2021年廣東省廣州市南洋英文中學(xué)高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.如果等差數(shù)列中，，那么(

)（A）14

（B）21

（C）28

（D）35參考答案：2.已知AD是ΔABC的中線(xiàn)，若∠A=120°，，則的最小值是(

)A．1 B．2 C．

D．參考答案：A3.若復(fù)數(shù)

（

）參考答案：B4.已知雙曲線(xiàn)的兩個(gè)焦點(diǎn)為、，是此雙曲線(xiàn)上的一點(diǎn)，且滿(mǎn)足，，則該雙曲線(xiàn)的方程是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A5.“?=”是“f（x）=Asin（ωx+?）是偶函數(shù)”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件

D．既不充分又不必要條件參考答案：A【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】根據(jù)充要條件的定義，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得答案．【解答】解：當(dāng)“”時(shí)，“f（x）=Asin（ωx+?）=Acosωx是偶函數(shù)”，“f（x）=Asin（ωx+?）是偶函數(shù)”時(shí)，“+kπ，k∈Z”，故“”是“f（x）=Asin（ωx+?）是偶函數(shù)”的充分不必要條件，故選：A6.在三棱錐A-BCD中，平面ABC⊥平面BCD，△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，若，三棱錐的各個(gè)頂點(diǎn)均在球O上，則球O的表面積為（

）A. B.3π C.4π D.參考答案：D【分析】先記外接圓圓心為，△ABC外接圓圓心為，連結(jié)，，取中點(diǎn)，連結(jié)，根據(jù)題意證明且，再設(shè)三棱錐外接球半徑為，根據(jù)求出外接球半徑，進(jìn)而可求出外接球表面積.【詳解】記外接圓圓心為，△ABC外接圓圓心為，連結(jié)，，則平面，平面；取中點(diǎn)，連結(jié)，因?yàn)椤鰽BC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，所以過(guò)點(diǎn)，且；在中，，，設(shè)外接圓為，則，所以，故，所以有，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，且；又平面平面，所以平面，平面；因此且.設(shè)三棱錐外接球半徑為，則，因此，球的表面積為.故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查幾何體外接球的相關(guān)計(jì)算，熟記球的特征，以及球的表面積公式即可，屬于?？碱}型.7.已知參加某項(xiàng)活動(dòng)的六名成員排成一排合影留念，且甲乙兩人均在丙領(lǐng)導(dǎo)人的同側(cè)，則不同的排法共有（

）A．240種

B．360種

C.480種

D．600種參考答案：C8.若集合中元素的個(gè)數(shù)為（） A．3個(gè) B． 2個(gè) C． 1個(gè) D． 0個(gè)參考答案：考點(diǎn)： 集合中元素個(gè)數(shù)的最值．專(zhuān)題： 計(jì)算題；集合．分析： 先求出集合A，由集合B的定義求出元素即可．解答： 解：∵集合，∴A={1，2，3，4，5，6}B={1，2，4}；故選：A．點(diǎn)評(píng)： 本題考查了集合的化簡(jiǎn)與集合中元素的求法，屬于基礎(chǔ)題．9.已知定義在R上的奇函數(shù)滿(mǎn)足，且在區(qū)間[1,2]上是減函數(shù)，令，，，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．參考答案：C∵是上的奇函數(shù)，且滿(mǎn)足，∴，∴函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，∵函數(shù)在區(qū)間是減函數(shù)，∴函數(shù)在上為增函數(shù)，且，由題知，，，∴．10.如圖是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（）A．12 B．15 C．18 D．21參考答案：C【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積．【分析】由已知中的三視圖可得：該幾何體是一個(gè)長(zhǎng)寬高分別為4，3，3的長(zhǎng)方體，切去一半得到的，進(jìn)而得到答案．【解答】解：由已知中的三視圖可得：該幾何體是一個(gè)長(zhǎng)寬高分別為4，3，3的長(zhǎng)方體，切去一半得到的，其直觀(guān)圖如下所示：其體積為：×4×3×3=18，故選：C【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是棱錐的體積與表面積，簡(jiǎn)單幾何體的三視圖，難度中檔．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.為了參加全市的中學(xué)生創(chuàng)新知識(shí)競(jìng)賽，綿陽(yáng)一中舉行選拔賽，共有2000名學(xué)生參加.為了了解成績(jī)情況，從中抽取了50名學(xué)生成績(jī)（得分均為整數(shù)，滿(mǎn)分100分）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)請(qǐng)你根據(jù)如下表所示未完成的頻率分布表，估計(jì)該校成績(jī)超過(guò)80分的人數(shù)為_(kāi)_____.參考答案：88012.若等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù),且,則

