2023屆云南省麗江市古城區(qū)高三下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)檢測試題一、單選題1．集合，則A． B． C． D．【答案】C【詳解】試題分析：.選C.【解析】集合的基本運算.2．（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由已知利用誘導(dǎo)公式，特殊角的三角函數(shù)值即可求解．【詳解】.故選：D.3．若函數(shù)與的圖像有三個不同的交點，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)兩個函數(shù)的圖像交點即為相應(yīng)方程的根，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點，構(gòu)造函數(shù)并求導(dǎo)，通過導(dǎo)數(shù)，結(jié)合參數(shù)的取值情況進行分類討論，由此根據(jù)零點考查參數(shù)的取值情況．【詳解】因為函數(shù)與的圖像有三個不同的交點，令，即該函數(shù)有三個不同的零點.因為則，所以在上有兩個零點.當(dāng)時，方程的根一正一負，不符合條件；當(dāng)時，要使?jié)M足條件，則，所以設(shè)的兩個根滿足，因為，所以此時函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.因為，，所以因為，，所以可知綜上可知，，故選：D．4．設(shè)函數(shù)，若是函數(shù)是極大值點，則函數(shù)的極小值為A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)的極大值點為求出參數(shù)的值，然后再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的極小值即可．【詳解】∵，∴，∵是函數(shù)的極大值點，∴，解得，∴，∴當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增；∴當(dāng)時，有極小值，且極小值為．故選A．【點睛】解答類似問題時常犯的錯誤是誤認為導(dǎo)函數(shù)的零點即為函數(shù)的極值點，解題時，在求得導(dǎo)函數(shù)的零點后，還要判斷出導(dǎo)函數(shù)在零點兩側(cè)的符號是否相反，若不相反則可得該零點不是函數(shù)的極值點．5．已知角的終邊經(jīng)過點，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由條件利用任意角的三角函數(shù)的定義，求得和的值，可得的值．【詳解】解：由于角的終邊經(jīng)過點，則，．故選：B．【點睛】本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．6．記全集，集合，集合，則A． B．?C． D．【答案】C【分析】先解一元二次不等式和指數(shù)不等式，再求補集與交集.【詳解】由得或，由得，則，所以，故選C.【點睛】本題考查集合的運算、解一元二次不等式和指數(shù)不等式，其一容易把交集看作并集，概念符號易混淆；其二求補集時要注意細節(jié).7．在中，若，，，則（

）A． B．3 C．6 D．【答案】B【分析】利用余弦定理，代入即得解【詳解】在中，由余弦定理：故即解得或（舍去）故選：B8．如圖是一個正方體的平面展開圖，則在正方體中直線與的位置關(guān)系為（

）A．相交 B．平行 C．異面并且垂直 D．異面但不垂直【答案】D【分析】將展開圖還原成正方體，即可判斷兩直線的位置關(guān)系.【詳解】將展開圖還原成正方體，由下圖可知，直線與的位置關(guān)系是：異面.連接BE，則，或其補角即為直線與的夾角，，所以直線與不垂直.故選：D.二、多選題9．已知由樣本數(shù)據(jù)點集合，求得回歸直線方程為，且，現(xiàn)發(fā)現(xiàn)兩個數(shù)據(jù)點和誤差較大，去除后重新求得的回歸直線的斜率為，則（

