空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示第1頁，共23頁，2023年，2月20日，星期二溫故夯基1．平面向量基本定理的內(nèi)容是：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)________向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且僅有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1,λ2,使________________成立，不共線的向量e1，e2叫做這一平面內(nèi)所有向量的一組______．2．在平面內(nèi)，把一個(gè)向量分解成兩個(gè)互相垂直的向量，叫做把向量__________．不共線基底正交分解a＝λ1e1＋λ2e2第2頁，共23頁，2023年，2月20日，星期二知新益能1．空間向量基本定理如果三個(gè)向量a、b、c________，那么對(duì)空間任一向量p,存在有序?qū)崝?shù)組{x，y，z},使得p＝__________,其中{a，b，c}叫做空間的一個(gè)______，a，b，c都叫做________．不共面基底基向量xa＋yb＋zc第3頁，共23頁，2023年，2月20日，星期二2．空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示單位正交基底三個(gè)有公共起點(diǎn)O的__________的單位向量e1，e2，e3稱為單位正交基底．空間直角坐標(biāo)系以e1，e2，e3的___________為原點(diǎn)，分別以__________的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.兩兩垂直公共起點(diǎn)Oe1，e2，e3第4頁，共23頁，2023年，2月20日，星期二平移起點(diǎn)x，y，zp＝(x，y，z)xe1＋ye2＋ze3第5頁，共23頁，2023年，2月20日，星期二1．空間的基底是惟一的嗎？提示：由空間向量基本定理可知，任意三個(gè)不共面向量都可以組成空間的一個(gè)基底，所以空間的基底有無數(shù)個(gè)，因此不惟一．2．空間向量基本定理中，當(dāng)z＝0時(shí)，是什么定理？當(dāng)y＝z＝0時(shí)，是什么定理？提示：平面向量基本定理；共線定理．問題探究第6頁，共23頁，2023年，2月20日，星期二基底的判斷考點(diǎn)突破判斷三個(gè)向量能否作為基底，關(guān)鍵是判斷它們是否共面，若從正面判斷難以入手，可以用反證法結(jié)合共面向量定理或者利用常見的幾何圖形幫助進(jìn)行判斷．第7頁，共23頁，2023年，2月20日，星期二例1

若{a，b，c}是空間一個(gè)基底，試判斷{a＋b,b＋c，c＋a}能否作為該空間的一個(gè)基底．【思路點(diǎn)撥】

假設(shè)不能作為一個(gè)基底，看是否存在一對(duì)實(shí)數(shù)λ、μ使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，若存在，則假設(shè)成立；若不存在，則假設(shè)不成立．第8頁，共23頁，2023年，2月20日，星期二第9頁，共23頁，2023年，2月20日，星期二互動(dòng)探究

若本例條件不變，試判斷向量a＋b，a－b，c能否作為空間的一個(gè)基底．解：假設(shè)a＋b，a－b，c共面，則存在實(shí)數(shù)x，y，使c＝x(a＋b)＋y(a－b)，即c＝(x＋y)a＋(x－y)b，從而由共面向量知c與a，b共面，這與a，b，c不共面矛盾．∴a＋b，a－b，c不共面，即可以作為空間的一個(gè)基底．第10頁，共23頁，2023年，2月20日，星期二空間向量的坐標(biāo)表示用坐標(biāo)表示空間向量的解題方法與步驟為：(1)觀察圖形：充分觀察圖形特征；(2)建坐標(biāo)系：根據(jù)圖形特征建立空間直角坐標(biāo)系；(3)進(jìn)行計(jì)算：綜合利用向量的加、減及數(shù)乘計(jì)算；(4)確定結(jié)果：將所求向量用已知的基向量表示出來．第11頁，共23頁，2023年，2月20日，星期二例2第12頁，共23頁，2023年，2月20日，星期二第13頁，共23頁，2023年，2月20日，星期二用基底表示向量用基底表示向量時(shí)，(1)若基底確定，要充分利用向量加法、減法的三角形法則和平行四邊形法則，以及數(shù)乘向量的運(yùn)算律進(jìn)行．(2)若沒給定基底時(shí)，首先選擇基底．選擇時(shí)，要盡量使所選的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夾角是否已知或易求．第14頁，共23頁，2023年，2月20日，星期二【思路點(diǎn)撥】

{a，b，c}是一個(gè)基底，再利用三角形重心的性質(zhì)，可求．例3第15頁，共23頁，2023年，2月20日，星期二第16頁，共23頁，2023年，2月20日，星期二1．已知a，b，c是不共面的三個(gè)向量，則能構(gòu)成一個(gè)基底的一組向量是()A．2a，a－b，a＋2b B．2b，b－a，b＋2aC．a(chǎn),2b，b－c D．c，a＋c，a－c答案：C第17頁，共23頁，2023年，2月20日，星期二第18頁，共23頁，2023年，2月20日，星期二答案：

C第19頁，共23頁，2023年，2月20日，星期二答案：

(1,1，－1)(－1,0,1)第20頁，共23頁，2023年，2月20日，星期二方法感悟1．對(duì)于基底{a，b，c}，除了應(yīng)知道a、b、c不共面外，還應(yīng)明確以下三點(diǎn)：(1)空間中任意三個(gè)不共面的向量都可以作為空間向量的一個(gè)基底．(2)基底中的三個(gè)向量a、b、c都不是0，這是因?yàn)?與任意向量共線，與任意兩個(gè)向量共面．第21頁，共23頁，2023年，2月20日，星期二(3)一個(gè)基底是由不共面的三個(gè)向量構(gòu)成，是指一個(gè)向量組，一個(gè)基向量是指基底中的某一個(gè)向量,二者是相關(guān)聯(lián)的不同概念．2．空間向量基本定理說明：用空