shù)個位上應(yīng)填7；由于商是4時是除盡的,所以被除數(shù)十位上應(yīng)為2,同時

3412,84=32,因而除數(shù)可能是3或8,可是除數(shù)必須比7大,因而除數(shù)只能是

8,因而被除數(shù)百位上是3,而商的百位上為0,商的千位是8或3,所以一共有兩種

填法（見上）。

練習(xí)4：在下面豎式的□里,各填入一個合適的數(shù)字,使算式成立。

（1）2（2）6

59

02

45

【例題5】在下面□中填入適當(dāng)?shù)臄?shù),使算式成立。

84028

668

答案：241

224

16

1212

48

4848

00

【思路導(dǎo)航】通過觀察,我們發(fā)現(xiàn),商的個位8與除數(shù)的乘積是48,由此可求

出除數(shù)為6。再根據(jù)商的千位與6的乘積是二十幾,于是可求出商的千位是4,因

而被除數(shù)的萬位是2,千位是4,然后可求出商的百位是0,十位是2,被除數(shù)的百位

是1,十位是6,個位是8。（填法見上）

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練習(xí)5：在下面□中填入適當(dāng)?shù)臄?shù),使算式成立。

（1）9（2）

115

2125

6335

04

23/27

第9講乘法速算

一、知識要點(diǎn)

我們已經(jīng)學(xué)會了整數(shù)乘法的計算方法,但計算多位數(shù)乘法要一位一位地乘,

運(yùn)算起來比較麻煩。其實,多位數(shù)與一些特殊的數(shù)相乘,也可以用簡便的方法來計

算。

計算乘法時,如果一個因數(shù)是25,另一個因數(shù)考慮可拆成4×幾,這樣可“先

拆數(shù)再擴(kuò)整”。兩位數(shù)、三位數(shù)及更高位數(shù)乘以11,可采用“兩頭一拉,中間相加”

的辦法,但要注意相鄰兩位相加作積的中間數(shù)時,哪一位上滿十要向前一位進(jìn)一。

比如兩位數(shù)乘以11,我們有“兩位數(shù)與11相乘,首尾不變中間變,左右相加放中

間,滿十進(jìn)一頭就變?！?/p>

二、精講精練

【例題1】試著計算下列各題,你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

（1）26×11（2）57×11（3）253×11（4）467×

11

【思路導(dǎo)航】通過計算、觀察可以發(fā)現(xiàn),一個數(shù)與11相乘,所得的結(jié)果就是

將這個數(shù)的首位和末位拉開分別作為積的最高位和最低位,再依次將這個數(shù)相鄰

兩位由個位加起,和寫在十位、百位……,哪一位上滿十就向前一位進(jìn)一。

（1）26×11=286（2）57×11=627（3）253×11=2783（4）247×

11=2717

練習(xí)1：很快算出下面各題的結(jié)果。

（1）12×11（2）34×11（3）25×11（4）11×

44

（5）48×11（6）65×11（7）11×75（8）87×

11

（9）124×11（10）305×11（11）439×11（12）872

×11

【例題2】下面的乘法計算有規(guī)律嗎？

（1）25×24（2）21×25（3）25×427（4）1998

×25

【思路導(dǎo)航】因為25×4=100,因此,一個數(shù)與25相乘,我們就看這個數(shù)里有

幾個4,有幾個4就有幾個100,余1就加25,余2就加50,余3就加75。

（1）25×24=100×6=600（2）21×25=100×5+25=525

（3）25×427=100×106+75=10600+75=10675

（4）1998×25=100×499+50=49900+50=49950

24/27

練習(xí)2：速算。

（1）12×25（2）34×25（3）25×121（4）25×

46

（5）148×25（6）643×25（7）25×7252（8）5678

×25

【例題3】很快算出下面各題的結(jié)果。

（1）24×15（2）248×15（3）5678×15

【思路導(dǎo)航】因為15=10+5,那么24×15就可以寫成24×（10+5）,也就是

用24加上它的一半再乘以10,24+12=36,再用36×10=360。

一個因數(shù)乘以15,也就是用這個數(shù)加上它的一半再乘以1