）A．變量與具有正相關(guān)關(guān)系B．去除后的回歸方程為C．去除后的估計值增加速度變慢D．去除后相應(yīng)于樣本點的殘差為【答案】ABC【分析】根據(jù)回歸直線一定經(jīng)過樣本中心點，及殘差概念等來逐項判斷.【詳解】對于A選項，因為回歸直線方程為，，所以變量與具有正相關(guān)關(guān)系.故A正確；對于B選項，當(dāng)時，，樣本中心點為，去掉兩個數(shù)據(jù)點和后，樣本中心點還是，又因為去除后重新求得的回歸直線的斜率為，所以，解得，所以去除后的回歸方程為，故B正確；對于C選項，因為，所以去除后的估計值增加速度變慢，故C正確；對于D選項，因為，所以，故D錯誤.故選：ABC.10．下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義即可逐一選項求解.【詳解】對于A,的定義域為R,關(guān)于原點對稱，而，為偶函數(shù)，對于B,的定義域為，關(guān)于原點對稱，且，為奇函數(shù)，對于C，的定義域為R，關(guān)于原點對稱，且，為奇函數(shù)，對于D,的定義域為R，關(guān)于原點對稱，而，不是奇函數(shù)，故選：BC11．如圖，正方體的棱長為1，點是內(nèi)部(不包括邊界)的動點，若，則線段長度的可能取值為(

)A． B． C． D．【答案】ABC【分析】由所給條件探求出動點P的軌跡，然后在三角形中求出點A與動點P的距離范圍得解.【詳解】在正方體AC1中，連接AC，A1C1，，如圖，BD⊥AC，BD⊥AA1，則BD⊥平面ACC1A1，因AP⊥BD，所以平面ACC1A1，又點P是△B1CD1內(nèi)部(不包括邊界)的動點，連接CO，平面B1CD1平面ACC1A1=CO，所以點P在線段CO上(不含點C，O)，連接AO，在等腰△OAC中，，而底邊AC上的高為1，腰OC上的高，從而有，都符合，不符合.故選：ABC【點睛】幾何體中定點到符合某個條件的動點的距離問題，先探求出符合所給條件的動點軌跡，再轉(zhuǎn)化成平面問題解決，探求軌跡是關(guān)鍵.12．隨著我國經(jīng)濟結(jié)構(gòu)調(diào)整和方式轉(zhuǎn)變，社會對高質(zhì)量人才的需求越來越大，因此考研現(xiàn)象在我國不斷升溫．某大學(xué)一學(xué)院甲、乙兩個本科專業(yè)，研究生的報考和錄取情況如下表，則性別甲專業(yè)報考人數(shù)乙專業(yè)報考人數(shù)性別甲專業(yè)錄取率乙專業(yè)錄取率男100400男女300100女A．甲專業(yè)比乙專業(yè)的錄取率高 B．乙專業(yè)比甲專業(yè)的錄取率高C．男生比女生的錄取率高 D．女生比男生的錄取率高【答案】BC【分析】根據(jù)數(shù)據(jù)進行整合，甲專業(yè)錄取了男生25人，女生90人；乙專業(yè)錄取了男生180人，女生50人；結(jié)合選項可得結(jié)果.【詳解】由題意可得甲專業(yè)錄取了男生25人，女生90人；乙專業(yè)錄取了男生180人，女生50人；甲專業(yè)的錄取率為，乙專業(yè)的錄取率為，所以乙專業(yè)比甲專業(yè)的錄取率高.男生的錄取率為，女生的錄取率為，所以男生比女生的錄取率高.故選：BC.【點睛】本題主要考查頻數(shù)分布表的理解，題目較為簡單，明確錄取率的計算方式是求解的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng).三、填空題13．設(shè)函數(shù)若，則實數(shù)_______.【答案】【分析】分類討論當(dāng)時，由已知可知，那么，求得此時a值，同理當(dāng)時，表示，此時無解，綜上得答案.【詳解】因為當(dāng)時，，由，可得，即，此時當(dāng)時，，由，可得，此時無解綜上所述：故答案為：【點睛】本題考查分段函數(shù)中復(fù)合函數(shù)給值求參問題，應(yīng)借助分類討論思想分別表示已知關(guān)系式，屬于較難題.14．已知拋物線的焦點為F，K為C的準線l與x軸的交點，過點K且傾斜角為45°的直線與C點僅有一個公共點，則__________.【答案】6【分析】根據(jù)過點K的直線的傾斜角為45°，設(shè)直線方程為，與拋物線方程聯(lián)立求解.【詳解】因為拋物線的焦點為F，K為C的準線l與x軸的交點，所以，因為過點K的直線的傾斜角為45°，所以設(shè)直線方程為，由，得，即，所以，又，交點，即.故答案為：6.15．若一直線與曲線和曲線相切于同一點，則的值為______．【答案】【詳解】設(shè)切點，則由，得，由，得，則有，解得，故的值為．16．曲線在處的切線方程為_____________.