千里之行，始于足下讓知識(shí)帶有溫度。第第2頁/共2頁精品文檔推薦導(dǎo)數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)經(jīng)典例題及解析近年高考題帶答案導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

【考綱說明】

1、了解導(dǎo)數(shù)概念的某些實(shí)際背景（如瞬時(shí)速度，加速度，光潔曲線切線的斜率等）；把握函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的定義和導(dǎo)數(shù)的幾何意義；理解導(dǎo)函數(shù)的概念。

2、熟記八個(gè)基本導(dǎo)數(shù)公式；把握兩個(gè)函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則，了解復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，會(huì)求某些容易函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

3、理解可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；了解可導(dǎo)函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的須要條件和充分條件(導(dǎo)數(shù)在極值點(diǎn)兩側(cè)異號(hào))；會(huì)求一些實(shí)際問題(普通指單峰函數(shù))的最大值和最小值。

【學(xué)問梳理】

函數(shù)y=f(x),假如自變量x在x0處有增量x?，那么函數(shù)y相應(yīng)地有增量y?=f（x0+x?）－f

（x0），比值xy

??叫做函數(shù)y=f（x）在x0到x0+x?之間的平均變化率，即

xy??=xxfxxf?-?+)()(00。假如當(dāng)0→?x時(shí)，xy??有極限，我們就說函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處可

導(dǎo)，并把這個(gè)極限叫做f（x）在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f’（x0）或y’|0xx=。

即f（x0）=0lim→?xxy

??=0lim→?xxxfxxf?-?+)()(00。

說明：

（1）函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，是指0→?x時(shí)，xy??有極限。假如xy

??不存在極限，就說

函數(shù)在點(diǎn)x0處不行導(dǎo)，或說無導(dǎo)數(shù)。

（2）x?是自變量x在x0處的轉(zhuǎn)變量，0≠?x時(shí)，而y?是函數(shù)值的轉(zhuǎn)變量，可以是零。由導(dǎo)數(shù)的定義可知，求函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的步驟：（1）求函數(shù)的增量y?=f（x0+x?）－f（x0）；

（2）求平均變化率xy??=xxfxxf?-?+)

()(00；

（3）取極限，得導(dǎo)數(shù)f’(x0)=xy

x??→?0lim

。

二、導(dǎo)數(shù)的幾何意義

函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線y=f（x）在點(diǎn)p（x0，f（x0））處的切線的斜率。也就是說，曲線y=f（x）在點(diǎn)p（x0，f（x0））處的切線的斜率是f’（x0）。相應(yīng)地，切線方程為y－y0=f/（x0）（x－x0）。三、幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

①0;C'=②()1;nnxnx-'=③(sin)cosxx'=;④(cos)sinxx'=-;⑤();x

x

ee'=⑥()lnx

x

aaa'=;⑦

()1lnxx'=

;⑧()1

lglogaaoxex'=.

四、兩個(gè)函數(shù)的和、差、積的求導(dǎo)法則

法則1：兩個(gè)函數(shù)的和(或差)的導(dǎo)數(shù),等于這兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和(或差)，

即：(

.)'

''vuvu±=±法則2：兩個(gè)函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù),等于第一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘以其次個(gè)函數(shù),加上第一個(gè)函數(shù)乘以

其次個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即：

.)('

''uvvuuv+=若C為常數(shù),則'

''''0)(CuCuCuuCCu=+=+=.即常數(shù)與函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)等于常數(shù)乘以函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

.)('

'CuCu=法則3：兩個(gè)函數(shù)的商的導(dǎo)數(shù)，等于分子的導(dǎo)數(shù)與分母的積，減去分母的導(dǎo)數(shù)與分子的積，

再除以分母的平方：?????vu‘=2

'

'vuvvu-（v≠0）。

形如y=f[x(?])的函數(shù)稱為復(fù)合函數(shù)。復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)步驟：分解——求導(dǎo)——回代。法則：y＇|x=y＇|u·u＇|x五、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用1、單調(diào)區(qū)間：

普通地，設(shè)函數(shù))(xfy=在某個(gè)區(qū)間可導(dǎo)，

假如'

f)(x0>，則)(xf為增函數(shù)；假如'f0)(0，且x≠1時(shí)，f(x)>xk

xInx+-1，求k的取值范圍。

【解析】(1)f,(x)=

2

2)1()