.參考答案：50略13.若對(duì)任意實(shí)數(shù)x，不等式|x+3|+|x﹣1|≥a2﹣3a恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為．參考答案：[﹣1，4]【考點(diǎn)】函數(shù)恒成立問(wèn)題．【專(zhuān)題】不等式的解法及應(yīng)用．【分析】由絕對(duì)值的集合意義求得|x+3|+|x﹣1|的最小值，把不等式|x+3|+|x﹣1|≥a2﹣3a恒成立轉(zhuǎn)化為a2﹣3a≤4，求解該不等式得答案．【解答】解：由絕對(duì)值的幾何意義知，|x+3|+|x﹣1|表示數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)x與兩定點(diǎn)﹣3，1的距離，則|x+3|+|x﹣1|的最小值為4，要使不等式|x+3|+|x﹣1|≥a2﹣3a恒成立，則a2﹣3a≤4，即a2﹣3a﹣4≤0，解得：﹣1≤a≤4．∴滿(mǎn)足對(duì)任意實(shí)數(shù)x，不等式|x+3|+|x﹣1|≥a2﹣3a恒成立的實(shí)數(shù)a的取值范圍為[﹣1，4]．故答案為：[﹣1，4]．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)恒成立問(wèn)題，考查了絕對(duì)值的幾何意義，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．14.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為

.參考答案：略15.已知定義域?yàn)椋ī仭蓿?∞）的偶函數(shù)f（x）的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間是（2，6），關(guān)于函數(shù)y=f（2﹣x）①一個(gè)遞減區(qū)間是（4，8）②一個(gè)遞增區(qū)間是（4，8）③其圖象對(duì)稱(chēng)軸方程為x=2

④其圖象對(duì)稱(chēng)軸方程為x=﹣2其中正確的序號(hào)是．參考答案：②③【考點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．【分析】根據(jù)條件即可判斷出f（x）在（﹣6，﹣2）上遞減，并且其圖象關(guān)于x=0對(duì)稱(chēng)，這樣分別解﹣6＜2﹣x＜﹣2和2﹣x=0即可求出函數(shù)y=f（2﹣x）的一個(gè)遞增區(qū)間和圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程．【解答】解：解2＜2﹣x＜6得，﹣4＜x＜0；解﹣6＜2﹣x＜﹣2得，4＜x＜8；∵f（x）是偶函數(shù)，在（2，6）上遞增；∴f（x）在（﹣6，﹣2）上遞減；∴y=f（2﹣x）在（4，8）上遞增；f（x）關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，即關(guān)于x=0對(duì)稱(chēng)；解2﹣x=0得，x=2；∴y=f（2﹣x）關(guān)于x=2對(duì)稱(chēng)；即函數(shù)y=f（2﹣x）的對(duì)稱(chēng)軸為x=2；∴②③正確．故答案為：②③．16.已知x，y滿(mǎn)足約束條件，且z=2x+4y的最小值為6，則常數(shù)k=．參考答案：﹣3【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線(xiàn)性規(guī)劃．【專(zhuān)題】數(shù)形結(jié)合．【分析】由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線(xiàn)方程斜截式，由圖得到可行域內(nèi)的最優(yōu)解，求出最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)后由z的值等于6求得k的值．【解答】解：由約束條件作可行域如圖，圖中以k=0為例，可行域?yàn)椤鰽BC及其內(nèi)部區(qū)域，當(dāng)k＜0，邊界AC下移，當(dāng)k＞0時(shí)，邊界AC上移，均為△ABC及其內(nèi)部區(qū)域．由z=2x+4y，得直線(xiàn)方程，由圖可知，當(dāng)直線(xiàn)過(guò)可行域內(nèi)的點(diǎn)A時(shí)，z最?。?lián)立，得A（3，﹣k﹣3）．∴zmin=2×3+4（﹣k﹣3）=﹣4k﹣6=6，解得k=﹣3．故答案為：﹣3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了簡(jiǎn)單的線(xiàn)性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，體現(xiàn)了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想方法，是中檔題．17.某工廠(chǎng)生產(chǎn)A，B，C三種不同型號(hào)的產(chǎn)品，產(chǎn)品數(shù)量之比依次為2:3:5，現(xiàn)用分層抽樣方法抽出一個(gè)容量為n的樣本，樣本中A種型號(hào)的產(chǎn)品有16件，那么此樣本的容量n＝