【答案】【分析】求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得出答案.【詳解】解：，當(dāng)時，，所以曲線在處的切線方程為，即.故答案為：.四、解答題17．如圖所示，直角梯形中，，，，四邊形為矩形，，平面平面．（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）根據(jù)長度以及角度關(guān)系先求解出，然后利用勾股定理證明，利用面面垂直的性質(zhì)定理可證明，由線面垂直的判定定理可證明平面，則面面垂直可證；（2）建立合適空間直角坐標(biāo)系，分別求解出平面、平面的一個法向量，根據(jù)法向量夾角的余弦值求解出二面角的余弦值.【詳解】（1）證明：連接，依題可得，，，，，，平面平面，平面平面，又四邊形為矩形，，平面，，，平面，且平面，平面平面．（2）取中點，連接．如圖，以為原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，設(shè)平面的一個法向量為，，不妨設(shè)，，則，；設(shè)平面的一個法向量為，，不妨設(shè)，則，，，設(shè)向量與的夾角為，，結(jié)合圖形可知二面角為鈍二面角，二面角的余弦值為．【點睛】思路點睛：向量方法求解二面角的余弦值的步驟：（1）建立合適空間直角坐標(biāo)系，寫出二面角對應(yīng)的兩個半平面中相應(yīng)點的坐標(biāo)；（2）設(shè)出法向量，根據(jù)法向量垂直于平面中任意方向向量，求解出半平面的一個法向量；（注：若半平面為坐標(biāo)平面，直接取法向量亦可）（3）計算（2）中兩個法向量夾角的余弦值，結(jié)合立體圖形中二面角的實際情況，判斷二面角是鈍角還是銳角，從而得到二面角的余弦值.18．已知函數(shù)（為常數(shù)），且在點處的切線平行于軸．（1）求實數(shù)的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．【答案】（1）；（2）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為．【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，即可求得實數(shù)的值；（2）利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可.【詳解】解：（1）∵，∴；又∵在點處的切線平行于軸，∴，得．（2）由（1）知，∴；由，得或；由，．∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為．19．根據(jù)國家工信部關(guān)于全面推行中國特色企業(yè)新型學(xué)徒制，加強技能人才培養(yǎng)的通知．我區(qū)明確面向各類企業(yè)全面推行企業(yè)新型學(xué)徒制培訓(xùn)，深化產(chǎn)教融合，校企合作，學(xué)徒培養(yǎng)目標(biāo)以符合企業(yè)崗位需要的中、高級技術(shù)工人.2020年度某企業(yè)共需要學(xué)徒制培訓(xùn)200人，培訓(xùn)結(jié)束后進行考核，現(xiàn)對考核取得相應(yīng)崗位證書進行統(tǒng)計，統(tǒng)計情況如下表：崗位證書初級工中級工高級工技師高級技師人數(shù)2060604020(1)現(xiàn)從這200人中采用分層抽樣的方式選出10人組成學(xué)習(xí)技能經(jīng)驗交流團，求交流團中取得技師類(包括技師和高級技師)崗位證書的人數(shù)．(2)再從（1）選出的10人交流團中任意抽出3人作為代表發(fā)言，記這3人中技師類的人數(shù)為X，求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)3；(2)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望是：.【分析】（1）根據(jù)題意，求得抽樣比，再根據(jù)技師類人數(shù)即可求得技師類抽取的人數(shù)；（2）求得隨機變量X的取值，利用超幾何分布的概率計算公式求得分布列，再根據(jù)分布列求得數(shù)學(xué)期望即可.【詳解】（1）從200人中采用分層抽樣的方式選出10人，故抽樣比是，故技師和高級技師應(yīng)該抽取的人數(shù)是：人.