1

(

xbxInxxxa-+-+因?yàn)橹本€x+2y-3=0的斜率為2

1-，且過點(diǎn)(1,1)，故即解得a=1，b=1。

(2)由（1）知ln11xxx++，所以22

ln1(1)(1)()()(2ln)11xkkxfxxxxxx

+=+--?？紤]函數(shù)()2lnhxx=+2(1)(1)kxx--(0)x>，則22

(1)(1)2'()kxx

hxx

-++=。(i)設(shè)0k≤，由22

2

(1)(1)'()kxxhxx+--=知，當(dāng)1x≠時(shí)，'()0hx，可得

2

1

()01hxx>-；當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，h（x）0

從而當(dāng)x>0,且x≠1時(shí)，f（x）-（1ln-xx+xk）>0，即f（x）>1ln-xx+xk

.

（ii）設(shè)00,故h’（x）>0,而h（1）

=0，故當(dāng)x∈（1，k-11）時(shí)，h（x）>0，可得2

11

x-h（x）0,而h（1）=0，故當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，h（x）>0，可得2

11

x

-h（x）--='xxxf；當(dāng)1>x時(shí)，0ln11

)(>+≥≤-xexxxx，210)(-+.

（Ⅰ）求函數(shù)()fx的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若直線10xy--=是曲線()yfx=的切線，求實(shí)數(shù)a的值；

（Ⅲ）設(shè)2

()ln()gxxxxfx=-，求()gx在區(qū)間[1,e]上的最大值.（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

【解析】（Ⅰ）

3(2)

()axfxx-'=

，（0x≠），在區(qū)間(,0)-∞和(2,)+∞上，()0fx'.所以，()fx的單調(diào)遞減區(qū)間是(,0)-∞和(2,)+∞，單調(diào)遞增區(qū)間是(0,2).

（Ⅱ）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為00(,)xy，則00

2

0000

3

0(1)10(2)

1axyxxyaxx-?=???

--=??-?=??解得01x=，1a=.

（Ⅲ）()gx=ln(1)xxax--，則()ln1gxxa'=+-解()0gx'=，得1eax-=，

所以，在區(qū)間1

(0,e)a-上，()gx為遞減函數(shù)，在區(qū)間

1(e,)a-+∞上，()gx為遞增函數(shù).當(dāng)1

e

1a-≤，即01a，解得

ee1a故()fx在(,2)-∞-上為增函數(shù)；當(dāng)

(2,2)x∈-時(shí),()0fx'，故()fx在(2,)+∞上為增函數(shù)。

由此可知()fx在12x=-處取得極大值(2)16fc-=+，()fx在22x=處取得微小值

(2)16fc=-由題設(shè)條件知1628c+=得12c=，

此時(shí)(3)921,(3)93fcfc-=+==-+=,(2)164fc=-=-因此()fx上[3,3]-的最小值為

(2)4f=-。

【例7】（2022安徽）設(shè)()1x

efxax

=+，其中a為正實(shí)數(shù)

（Ⅰ）當(dāng)a4

3

=

時(shí)，求()fx的極值點(diǎn)；（Ⅱ）若()fx為R上的單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍。

【解析】（1）f'(x)=x

2

22ax1e

12ax-ax）

（）（++當(dāng)a=34時(shí)令f'(x)=0解得x=21或x=23當(dāng)x????

?

∞∈21-，時(shí)，f'(x)>0;當(dāng)x?????∈2321，時(shí)，f'(x)0,所以f(x)在x=21處取得極大值，在x=23處取得微小值。

（2）若()fx為R上的單調(diào)函數(shù)則f'(x)恒大于等于零或f'(x)恒小于等于零，由于a>0所以Δ=（-2a）2-4a≤0，解得0【課堂練習(xí)】

一、挑選題

1.（2022全國(guó)）曲線y=e-2x+1在點(diǎn)(0,2)處的切線與直線y=0和y=x圍成的三角形的面積為（）A31B21C3

2D1

2.（2022課標(biāo)全國(guó)）曲線2

+=

xx

y在點(diǎn)(-1,-1)處的切線方程為（）Ay=2x+1By=2x-1Cy=-2x-3Dy=-2x-2

3.（2022陜西）設(shè)函數(shù)f(x)=xex

,則（）

Ax=1為f(x)的極大值Bx=1為f(x)的微小值Cx=-1為f(x)的極大值Dx=-1為f(x)的極大值4.（2022廣東理）設(shè)Ra∈，若函數(shù)xeyax3+=，Rx∈有大于零的極值點(diǎn)，則（）

