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文檔簡介

2022年專升本高數(shù)解題方法與技巧匯總

共包含5類內(nèi)容：

1.不等式的方法與技巧

2.定積分及重積分的方法與技巧

3.極值的方法與技巧

4.曲線、曲面積分的方法與技巧

5.中值定理的應(yīng)用方法與技巧

1.不等式的方法與技巧

不等式是高等數(shù)學(xué)中的一個重要工具。運(yùn)用它可以對變量之間的大小關(guān)系進(jìn)

行估計(jì)，并且一些重要的不等式在現(xiàn)代數(shù)學(xué)的研究中發(fā)揮著重要作用。這里首先

介紹幾個常用的不等式，然后再介紹證明不等式的一些方法。

一、幾個重要的不等式

1.平均值不等式

(1nV

設(shè)4M2,…非負(fù)，令%(。)=|一￡4(rwO)(當(dāng)r<0且至少有一%=0

\rik=]J

時(shí)，令％(a)=0),A(a)=M|(a)=]之々,H(a)=M,(?)=-：~~；——-,

〃念1+±+...±

qa2an

G(a)=(jl%T，稱心.是r次基平均值，A是算數(shù)平均值，H是調(diào)和平均值，G

是幾何平均值，則有H(a)<G(a)<A(a),等式成立的充要條件是％,=4=…=4；

一般的，如果s>0,t<0,則有等式成立的充要條件是

〃],=々2=???=〃〃。

2.赫爾德(Holder)不等式

設(shè)Q?)>0,aj>0,z=1,2<--,n,/=1,2,???,m,且Z。/=1，貝U

j=i

￡0D”(力妙，

/=11=1/=1

等式成立的充要條件是=-=萼一,Z=1,2,...,HO

?泮

;=1/=1

3.柯西-許瓦茲(Cauchy-Schwarz)不等式

2

設(shè)q,偽,i=l,2,…，〃為實(shí)數(shù)，則SlqeiwIXa；］

4.麥克夫斯基(Minkowsk)不等式

設(shè)4⑺>0,z=l,2,---,?,J=l,2,???,/?,r>l,貝>J

立(斕)+…+?！保?；金￡(娟)丁+…+苗①浮廳,

i=\i=li=l

等式成立的充要條件是y=-=，泮y,i=i,2,…,〃。

i=li=\

5.貝努里(Bernoulli)不等式

設(shè)x>T,那么當(dāng)0〈a〈l時(shí)，有(1+x)"<1+奴，當(dāng)a<0或a>l時(shí)，有(1+x)"Nl+ax,

等式成立的充要條件是x=0o

6.有關(guān)e的不等式

(1)(1+』)"YeY(l+與t,

nn

(2)(2)"Y〃!Ye("3"+i,

ee

(3)(1+不二)"(1+-)nYeY(1+；)(1+與

二、證明不等式的方法

1.利用求導(dǎo)法證明不等式

(1)利用單調(diào)性

例.求證當(dāng)xe(0,工)時(shí)，ZxYsinxYx。

27T

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