（2）根據(jù)（1）中所求，人中有人是技師，人是非技師.則從人中抽取人，技師人數(shù)可以取：.，，，.故的分布列如下所示：0123則.故隨機變量X的數(shù)學(xué)期望是.20．在三棱柱中，側(cè)面，，，．（1）求證：；（2）若E為棱的中點，且與平面所成角的正弦值為，求二面角的大?。敬鸢浮浚?）證明見詳解；（2）.【分析】（1）利用邊長關(guān)系、勾股定理證明，結(jié)合側(cè)面，建立空間直角坐標(biāo)系證明，即證結(jié)論；（2）先利用平面的法向量與成角的余弦值的絕對值等于，解出長度，再利用平面與平面的法向量所成的角求二面角的大小即可.【詳解】解：（1）三角形中，，，，利用余弦定理可得，，即，故，又側(cè)面，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，設(shè),.則，，，，則，故，所以，即；（2）由，，且相交于平面內(nèi)，故平面，即是平面的法向量，由E為棱的中點知，，因為與平面所成角的正弦值為，則，故，解得，則，，,設(shè)平面法向量為，由得，即，設(shè)平面的法向量為，由得，即，則，又由圖可知二面角是銳二面角，故二面角的大小為.【點睛】方法點睛：求空間角的常用方法：（1）定義法，由異面直線所成角、線面角、二面角的定義，結(jié)合圖形，作出所求空間角，再結(jié)合題中條件，解對應(yīng)三角形，即可求出結(jié)果；（2）向量法：建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，通過計算向量夾角（直線方向向量與直線方向向量、直線方向向量與平面法向量，平面法向量與平面法向量）余弦值，即可求出結(jié)果.21．如圖，在直四棱柱中，底面為矩形，，在棱上．（1）若為的中點，求證：平面平面；（2）若二面角的余弦值為時，求的長．【答案】（1）證明見解析；（2）．【分析】（1）證明出平面，利用面面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）取D為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用空間向量法可得出關(guān)于實數(shù)的等式，由此可解得實數(shù)的值，進而可求得的長.【詳解】（1）證明：在矩形中，為中點，由題設(shè)得，，又，，即，由題意可知，四棱柱為長方體，則平面，平面，，，平面，平面，平面平面；（2）取D為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．則、、、、，設(shè)，則，顯然平面的一個法向量為，設(shè)平面的一個法向量為，，，由，令，可得，又二面角的余弦值為，設(shè)二面角的大小為，，，解得，因此，.【點睛】思路點睛：利用空間向量法求解二面角的步驟如下：（1）建立合適的空間直角坐標(biāo)系，寫出二面角對應(yīng)的兩個半平面中對應(yīng)的點的坐標(biāo)；（2）設(shè)出法向量，根據(jù)法向量垂直于平面內(nèi)兩條直線的方向向量，求解出平面的法向量（注：若半平面為坐標(biāo)平面，直接取法向量即可）；（3）計算（2）中兩個法向量的余弦值，結(jié)合立體圖形中二面角的實際情況，判斷二面角是銳角還是鈍角，從而得到二面角的余弦值.22．已知為等差數(shù)列，數(shù)列的前和為，___________.在①，②這兩個條件中任選其中一個，補充在上面的橫線上，并完成下面問題的解答(如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分).（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.【答案】條件選擇見解析；（1），；（2）.【解析】選①（1）由等差數(shù)列的基本量法求出公差后可得通項公式，再利用確定數(shù)列是等比數(shù)列，從而得出通項公式；（2）用分組（并項）求和法求和．選②（1）由等差數(shù)列的基本量法求出公差后可得通項公式，由求得，從而得通項公式，并并確定其是等比數(shù)列；（2）用分組（并項）求和法求和．【詳解】解：選①解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，，，由，得，當(dāng)時，，即，所以是一個以2為首