A．3->a3->a3

1

-6.（2022湖南理科）設(shè)f(x)、g(x)分離是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù),當(dāng)x＜0時(shí),

)()()()(xgxfxgxf'+'＞0.且()03g=-，.則不等式f(x)g(x)＜0的解集是（）

A),3()0,3(+∞?-

B)3,0()0,3(?-

C)∞+,3(∪)3,∞(

D)3,0(∪)3,∞(

7.（2022海南、寧夏理）曲線12

exy=在點(diǎn)2(4e)，處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為（）

Ａ．29e2

Ｂ．24e

Ｃ．22e

D.2e

8.（2022湖北理）若f(x)=21

ln(2)2

xbx-++∞在(-1,+)上是減函數(shù)，則b的取值范圍是（）

A.[-1，+∞]

B.（-1，+∞）Ｃ.(]1,-∞-D.（-∞，-1）

9．（2022江西理科）已知函數(shù))(xfxy'=的圖像如右圖所示（其中)(xf'是函數(shù)))(的導(dǎo)函數(shù)xf，

下面四個(gè)圖象中)(xfy=的圖象大致是（）ABＣD

（1）（2022江西、天津理科）右圖中陰影部分的面積是（）

A32

B329-

C332

D3

35

二、填空題：

11.（2022湖北文）已知函數(shù))(xfy=的圖象在M（1，f（1））

處的

切線方程是xy2

1

=+2，f(1)—f’(1)=______________.

12.（2022湖南理）函數(shù)3()12fxxx=-在區(qū)間[33]-，上的最小值是.

13.（2022全國(guó)Ⅱ卷理）設(shè)曲線axye=在點(diǎn)(01)，

處的切線與直線210xy++=垂直，則a=.

14.（2022湖北文）半徑為r的圓的面積S(r)＝πr2,周長(zhǎng)C(r)=2πr，若將r看作(0，＋∞)上的變量，則)r(2'?π＝2πr，式可以用語言講述為：

對(duì)于半徑為R的球，若將R看作(0，＋∞)上的變量，請(qǐng)你寫出類似于的式子：式可以用語言講述為：.三、解答題：

15.（2022重慶文）某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，已知該產(chǎn)品的月生產(chǎn)量x(噸)與每噸產(chǎn)品的價(jià)格

p(元/噸)之間的關(guān)系式為：21

242022

px=-,且生產(chǎn)x噸的成本為50000200Rx=+（元）。

問該產(chǎn)每月生產(chǎn)多少噸產(chǎn)品才干使利潤(rùn)達(dá)到最大？最大利潤(rùn)是多少？（利潤(rùn)=收入─成本)。16.（2022重慶文）設(shè)函數(shù)32()91(0).fxxaxxa=+--p若曲線y=f(x)的斜率最小的切線與直線12x+y=6平行，求：（Ⅰ）a的值;

（Ⅱ）函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.

17.（2022全國(guó)Ⅰ卷文、理）已知函數(shù)32()1fxxaxx=+++，a∈R．（Ⅰ）研究函數(shù)()fx的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）設(shè)函數(shù)()fx在區(qū)間2133??

--??

?，內(nèi)是減函數(shù)，求a的取值范圍．3.（2022浙江理）設(shè)曲線xeyx(-=≥0）在點(diǎn)M（t,t-e）處的切線l與x軸y軸所圍成的三角形面積為S（t）。

（Ⅰ）求切線l的方程；（Ⅱ）求S（t）的最大值。

19.（2022海南、寧夏文）設(shè)函數(shù)2()ln(23)fxxx=++（Ⅰ）研究()fx的單調(diào)性；

（Ⅱ）求()fx在區(qū)間3144??

-????

，的最大值和最小值．

20.（2022安徽理）設(shè)a≥0，f(x)=x－1－ln2x＋2alnx（x>0）.

（Ⅰ）令F（x）＝xf＇（x），研究F（x）在（0.＋∞）內(nèi)的單調(diào)性并求極值；（Ⅱ）求證：當(dāng)x>1時(shí)，恒有x>ln2x－2alnx＋1.

