[A組學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)]1．下列說法正確的是()A．由合情推理得出的結(jié)論一定是正確的B．合情推理必須有前提有結(jié)論C．合情推理不能猜想D．合情推理得出的結(jié)論無法判定正誤解析：合情推理得出的結(jié)論不一定正確，故A錯誤；合情推理必須有前提有結(jié)論，故B正確；合情推理中的類比推理是根據(jù)兩個或兩類對象有部分屬性相同，從而推出它們的其他屬性也相同的推理，可進(jìn)行猜想，故C錯誤；合情推理得出的結(jié)論可以判定正誤，故D錯誤．答案：B2．觀察：(x)′＝2x，(x)′＝4x，(cosx)′＝－sinx，由歸納推理可得：若定義域在R上的243函數(shù)f(x)滿足f(－x)＝f(x)，記g(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則g(－x)等于()A．f(x)C．g(x)B．－f(x)D．－g(x)解析：通過觀察可歸納推理出一般結(jié)論：若f(x)為偶函數(shù)，則導(dǎo)函數(shù)g(x)為奇函數(shù)．故選D.答案：D3．已知數(shù)列：k(k∈N)項為A．a(chǎn)k＋ak＋1＋…＋1，a＋a2，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5＋a6，…，則該數(shù)列的第()*a2kB．a(chǎn)k－1＋ak＋…＋a2k－1C．a(chǎn)k－1＋ak＋…＋aD．a(chǎn)k－1＋ak＋…＋a2k－22k解析：由已知數(shù)列的前4項歸納可得，該數(shù)列的第k項是從以1為首項，a為公比的等比數(shù)列的第k項(ak－1)開始的連續(xù)k項的和，故該數(shù)列的第k項為ak－1＋ak＋…＋a2k－2答案：D.|Ax＋By0＋C|，點(diǎn)(x，y0)到直線Ax＋By＋C＝0的距離公式為d＝＋B4．我們知道，在平面內(nèi)，00A22通過類比的方法，可求得在空間中，點(diǎn)(2,4,1)到平面x＋2y＋3z＋3＝0的距離為()A．3B．5C.8714D．35解析：類比點(diǎn)(x0，y0)到直線Ax＋By＋C＝0的距離d＝|Ax0＋By0＋C|，可知在空間中，點(diǎn)(2,4,1)A＋B22到平面x＋2y＋3x＋3＝0的距離為|2＋8＋3＋3|1＋4＋9＝814.7答案：C5．將石子擺成如圖所示的梯形形狀，稱具有“梯形”結(jié)構(gòu)的石子數(shù)構(gòu)成的數(shù)列5,9,14,20，…為“梯形數(shù)列”，記為數(shù)列n{a}．根據(jù)“梯形”的構(gòu)成，可知a＝()624A．166247C．196249B．196248D．196250解析：觀察圖形可知a1＝5，a2＝9，a3＝14，則an－an－1＝n＋2(n≥2，n∈N*)，由累加法得an－a1＝4＋5＋6＋…＋n＋2，則an＝n＋1n＋4，n≥2.2故a624＝624＋1×624＋4＝625×314＝196250.2答案：D6．觀察下列等式：π2π4＝×1×2；－23sin2＋sin－33π2π3π4π4＝×2×3；－23sin2＋sin2＋sin2＋sin－－－5555π2π3π6π4＋…＋sin＝×3×4；sin2＋sin2＋sin－－2－2－77773π2π3π8π4sin2＋sin2＋sin＋…＋sin2＝×4×5；－－2－－99993……歸此規(guī)律，π2π3π2nπ2＝________.－sinsinsinsin2n＋1＋＋＋…＋222－－－2n＋12n＋12n＋1解析：根據(jù)已知，歸納可得結(jié)果．答案：43n(n＋1)(F)頂點(diǎn)數(shù)(V)棱數(shù)(E)三棱柱5五棱錐6立方體666891012猜想一般凸多面體中F，V，E所滿足的等式是________．解析：三棱柱中5＋6－9＝2，五棱錐中6＋6－10＝2，立方體中6＋8－12＝2，由此歸納可得F＋V－E＝2.答案：F＋V－E＝28.將全體正整數(shù)排成一個三角形數(shù)陣n(n≥3，n∈N*)行從左向右的第(如圖所示：)按照以上排列的規(guī)律，第3個數(shù)為________．：前(n－1)行共有正整數(shù)的個數(shù)為1＋2＋…＋(n－1)＝n2－n，因此第n解析2個，即＋3n2－n＋6n－n2行第3個數(shù)是全體正整數(shù)中第.22n－n＋62答案：29．利用類比推理，根據(jù)學(xué)過的平面向量的坐標(biāo)表示，建立空間向量的坐標(biāo)表示．：平面向量的坐標(biāo)表示：若i，j分別為平面直角坐標(biāo)系中x軸、y軸正半軸上的單位向量，解析a＝xi＋yi，則a＝(x，y)．