2022-2023學(xué)年內(nèi)蒙古自治區(qū)赤峰市天義第一中學(xué)高三數(shù)學(xué)理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.如圖，E是平行四邊形ABCD的邊BC的延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，連結(jié)AE交CD于F，則圖中共有相似三角形（

）A1對(duì)

B2對(duì)

C3對(duì)

D4對(duì)參考答案：C2.已知集合，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D試題分析：，選D.考點(diǎn)：集合運(yùn)算【方法點(diǎn)睛】1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含義，再看元素的限制條件，明確集合類型，是數(shù)集、點(diǎn)集還是其他的集合．2．求集合的交、并、補(bǔ)時(shí)，一般先化簡(jiǎn)集合，再由交、并、補(bǔ)的定義求解．3．在進(jìn)行集合的運(yùn)算時(shí)要盡可能地借助Venn圖和數(shù)軸使抽象問題直觀化．一般地，集合元素離散時(shí)用Venn圖表示；集合元素連續(xù)時(shí)用數(shù)軸表示，用數(shù)軸表示時(shí)要注意端點(diǎn)值的取舍．3.設(shè)全集，,,則集合B=（

）Ａ．

B．

Ｃ．

D．參考答案：C4.可看作成

（

）A.半徑為的圓的面積的二分之一B.半徑為的圓的面積的二分之一

C.半徑為3的圓的面積的四分之一

D.半徑為的圓的面積的四分之一參考答案：D5.已知正數(shù)，滿足，則的最小值是

A．

B．

C．

D．參考答案：B略6.函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是A．

B．

C．

D．參考答案：B略7.已知函數(shù)為奇函數(shù),則=

(A)2

(B)-2

(C)

(D)參考答案：D8.下列區(qū)間中，函數(shù)f(x)＝|ln(2－x)|在其上為增函數(shù)的是()A．(－∞，1]

B．[－1，]C．[0，)

D．[1,2)參考答案：D9.已知全集U={1,2,3,4}，若A={1,3}，則CUA=（

）A．{1,2} B．{1,4} C．{2,3} D．{2,4}參考答案：D10.若數(shù)列的前項(xiàng)和，則數(shù)列的通項(xiàng)公式A.

B.

C.

D.參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)P、Q為△ABC內(nèi)的兩點(diǎn)，且，則△ABP的面積與△ABQ的面積之比為____

_參考答案：12.（5分）（2015?蘭山區(qū)校級(jí)二模）下列說法正確的是（填上你認(rèn)為正確選項(xiàng)的序號(hào)）①函數(shù)y=﹣sin（kπ+x）（k∈Z）是奇函數(shù)；②函數(shù)y=﹣2sin（2x+）在區(qū)間（0，）上是增函數(shù)；③函數(shù)y=cos2x﹣sin2x的最小正周期為π；④函數(shù)y=2tan（+）的一個(gè)對(duì)稱中心是（，0）．參考答案：①③④【考點(diǎn)】：命題的真假判斷與應(yīng)用．【專題】：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【分析】：①，利用誘導(dǎo)公式可知函數(shù)y=﹣sin（kπ+x）=±sinx（k∈Z）是奇函數(shù)，可判斷①；②，x∈（0，）（2x+）∈（，），利用正弦函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)可知函數(shù)y=2sin（2x+）在區(qū)間（0，）上是增函數(shù)，從而可判斷②；③，利用余弦函數(shù)的周期性可知函數(shù)y=cos2x﹣sin2x=cos2x的最小正周期為π，可判斷③；④，利用正切函數(shù)的對(duì)稱性，由+=（k∈Z）得：x=kπ﹣（k∈Z），再對(duì)k賦值，可判斷④．解：對(duì)于①，函數(shù)y=﹣sin（kπ+x）=±sinx（k∈Z）是奇函數(shù)，故①正確；對(duì)于②，當(dāng)x∈（0，）時(shí)，（2x+）∈（，），故函數(shù)y=2sin（2x+）在區(qū)間（0，）上是增函數(shù)，函數(shù)y=﹣2sin（2x+）在區(qū)間（0，）上是減函數(shù)，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，函數(shù)y=cos2x﹣sin2x=cos2x的最小正周期為T==π，故③正確；對(duì)于④，由+=（k∈Z）得：x=kπ﹣（k∈Z），所以函數(shù)y=2tan（+）的對(duì)稱中心是（kπ﹣，0），當(dāng)k=1時(shí)，（，0）為函數(shù)y=2tan（+）的一個(gè)對(duì)稱中心，故④正確．綜上所述，以上說法正確的是①③④，故答案為：①③④．【點(diǎn)評(píng)】：本題考查正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性與對(duì)稱性，熟練掌握正弦、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)是關(guān)鍵，屬于中檔題．13.已知函數(shù)，其中，若過原點(diǎn)且斜率為k的直線與曲線相切，則的值為

