銅陵學(xué)院論文題目： 拉普拉斯變換與傅里葉變換的關(guān)系院班學(xué)姓指院班學(xué)姓指部：電氣工程學(xué)院級：電氣工程及其自動化(1)班號：1109141054名：吳旭照皓師：董德智2013.6拉普拉斯變換與傅里葉變換的關(guān)系傅里葉變換（Transform秘deFourier）在物理學(xué)、數(shù)論、組合數(shù)學(xué)、信號處理、概率論、統(tǒng)計學(xué)、密碼學(xué)、聲學(xué)、光學(xué)、海洋學(xué)、結(jié)構(gòu)動力學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用（例如在信號處理中，傅里葉變換的典型用途是將信號分解成幅值分量和頻率分量）。傅里葉變換能將滿足一定條件的某個函數(shù)表示成三角函數(shù)（正弦和/或余弦函數(shù)）或者它們的積分的線性組合。在不同的研究領(lǐng)域，傅里葉變換具有多種不同的變體形式，如連續(xù)傅里葉變換和離散傅里葉變換。傅里葉變換是一種解決問題的方法，一種工具，一種看待問題的角度。理解的關(guān)鍵是：一個連續(xù)的信號可以看作是一個個小信號的疊加，從時域疊加與從頻域疊加都可以組成原來的信號，將信號這么分解后有助于處理。我們原來對一個信號其實是從時間的角度去理解的，不知不覺中，其實是按照時間把信號進行分割，每一部分只是一個時間點對應(yīng)一個信號值，一個信號是一組這樣的分量的疊加。傅里葉變換后，其實還是個疊加問題，只不過是從頻率的角度去疊加，只不過每個小信號是一個時間域上覆蓋整個區(qū)間的信號，但他確有固定的周期，或者說，給了一個周期，我們就能畫出一個整個區(qū)間上的分信號，那么給定一組周期值（或頻率值），我們就可以畫出其對應(yīng)的曲線，就像給出時域上每一點的信號值一樣，不過如果信號是周期的話，頻域的更簡單，只需要幾個甚至一個就可以了，時域則需要整個時間軸上每一點都映射出一個函數(shù)值。傅里葉變換就是將一個信號的時域表示形式映射到一個頻域表示形式;逆傅里葉變換恰好相反。這都是一個信號的不同表示形式。它的公式會用就可以，當(dāng)然把證明看懂了更好。對一個信號做傅立葉變換，可以得到其頻域特性，包括幅度和相位兩個方面。幅度是表示這個頻率分量的大小，那么相位呢，它有什么物理意義？頻域的相位與時域的相位有關(guān)系嗎？信號前一段的相位（頻域）與后一段的相位的變化是否與信號的頻率成正比關(guān)系。傅立葉變換就是把一個信號，分解成無數(shù)的正弦波（或者余弦波）信號。也就是說，用無數(shù)的正弦波，可以合成任何你所需要的信號。想一想這個問題：給你很多正弦信號，你怎樣才能合成你需要的信號呢？答案是要兩個條件，一個是每個正弦波的幅度，另一個就是每個正弦波之間的相位差。所以現(xiàn)在應(yīng)該明白了吧，頻域上的相位，就是每個正弦波之間的相位。傅立葉變換用于信號的頻率域分析，一般我們把電信號描述成時間域的數(shù)學(xué)模型，而數(shù)字信號處理對信號的頻率特性更感興趣，而通過傅立葉變換很容易得到信號的頻率域特性傅里葉變換簡單通俗理解就是把看似雜亂無章的信號考慮成由一定振幅、相位、頻率的基本正弦（余弦）信號組合而成，傅里葉變換的目的就是找出這些基本正弦（余弦）信號中振幅較大（能量較高）信號對應(yīng)的頻率，從而找出雜亂無章的信號中的主要振動頻率特點。如減速機故障時，通過傅里葉變換做頻譜分析，根據(jù)各級齒輪轉(zhuǎn)速、齒數(shù)與雜音頻譜中振幅大的對比，可以快速判斷哪級齒輪損傷。拉普拉斯變換（LaplaceTransform）,是工程數(shù)學(xué)中常用的一種積分變換。它是為簡化計算而建立的實變量函數(shù)和復(fù)變量函數(shù)間的一種函數(shù)變換。對一個實變量函數(shù)作拉普拉斯變換，并在復(fù)數(shù)域中作各種運算，再將運算結(jié)果作拉普拉斯反變換來求得實數(shù)域中的相應(yīng)結(jié)果，往往比直接在實數(shù)域中求出同樣的結(jié)果在計算上容易得多。拉普拉斯變換的這種運算步驟對于求解線性微分方程尤為有效，它可把微分方程化為容易求解的代數(shù)方程