類比可得空間向量的坐標(biāo)表示：若i，j，k分別為空間直角坐標(biāo)系中x軸、y軸、z軸正半軸上的單位向量，b＝xi＋yj＋zk，則b＝(x，y，z)．10．設(shè)f(n)＝n2＋n＋41，n∈N*，計算f(1)，f(2)，f(3)，f(4)，…，f(10)的值，同時作出歸納推理，并用n＝40驗證猜想的結(jié)論是否正確．解析：f(1)＝12＋1＋41＝43，f(2)＝22＋2＋41＝47，f(3)＝32＋3＋41＝53，f(4)＝42＋4＋41＝61，f(5)＝52＋5＋41＝71，f(6)＝62＋6＋41＝83，f(7)＝72＋7＋41＝97，f(8)＝82＋8＋41＝113，f(9)＝92＋9＋41＝131，f(10)＝102＋10＋41＝151，由此猜想，n為任意正整數(shù)時，f(n)＝n2＋n＋41都是素數(shù)．當(dāng)n＝40時，f(40)＝402＋40＋41＝41×41，所以f(40)為合數(shù)，因此猜想的結(jié)論不正確．[B組能力提升]11．我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》的論割圓術(shù)中有“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣．”它體現(xiàn)了一種無限與有限的轉(zhuǎn)化過程．比如在表達(dá)式1＋11中“…”即代表無限次重復(fù)，但原式卻是個定值，它可以通過方程1＋＝1x求x1＋1＋…得x＝52＋1.類比上述過程，則3＋23＋2…＝()13＋12A．3C．6解析：令B．D．223＋23＋2…＝m(m＞0)，兩邊平方，得3＋23＋23＋2…＝m2，即3＋2m＝m2，解得m＝3(m＝－1舍去)．答案：A12．觀察下列式子：111＋＋＞1，23112313721＋＋＋…＋＞，11231151＋＋＋…＋＞2，……則仿照上面的規(guī)律，可猜想此類不等式的一般形式為________．解析：觀察式子可得規(guī)律：n＋1(n∈N)．11不等號的左側(cè)是1＋＋＋…＋，共(2＋1－1)項的和；不等號的右側(cè)是231*n22－1＋1nn＋1(n∈N)．11故猜想此類不等式的一般形式為1＋＋＋…＋231＞*22－1＋1n11答案：1＋＋＋…＋＞(n∈N*)231n＋12－12＋1n13．閱讀以下求1＋2＋3＋…＋n(n∈N*)的過程：因為(n＋1)2－n2＝2n＋1，n2－(n－1)2＝2(n－1)＋1，…，2－1＝2×1＋1，22＋2n－nnn＋12n以上各式相加得(n＋1)2－12＝2(1＋2＋…＋n)＋n，所以1＋2＋3＋…＋n＝＝.221＋22＋32＋…＋n＝________(n∈N*)．類比上述過程，可得22解析：由(n＋1)3－n3＝3n2＋3n＋1，n3－(n－1)3＝3(n－1)2＋3(n－1)＋1，…，23－13＝3×1222＋32＋…＋n2＝nn＋12n＋16nn＋12n＋1：答案614．如圖，在等腰直角三角形ABC中，斜邊BC＝22.過點(diǎn)A作BC的垂線，垂足為A1；過點(diǎn)A1作AC的垂線，垂足為A2；過點(diǎn)A2作AC的垂線，垂足為A3；…，依此類推．設(shè)BA＝a1，AA1＝1a2，A1A2＝a3，…，A5A6＝a7，則a7＝________.解析：法一：直接遞推歸納：等腰直角三角形ABC中，斜邊BC＝22，所以AB＝AC＝a1＝2，AA1＝a2＝2，A1A2＝a3＝1，…，A5A6＝a7＝a1×2214＝.6法二：求通項：等腰直角三角形ABC中，斜邊BC＝22，所以AB＝AC＝a1＝2，AA1＝a2＝2，…，21＝.64An－1An＝an＋1＝sinπ4·an＝2a＝2×22，故a＝2×n22n71答案：415．根據(jù)數(shù)列{an}：2,5,9,19,37,75……的前六項找出規(guī)律，猜想a7的值．解析：后項加前項，觀察原數(shù)列{an}后項加前項得數(shù)列{bn}259193775a72＋5＝75＋9＝149＋19＝2819＋37＝5637＋75猜測b6＝112＝224計算1：由{bn}的前五項為7,14,28,56,112猜測可知，{bn}是首項為7、公比為2的等比數(shù)列，則b6＝112×2＝224，即a6＋a7＝224，得a7＝224－a6＝224－75＝149.計算2：由{bn}的前五項為7,14,28,56,112猜測可知，{bn}是首項為7、公比為2的等比數(shù)列，則an＋1＋an＋2＝2(an＋an＋1)，即an＋2＝an＋1＋2an，得a7＝a6＋2a5＝75＋37×2＝149.a＋a2a＋a216．若a1，a2∈R＋，則有不等式12≥122成立，此不等式能推廣嗎？若能，請你至少22寫出兩個不同類型的推廣．解析：能．類型一：a＋a＋a23≥，2aaa＋＋32212123312＋a34＋a22≥，2＋a2＋a3＋a44a2＋a2a14……a＋a2＋…＋a2221n