▲

.參考答案：14.極坐標(biāo)方程分別為與的兩個(gè)圓的圓心距為_____________參考答案：15.如圖，已知橢圓的焦點(diǎn)為、，點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，過作的外角平分線的垂線，垂足為點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，線段的中點(diǎn)為，則點(diǎn)的軌跡方程為________________參考答案：略16.中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是。若，則

參考答案：由得，代入得，所以，，所以，所以。17.已知點(diǎn)P（x，y）在不等式組，表示的平面區(qū)域上運(yùn)動(dòng)，則Z=x-y的取值范圍是_______．參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，2AC＝AA1＝BC＝2．（1）若D為AA1中點(diǎn)，求證：平面B1CD⊥平面B1C1D；（2）當(dāng)AD的長(zhǎng)等于多少時(shí)？二面角B1-－DC－C1的大小為60°．

參考答案：（1）∵∠A1C1B1＝∠ACB＝90°，∴B1C1⊥A1C1．又由直三棱柱性質(zhì)知B1C1⊥CC1，∴B1C1⊥平面ACC1A1．∴B1C1⊥CD．

①

…………2分由D為中點(diǎn)可知，，∴DC2＋DC12＝CC12，即CD⊥DC1．②由①②可知CD⊥平面B1C1D，又平面B1CD，故平面B1CD⊥平面B1C1D．……6分（2）由（1）可知B1C1⊥平面ACC1A1，在平面ACC1A1內(nèi)過C1作C1E⊥平面CD，交CD或延長(zhǎng)線于E，連接EB1．由三垂線定理可知∠B1EC1為二面角B1-－DC－C1的平面角，∴∠B1EC1＝60°．……8分由B1C1＝2，知，設(shè)AD＝x，則．∵△DCC1的面積為1，∴，解得，即．……12分

19.橢圓有兩頂點(diǎn)A（﹣1，0）、B（1，0），過其焦點(diǎn)F（0，1）的直線l與橢圓交于C、D兩點(diǎn)，并與x軸交于點(diǎn)P．直線AC與直線BD交于點(diǎn)Q．（Ⅰ）當(dāng)|CD|=時(shí)，求直線l的方程；（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)P異于A、B兩點(diǎn)時(shí)，求證：為定值．參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問題．【專題】計(jì)算題；綜合題；壓軸題；數(shù)形結(jié)合；分類討論；方程思想．【分析】（Ⅰ）根據(jù)橢圓有兩頂點(diǎn)A（﹣1，0）、B（1，0），焦點(diǎn)F（0，1），可知橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，b=1，c=1，可以求得橢圓的方程，聯(lián)立直線和橢圓方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，利用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式可求出直線l的方程；（Ⅱ）根據(jù)過其焦點(diǎn)F（0，1）的直線l的方程可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，該直線與橢圓交于C、D兩點(diǎn)，和直線AC與直線BD交于點(diǎn)Q，求出直線AC與直線BD的方程，解該方程組即可求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)，代入即可證明結(jié)論．【解答】解：（Ⅰ）∵橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（a＞b＞0），由已知得b=1，c=1，所以a=，橢圓的方程為，當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)與題意不符，設(shè)直線l的方程為y=kx+1，C（x1，y1），D（x2，y2），將直線l的方程代入橢圓的方程化簡(jiǎn)得（k2+2）x2+2kx﹣1=0，則x1+x2=﹣，x1?x2=﹣，∴|CD|====，解得k=．∴直線l的方程為y=x+1；（Ⅱ）證明：當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)與題意不符，設(shè)直線l的方程為y=kx+1，（k≠0，k≠±1），C（x1，y1），D（x2，y2），

∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣，0），由（Ⅰ）知x1+x2=﹣，x1?x2=﹣，且直線AC的方程為y=，且直線BD的方程為y=，將兩直線聯(lián)立，消去y得，∵﹣1＜x1，x2＜1，∴與異號(hào)，==，y1y2=k2x1x2+k（x1+x2）+1==﹣，∴與y1y2異號(hào)，與同號(hào)，∴=，解得x=﹣k，故Q點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣k，y0），=（﹣，0）?（﹣k，y0）=1，故為定值．【點(diǎn)評(píng)】此題是個(gè)難題．本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，是一道綜合性的試題，考查了學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力．體現(xiàn)了分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想．20.已知函數(shù)，，（1）求函數(shù)的最值；（2）對(duì)于一切正數(shù)，恒有成立，求實(shí)數(shù)的取值組成的集合。參考答案：（1）函數(shù)在（0，1）遞增，在遞減。的最大值為.（2）本試題主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。（1）求解導(dǎo)數(shù)，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系得到判定，求解極值和最值。（2）要證明不等式恒成立，那么可以通過研究函數(shù)的最值來分析得到參數(shù)的范圍。解：（1）

所以可知函數(shù)在（0，1）遞增，在遞減。所以的最大值為.（2）令函數(shù)得當(dāng)時(shí)，恒成立。所以在遞增，故x>1時(shí)不滿足題意。當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)恒成立，函數(shù)遞增；當(dāng)時(shí)恒成立，函數(shù)遞減。所以;即的最大值

令

,則令函數(shù)

,所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)遞增；所以函數(shù)，從而就必須當(dāng)時(shí)成立。綜上21.通常把大氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物(也稱為可入肺顆粒物)稱為PM2.5.我國(guó)PM2.5標(biāo)準(zhǔn)采用世衛(wèi)組織設(shè)定的最寬限值，空氣質(zhì)量與PM2.5的關(guān)系如下表：空氣質(zhì)量一級(jí)二級(jí)超標(biāo)日均值(微克/立方米)35以下35～7575以上某城市環(huán)保局從該市城區(qū)2013年冬季每天的PM2.5監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取10天的數(shù)據(jù)作為樣本，監(jiān)測(cè)值如莖葉圖所示(十位為莖，個(gè)位為葉)．（Ⅰ）從這10天的PM2.5日均監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中，隨機(jī)抽出三天數(shù)據(jù)，求至少有一天空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)的概率；（Ⅱ)從這10天的數(shù)據(jù)中任取三天的數(shù)據(jù)，記ξ表示抽到PM2.5監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)超標(biāo)的天數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．參考答案：解：（Ⅰ）記“至少有一天空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)”為事件,則為“沒有一天達(dá)到一級(jí)”

（Ⅱ）由題知

則分布列為

則略22.（本小題滿分14分）如圖，三棱柱側(cè)棱與底面垂直，且所有棱長(zhǎng)都為4，D為CC1中點(diǎn)．（1）證明：；（2）求二面角的余弦值．參考答案：解法一：（向量法）（1）取中點(diǎn)，連結(jié)．取中點(diǎn)，

故：以為原點(diǎn)，以分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

……2分則：

……3分

……4分，．

……6分

平面．

……7分（2）設(shè)平面的法向量為．．

令得為平面的一個(gè)法向量．

……10分由（1）可知：為平面的法向量．

……11分．

……13分二面角是銳角

二面角的余弦值為為．……14分解法二：（傳統(tǒng)幾何法）（1）取BC中點(diǎn)O，連結(jié)AO和，

……2分