來處理，從而使計算簡化。在經(jīng)典控制理論中，對控制系統(tǒng)的分析和綜合，都是建立在拉普拉斯變換的基礎(chǔ)上的。引入拉普拉斯變換的一個主要優(yōu)點，是可采用傳遞函數(shù)代替微分方程來描述系統(tǒng)的特性。這就為采用直觀和簡便的圖解方法來確定控制系統(tǒng)的整個特性（見信號流程圖、動態(tài)結(jié)構(gòu)圖）、分析控制系統(tǒng)的運動過程（見奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)、根軌跡法），以及綜合控制系統(tǒng)的校正裝置（見控制系統(tǒng)校正方法）提供了可能性。拉普拉斯變換在工程學(xué)上的應(yīng)用：應(yīng)用拉普拉斯變換解常變量齊次微分方程，可以將微分方程化為代數(shù)方程，使問題得以解決。在工程學(xué)上，拉普拉斯變換的重大意義在于：將一個信號從時域上，轉(zhuǎn)換為復(fù)頻域（s域）上來表示；在線性系統(tǒng)，控制自動化上都有廣泛的應(yīng)用。fG）滿足狄里赫利條件傅里葉變換在應(yīng)用上的局限性fG）滿足狄里赫利條件在一對傅里葉變換。即在第三章中，已經(jīng)介紹了一個時間函數(shù)并且絕對可積時，即存F（j?）=知8f（t>-j^tdt-8 （正變換） （5.1）f（t）=—j8F（j?）ej?td?2兀-8 （反變換） （5.2）但工程實際中常有一些信號并不滿足絕對可積的條件，例如階躍信號U（t），斜變信號tU（t），單邊正弦信號sin°tU°）等，從而對這些信號就難以從傅里葉變換式求得它們的傅里葉變換。還有一些信號，例如單邊增長的指數(shù)信號eatU（）（a>0）等，則根本就不存在傅里葉變換。另外，在求傅里葉反變換時，需要求°從-8到8區(qū)間的廣義積分。求這個積分往往是十分困難的，甚至是不可能的，有時則需要引入一些特殊函數(shù)。利用傅里葉變換法只能求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，而不能求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)。在需要求零輸入響應(yīng)時，還得利用別的方法，例如時域經(jīng)典法。由于上述幾個原因，從而使傅里葉變換在工程應(yīng)用上受到了一定的限制。所以，當(dāng)今在研究

線性系統(tǒng)問題時，拉普拉斯變換仍是主要工具之一。實際上，信號f°)總是在某一確定的時刻接入系統(tǒng)的。若把信號f')接入系統(tǒng)的時刻作為t=0的時刻(稱為起始時刻)，那么，在tvo的時間內(nèi)即有f(t)=0。我們把具有起始時刻的信號稱為因果信號。這樣，式(5-1)即可改寫為(5-3)F(j^)=!8f(te-j0dt(5-3)o-式(5-3沖的積分下限取為?！强紤]到在t=0的時刻f(t)中有可能包含有沖激函數(shù)8°)。但要注意，式>2)中積分的上下限仍然不變(因積分變量是①)，不過此時要在公式后面標以t>o,意即只有在t>o時f°才有定義，即f(t)=—Mf(jQegd?(5-4a)2兀" t>0(5-4a)或用單位階躍函數(shù)U°)加以限制而寫成下式，即f&)=-—Mf&)=-—MF(^偵血U(t)2兀-8(5-4b)從傅里葉變換到拉普拉斯變換當(dāng)函數(shù)f°)不滿足絕對可積條件時，可采取給f°)乘以因子e寸(。