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．參考答案：80三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（12分）數(shù)列{an}各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和為Sn，且滿(mǎn)足2anSn－a＝1.（1）求證數(shù)列{S}為等差數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn，并求使對(duì)所有的n∈N*都成立的最大正整數(shù)m的值．參考答案：19.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線(xiàn)l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），在以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，圓C的方程為ρ=2sinθ．（Ⅰ）寫(xiě)出直線(xiàn)l的普通方程和圓C的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）若點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為（1，0），圓C與直線(xiàn)l交于A、B兩點(diǎn)，求|PA|+|PB|的值．參考答案：【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程；參數(shù)方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）把直線(xiàn)l的參數(shù)方程消去參數(shù)t可得，它的直角坐標(biāo)方程；把圓C的極坐標(biāo)方程依據(jù)互化公式轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程．（Ⅱ）把直線(xiàn)l方程與圓C的方程聯(lián)立方程組，求得A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，可得|PA|+|PB|的值．【解答】解：（Ⅰ）∵直線(xiàn)l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），消去參數(shù)t可得3x+y﹣3=0．圓C的方程為ρ=2sinθ，即ρ2=2ρsinθ，即x2+y2=2y，即x2+=3．（Ⅱ）由求得，或，故可得A（，﹣）、B（﹣，+）．∵點(diǎn)P（1，0），∴|PA|+|PB|=+=（2﹣）+（2+）=4．20.(本小題滿(mǎn)分12分)已知函數(shù)（Ⅰ）若函數(shù)的定義為R，求函數(shù)的值域；（Ⅱ）函數(shù)在區(qū)間上是不是單調(diào)函數(shù)？請(qǐng)說(shuō)明理由參考答案：(1）–2,所以，值域?yàn)椤?分（2）在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)證法一：設(shè)，可知：當(dāng)時(shí)，，所以，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，所以，單調(diào)遞減.所以，在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù).……12分（證法二：∵,且，∴在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)）21.（本小題滿(mǎn)分7分）選修4—5：不等式選講已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最小值；（2）若正實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，求證：.參考答案：（1）；（2）證明略.試題分析：（1）不等式的在求最值方面的應(yīng)用；（2）柯西不等式是一個(gè)非常重要的不等式，靈活巧妙的應(yīng)用它，可以使一些較為困難的問(wèn)題迎刃而解?？稍谧C明不等式，解三角形相關(guān)問(wèn)題，求函數(shù)最值，解方程等問(wèn)題的方面得到應(yīng)用，，注意變形應(yīng)用.試題解析：（1）∵，…………………2分當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取最小值2，……3分．…………………4分（2），，∴.…………7分考點(diǎn)：1、絕對(duì)值不等式的應(yīng)用；2、柯西不等式的應(yīng)用.22.自貢某工廠(chǎng)于2016年下半年對(duì)生產(chǎn)工藝進(jìn)行了改造（每半年為一個(gè)生產(chǎn)周期），從2016年一年的產(chǎn)品中用隨機(jī)抽樣的方法抽取了容量為50的樣本，用莖葉圖表示（如圖）．已知每個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)與其中位數(shù)誤差在±5范圍內(nèi)（含±5）的產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)品，與中位數(shù)誤差在±15范圍內(nèi)（含±15）的產(chǎn)品為合格品（不包括優(yōu)質(zhì)品），與中位數(shù)誤差超過(guò)±15的產(chǎn)品為次品．企業(yè)生產(chǎn)一件優(yōu)質(zhì)品可獲利潤(rùn)20元，生產(chǎn)一件合格品可獲利潤(rùn)10元，生產(chǎn)一件次品要虧損10元（Ⅰ）求該企業(yè)2016年一年生產(chǎn)一件產(chǎn)品的利潤(rùn)為10的概率；（Ⅱ）是否有95%的把握認(rèn)為“優(yōu)質(zhì)品與生產(chǎn)工藝改造有關(guān)”．附：P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828K2=．參考答案：【考點(diǎn)】獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用．【分析】（Ⅰ）確定上、下半年的數(shù)據(jù)，可得“中位數(shù)”，優(yōu)質(zhì)品，合格品，次品的個(gè)數(shù)，可得該企業(yè)2016年一年生產(chǎn)一件產(chǎn)品的利潤(rùn)為10的概率；（Ⅱ