2023屆上海市青浦區(qū)高三上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)試題一、填空題1．已知等比數(shù)列的首項，則公比__________【答案】【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，然后運算即可得解.【詳解】解：由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，解得：，故答案為：.【點睛】本題考查了等比數(shù)列基本量的求法，重點考查了運算能力，屬基礎(chǔ)題.2．拋物線的焦點坐標(biāo)是______．【答案】【詳解】拋物線的焦點在軸上，且，所以拋物線的焦點坐標(biāo)為，故答案為.3．函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率等于___________.【答案】5【分析】根據(jù)題意，由平均變化率公式計算可得答案.【詳解】解：因為在區(qū)間上，，所以其平均變化率.故答案為：5.4．世界杯小組賽，從四支隊伍中出線兩支隊伍，則出線隊伍共有______種不同的組合.【答案】6【分析】直接根據(jù)組合數(shù)求解即可．【詳解】解：從四支隊伍中出線兩支隊伍，則出線隊伍共有種不同的組合，故答案為：6．【點睛】本題主要考查組合的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．5．的展開式中常數(shù)項是___________.【答案】252【分析】寫出的展開式的通項公式，令，求得k值，代入通項公式，即可得答案.【詳解】的展開式的通項公式為，令，解得k=5，所以常數(shù)項為.故答案為：2526．已知空間直角坐標(biāo)系中，某二面角的大小為，，半平面和的一個法向量分別為，，則______（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）.【答案】【分析】根據(jù)向量數(shù)量積求向量夾角，再根據(jù)二面角與向量夾角關(guān)系得結(jié)果.【詳解】因為，，所以，因為，所以故答案為：【點睛】本題考查求二面角、根據(jù)向量數(shù)量積求向量夾角，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.7．邊長為2的正方形繞旋轉(zhuǎn)形成一個圓柱，則該圓柱的表面積為___________.【答案】【分析】圓柱的底面半徑，母線長，代入公式求值即可.【詳解】該圓柱的底面半徑，母線長，所以該圓柱體的表面積為.故答案為：.8．已知為雙曲線右支上的一個動點，若點到直線的距離大于恒成立，則實數(shù)的取值范圍是______.【答案】【解析】把所求問題轉(zhuǎn)化為求點到直線的最小距離，結(jié)合平行線間的距離公式可求.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，而直線與平行，平行線間的距離.由題意可知點到直線的距離大于；所以.故答案為：.【點睛】本題主要考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，雙曲線上的點到直線的距離轉(zhuǎn)化為平行直線間的距離，是這類問題的主要求解方向，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).9．已知等差數(shù)列的公差為d，若的方差為8,則d的值為________．【答案】2【分析】試題分析：由公差性質(zhì)的平均數(shù)為，所以方差【解析】等差數(shù)列性質(zhì)及方差10．某科技公司組織技術(shù)人員進行某新項目研發(fā)，技術(shù)人員將獨立地進行項目中不同類型的實驗甲、乙、丙，已知實驗甲、乙、丙成功的概率分別為、、，對實驗甲、乙、丙各進行一次，則至少有一次成功的概率為______．（結(jié)果用最簡分數(shù)表示）【答案】【分析】利用對立事件和獨立事件的概率公式計算．【詳解】記至少有一次成功的概率為事件，實驗甲、乙、丙成功分別為事件由題意，，，．故答案為：．11．在R上可導(dǎo)的函數(shù)的圖象如圖所示，則關(guān)于x的不等式的解集為______．【答案】或【分析】根據(jù)原函數(shù)的圖象可得導(dǎo)數(shù)的符號，從而可求不等式的解.【詳解】由的圖象可得的解為或，的解為.而即為或，故或，故答案為：或12．在平面直角坐標(biāo)系中，若動點到兩直線和的距離之和為，則的最大值為___________.【答案】8【分析】由已知可知兩直線，取在的右側(cè)時，分別過作兩直線的垂線，結(jié)合幾何性質(zhì)確定點軌跡，即可求得的最大值,其他位置同理可得．【詳解】若動點到兩直線和的距離之和為，交點為的斜率分別為，則，在的右側(cè)時，過分別向引垂線，垂足分別為，那么，過作軸的平行線，與交點為如圖，則，所以，其它位置同理，那么點軌跡為正方形，當(dāng)在時，取得最大值，即取得最大值8.故答案為：8．二、單選題13．在空間中，“兩條直線不平行”是“這兩條直線異面”的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分又非必要條件【答案】B【分析】在空間中，“兩條直線不平行”，可得：這兩條直線異面或相交，即可判斷出結(jié)論.【詳解】解：在空間中，“兩條直線不平行”，可得：這兩條直線異面或相交.∴“兩條直線不平行”是“這兩條直線異面”的必要不充分條件.故選：B.【點睛】本題考查了空間中兩條直線位置關(guān)系、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題.14．下列求導(dǎo)數(shù)運算正確的是(