為任意實常數(shù))的辦法，這樣即得到一個新的時間函數(shù)f(t)e-ct。今若能根據(jù)函數(shù)f°的具體性質(zhì)，恰當(dāng)?shù)剡x取c的值，從而使當(dāng)tT8時，函數(shù)f(t)e-ct—0，即滿足條件limf(t)e-ct=0ts則函數(shù)f(t'e工即滿足絕對可積條件了，因而它的傅里葉變換一定存在?？梢娨蛳翾起著使函數(shù)f()收斂的作用，故稱e-ct為收斂因子。設(shè)函數(shù)f()e-ct滿足狄里赫利條件且絕對可積(這可通過恰當(dāng)?shù)剡x取a對可積(這可通過恰當(dāng)?shù)剡x取a的值來達到)，則根據(jù)式(5-3)有-Be-jstdt=卜f(te-G+js)tdt0-在上式中，js是以(b+js)的形式出現(xiàn)的。令s=b+js，s為一復(fù)數(shù)變量，稱為復(fù)頻率。b的單位為s，s的單位為rad/s。這樣，上式即變?yōu)閒(js)=f8f(te-stdt0-由于上式中的積分變量為t，故積分結(jié)果必為復(fù)變量s的函數(shù)，故應(yīng)將F頃)改寫為F(s)，(5-5)f(s)=「f(te2(5-5)0-復(fù)變量函數(shù)fJ)稱為時間函數(shù)fG)的單邊拉普拉斯變換。f")稱為f(t)的像函數(shù)，f°)稱為F°的原函數(shù)。一般記為fG)=rtf(tII符號L-1LI為一算子，表示對括號內(nèi)的時間函數(shù)f(t)進行拉普拉斯變換。利用式(5-4)可推導(dǎo)出求F")反變換的公式，即f(t)利用式(5-4)可推導(dǎo)出求F")反變換的公式，即f(t)e-bt—j8F(s)e2兀-8對上式等號兩邊同乘以《^并考慮到四不是①的函數(shù)而可置于積分號內(nèi)。于是得八)=—"f(s[ebtejstds=—!—"f(s)e(b+j2兀-8 2兀：s)tds=—j8f(s)estds

2兀-8(5-6)由于式(5-6)中被積函數(shù)是F(s)，而積分變量卻是實變量由于式(5-6)中被積函數(shù)是F故ds=d(a+w)=jd^(因c為任意實常數(shù))故且當(dāng)3=_8時，s=b-j氣當(dāng)3=8時，s=b+js。將以上這些關(guān)系代入式(5-6)即得f(t)=上jc+jF(sIds2兀jc_j8 t>0 (5-7a)f(t)=l-Lfc+j8F(s^stdsU(t)寫成 L向 」 (5-7b)式(5-7b)稱為拉普拉斯反變換，可從已知的像函數(shù)FG)求與之對應(yīng)的原函數(shù)fO'一般記為f(t)=婦F(v)］符號L_i［?］也為一算子，表示對括號內(nèi)的像函數(shù)f(s)進行拉普拉斯反變換。式(5-5)與式(5-7)構(gòu)成了拉普拉斯變換對，一般記為f(t)oF(s)或FQof(t)若fQ不是因果信號，則拉普拉斯變換式(5-5)的積分下限應(yīng)改寫為(-8)，即(5-8)式(5-8)F(s)=j8f(tMtdt(5-8)式(5-8)-8稱為雙邊拉普拉斯變換。因為一般常用信號均為因果信號(即有始信號)，故本書主要討論和應(yīng)用單邊拉普拉斯變換。以后提到拉普拉斯變換，均指單邊拉普拉斯變換而言。由以上所述可見，傅里葉變換是建立了信號的時域與頻域之間的關(guān)系，即f()oF(jo)而拉普拉斯變換則是建立了信號的時域與復(fù)頻域之間的關(guān)系，即f(t)oF").總結(jié)拉普拉斯變換是本課程介紹的第二個對信號的變換方法，目的是為了解決傅里葉變換在實際應(yīng)用中面臨的一些實際問題，它的引入是從一些增長型的信號固不滿足傅里葉變換存在的條件而不能進行