【課后作業(yè)】

一、挑選題

1.（2022全國(guó)卷Ⅰ文）函數(shù)93)(23-++=xaxxxf,已知)(xf在3-=x時(shí)取得極值,則a=()A2

B3

C4

D5

2．(2022海南、寧夏文）設(shè)()lnfxxx=，若0'()2fx=，則0x=（）A2e

BeC

ln2

2

Dln2

3．（2022廣東）函數(shù)13)(23+-=xxxf是減函數(shù)的區(qū)間為（）A),2(+∞B)2,(-∞C)0,(-∞D(zhuǎn)（0，2）

4.（2022安徽文）設(shè)函數(shù)1

()21(0),fxxxx

=+-0時(shí)，f’(x)>0，g’(x)>0，則x0，g’(x)>0Bf’(x)>0，g’(x)0Df’(x)0）有極大值9.（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）若斜率為-5的直線是曲線()yfx=的切線，求此直線方程.

【參考答案】

【課堂練習(xí)】一、挑選

1—10AADBDDDCCC(2)填空

（1）3；12．16-；；14.23R4R34ππ='??

?

??,球的體積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于球的表面積函數(shù)

三、解答題

15.解：每月生產(chǎn)x噸時(shí)的利潤(rùn)為)20220000()5

1

24200()(2xxxxf+--=

0)(200),0[)(='=+∞xfxxf使內(nèi)惟獨(dú)一個(gè)點(diǎn)在因，故它就是最大值點(diǎn)，且最大值為：

)(31500005000020224000)200(5

1

)200(3元=-?+-=f

答：每月生產(chǎn)200噸產(chǎn)品時(shí)利潤(rùn)達(dá)到最大，最大利潤(rùn)為315萬元.

16.解：(Ⅰ)由于2

2

()91fxxaxx=+--,所2

()329fxxax'=+-2

23()9.33

aax=即當(dāng)

2

()9.33aaxfx'=時(shí)，取得最小值因斜率最小的切線與126xy+=平行，即該切線的斜率

為-12，所以2

2912,9.3

aa--=-=即解得3,0,3.aaa=±，()0fx'=求得兩根為23

3

aax-±-=

即()fx在23aa?∞?

?

，遞增,2233aaaa+-?

?

，遞減,23aa?-+-+∞???

?

遞增（2）要使f(x)在在區(qū)間2133??--???，內(nèi)是減函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)，0)(0,當(dāng)∈t（1,+∞）時(shí),)(tS'；當(dāng)1

12x--時(shí)，()0fx'>．

從而，()fx分離在區(qū)間312??--???，，1

2??-+???，

∞單調(diào)增強(qiáng)，在區(qū)間112??--???，單調(diào)削減．（Ⅱ）由（Ⅰ）知()fx在區(qū)間3144??

-????

，的最小值為

11ln224f??

-=+???

．

又31397131149lnlnln1ln442162167226ff??

??

??--

=+--=+=-???????

??03，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為（－∞，－1），（3，＋∞）．

（II）由于f(－2)＝8＋12－18＋a=2＋a，f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，

所以f(2)>f(－2)．由于在（－1，3）上f‘(x)>0，所以f(x)在[－1,2]上單調(diào)遞增，又因?yàn)閒(x)在[－2，－1]上單調(diào)遞減，

因此f(2)和f(－1)分離是f(x)在區(qū)間[－2，2]上的最大值和最小值，于是有22＋a＝20，解得a＝－2．

故f(x)=－x3＋3x2＋9x－2，因此f(－1)＝1＋3－9－2＝－7，即函數(shù)f(x)在區(qū)間[－2，2]上的最小值為－7．

16.解（Ⅰ）∵()32fxxbxcx=++，∴()232fxxbxc'=++。從而

322()()()(32)gxfxfxxbxcxxbxc'=-=++-++＝32(3)(2)xbxcbxc+-+--是一個(gè)奇函數(shù)，所以(0)0g=得0c=，由奇函數(shù)定義得3b=；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知3()6gxxx=-，從而2()36gxx'=-，由此可知，

(,-∞和)+∞是函數(shù)()gx是單調(diào)遞增區(qū)間；(是函數(shù)()gx是單調(diào)遞