)A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式和導(dǎo)數(shù)四則運算法則即可逐項計算并判斷．【詳解】，，故ABC求導(dǎo)錯誤，D求導(dǎo)正確．故選：D．15．用數(shù)學(xué)歸納法證明某命題時，若當(dāng)時，設(shè)，那么當(dāng)時，可表示為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)和的表達式之間的關(guān)系進行求解即可.【詳解】因為，，所以可以表示為，故選：C16．方程(x+y-1)=0所表示的曲線是

A． B． C． D．【答案】D【詳解】試題分析：由題意得方程，得或，且，所以方程所表示的曲線為選項D，故選D．【解析】曲線與方程．三、解答題17．已知，，函數(shù)的圖像在原點處的切線方程為．(1)求實數(shù)的值；(2)求函數(shù)在上的值域．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得參數(shù)的值；（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，進而可得函數(shù)值域.【詳解】（1）由，得，，所以函數(shù)的圖像在原點處的切線斜率為，又切線方程為，所以；（2）由（1）得，，令，得，，故單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增，，，，所以函數(shù)在上的值域為.18．如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面是正方形，底面ABCD，，E是側(cè)棱的中點.（1）求異面直線AE與PD所成的角；（2）求點B到平面ECD的距離【答案】（1）；（2）.【分析】（1）連接，，交點記作，連接，根據(jù)題意，得到即為異面直線與所成的角，或所成角的補角，由題中數(shù)據(jù)，確定為等邊三角形，即可得出結(jié)果；（2）取中點為，連接，，根據(jù)等體積法求解，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）連接，，交點記作，連接，因為四棱錐底面是正方形，所以為的中點，又是的中點，所以，因此即為異面直線與所成的角，或所成角的補角，因為底面，，所以，，，因此為等邊三角形，所以，即異面直線與所成的角為；（2）取中點為，連接，，則，因為底面，所以底面；又，所以；同理，所以，因此；所以；設(shè)點到平面的距離為，由得，所以，即點到平面的距離為.【點睛】本題主要考查求異面直線所成的角，求點到面的距離，靈活運用幾何法求解即可，屬于?？碱}型.19．某公司今年年初用900萬元購進一批機器設(shè)備用來擴大生產(chǎn)，預(yù)計每年給公司帶來300萬元的收入，為保證機器設(shè)備的正常生產(chǎn)，公司需要每年支付機器設(shè)備的維護費用，第一年需支付60萬元，從第二年起每年的維護費用比上一年增加20萬元，(1)記公司第n（）年支付的維護費用為，求數(shù)列的前n項和；(2)若該公司購進這批機器設(shè)備后的第k（）年的年平均利潤最大，求k的值，并求出年平均利潤最大值（單位：萬元）．【答案】(1)(2)當(dāng)或時，年平均利潤取得最大值為萬元【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列前項和公式求得.（2）先求得年平均利潤的表達式，結(jié)合基本不等式求得年平均利潤的最大值以及此時對應(yīng)的值.【詳解】（1）依題意，公差為，所以.（2）年平均利潤為，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.注意到，經(jīng)檢驗可知，或時，年平均利潤取得最大值為萬元.20．已知橢圓的離心率為，其左右焦點為、，斜率為1的直線經(jīng)過右焦點，與橢圓交于不同的兩點、，的周長為12.(1)求橢圓的方程；(2)求的面積；(3)過點任作與坐標(biāo)軸都不垂直的直線與橢圓交于、兩點，在軸上是否存在一定點，使恰為的平分線？.【答案】(1)；(2)；(3)存在.【分析】（1）由題意可得，可得，由離心率可求，結(jié)合可求，從而可得橢圓的方程；（2）設(shè)，且，由，可得，聯(lián)立直線與橢圓的方程，由韋達定理及即可求解；（3）設(shè)，設(shè)，假設(shè)存在點滿足題意，則，根據(jù)韋達定理即可求解.【詳解】（1）由題意得的周長為12，即，所以，又橢圓的離心率為，即，所以，又，所以，所以橢圓的方程為.（2）由（1）得，則直線的方程為，設(shè)，且，由，得，則，所以，因為，所以，即的面積為.（3）設(shè)，設(shè)，由,得，所以.若點存在，設(shè)，由題意得，所以，所以，即，所以，得，即在軸上存在一定點，使恰為的角平分線.【點睛】解決直線與橢圓的綜合問題時，要注意：(1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個條件，明確確定直線、橢圓的條件；(2)強化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．21．在數(shù)列中，已知，設(shè)為的前n項和．(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)求；(3)是否存在正整數(shù)，使成等差數(shù)列？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．【答案】（1）見解析；（2）；（3）1，2，3【解析】(1)根據(jù)，得.可證是首項為1，公差為－2的等差數(shù)列；(2)由(1)得，得所以，得，運用錯位相減法可求得；(3)假設(shè)存在正整數(shù)，使成等差數(shù)列，則，即，由于當(dāng)時，，可得數(shù)列單調(diào)遞減．再，所以且q至少為2，所以，.討論①當(dāng)時，②當(dāng)時，，可得值.【詳解】(1)因為，所以.又因為，所以，所以是首項為1，公差為－2的等差數(shù)列.(2)由(1)知，所以，所以，所以，兩