第20講數(shù)列求和

復(fù)習(xí)目標(biāo)及教學(xué)建議

基礎(chǔ)訓(xùn)練知識(shí)要點(diǎn)雙基固化能力提升規(guī)律總結(jié)

復(fù)習(xí)目標(biāo)

熟練掌握數(shù)列求和的常用方法（等差、等比數(shù)列求和，錯(cuò)位相減法，倒序相加法，裂項(xiàng)求和，并項(xiàng)法）.

教學(xué)建議

要提高學(xué)生對(duì)代數(shù)式的觀察能力與變形能力，能通過(guò)適當(dāng)變形，將一些特殊數(shù)列求和轉(zhuǎn)化為等差（比）數(shù)列求和或其他較易求和型.復(fù)習(xí)目標(biāo)及教學(xué)建議

基礎(chǔ)訓(xùn)練1．{an}是等差數(shù)列，試用倒序相加法推導(dǎo)Sn=【解析】Sn=a1+a2+…+an-1+an,Sn=an+an-1+…+a2+a1，兩式相加2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+…+(an+a1)=(a1+an)·n,得Sn=A第20講數(shù)列求和2.{an}是等比數(shù)列，公比q≠1時(shí)，推導(dǎo)Sn=公式.【解析】Sn=a1+a1q+…+a1,qSn=a1q+a1

+…+a1

,由錯(cuò)位相減，得(1-q)Sn=a1-a1qn,Sn=第20講數(shù)列求和3.數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn=

【解析】裂項(xiàng)法：S=(1+3+5+…+2n-1)+【小結(jié)】通過(guò)裂項(xiàng)，將數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列求和，這是數(shù)列求和的基本思路.第20講數(shù)列求和第20講數(shù)列求和4．a(chǎn)n=則{an}前n項(xiàng)和Sn=

【解析】當(dāng)n=2k(k∈N*)時(shí)，Sn=(1-4)+(1-4)+…+(1-4)=-3k，當(dāng)n=2k-1(k∈N*)時(shí)，〖JP〗Sn=S2k+4=-3k+4，故Sn=【小結(jié)】并項(xiàng)求和，并項(xiàng)后轉(zhuǎn)化為易求和數(shù)列.第20講數(shù)列求和５．已知an=則{an}的前n項(xiàng)之和Sn=

【解析】【小結(jié)】拆項(xiàng)相消法

知識(shí)要點(diǎn)求數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn基本方法：1.直接由等差、等比數(shù)列的求和公式求和，等比數(shù)列求和時(shí)注意分q=1、q≠1的討論；2.錯(cuò)位相減法：主要用于一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘得的新數(shù)列求和，此法即為等比數(shù)列求和公式的推導(dǎo)方法；

3.裂項(xiàng)求和法：把數(shù)列的每一項(xiàng)分成幾項(xiàng)，使其轉(zhuǎn)化為幾個(gè)等差、等比數(shù)列，再求和；第20講數(shù)列求和第20講數(shù)列求和

4.拆項(xiàng)求和法：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成幾項(xiàng)求和，正負(fù)相消剩下（首尾）若干項(xiàng)求和.如:(1)(2)(3)第20講數(shù)列求和5.倒序相加法：即等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)方法；6.公式法(注意公式的推導(dǎo)).常用的公式有：

例1設(shè)f1(x)=，定義fn+1(x)=f1［fn(x)］，an=，其中n∈N*.（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）若T2n=a1+2a2+3a3+…+2na2n，Qn=，其中n∈N*，試比較9T2n與Qn的大小，并說(shuō)明理由.雙基固化1．錯(cuò)位相減法求和第20講數(shù)列求和

【解析】第20講數(shù)列求和

∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，第20講數(shù)列求和

（2）T2n=a1+2a2+3a3+…+(2n-1)a2n-1+2na2nT2n=a1+2a2+…+(2n-1)a2n-1+2na2n=a2+2a3+…+(2n-1)a2n-na2n第20講數(shù)列求和第20講數(shù)列求和

∴T2n=T2n-(T2n)=a1+a2+…+a2n+na2n第20講造數(shù)列絡(luò)求和第20講問(wèn)數(shù)列長(zhǎng)求和當(dāng)n=帆1時(shí)，=4，=9，∴9T2n＜Qn；當(dāng)n=帶2時(shí)，=1炕6，=2牢5，∴9T2n＜Qn當(dāng)n≥匙3時(shí)，仇?！?T2n＞Qn.綜上界，當(dāng)n=刺1，2時(shí)，9T2n＜Qn；當(dāng)n≥緞3時(shí)，9T2n＞Qn.【小性結(jié)】數(shù)列溉求和刷中的盾錯(cuò)位賠相減衣法是隨最近片幾年凡高考億題中陸常考渴內(nèi)容控，往甚往和罩解析挨幾何產(chǎn)、函傳數(shù)、第不等拐式等僚知識(shí)礙聯(lián)系帽較多滑，且封涉及嘆分類爸討論臟等思伶想方債法，勞考生闊須熟玻練掌胳握，憑“錯(cuò)貌位”砌是為鼠了對(duì)趴齊同麗類項(xiàng)證，最歪后一窩項(xiàng)符嘗號(hào)易棚錯(cuò)，耗求和雜時(shí)，陷只有飲部分溫成等悠比（腰差）境數(shù)列賣.2.數(shù)列妙求和例２.在直葛角坐邊標(biāo)平呈面上孫，有或一點(diǎn)狼列P1(a1,b1)，P2(a2,b2)，…，Pn(an,bn)，…，對(duì)夾于任養(yǎng)意自溝然數(shù)n(拋n≥屯1)，點(diǎn)P1，P2，…，Pn，…都在匠曲線y=請(qǐng)x2上，極且點(diǎn)Pn與點(diǎn)An(n影,0惜)，Bn(n研+1奮,0么)構(gòu)成脈以Pn為頂雨點(diǎn)的著等腰牧三角洞形.第20講劫數(shù)列胞求和（1）求P1，P2，…，Pn，…各點(diǎn)殺的縱丘坐標(biāo)爛構(gòu)成繡的數(shù)遭列{bn}的通乳項(xiàng)公焦式；鐵（2）設(shè)cn=求c1+c2+…禮+cn.【解析】（1）由Pn(an,an2)，則bn=an2.又△AnPnBn為等康腰三鐮角形鋼，故斬滿足|PnAn|=意|PnBn|，第20講躍數(shù)列趣求和第20講轟數(shù)列動(dòng)求和第20講則數(shù)列鍬求和∴c1+c2+…帆+cn第20講詞數(shù)列脖求和【小結(jié)】裂項(xiàng)吊的目屈的是堪為使叼部分使項(xiàng)相戴互抵百消.抬大多地?cái)?shù)裂疤項(xiàng)相消梅的通光項(xiàng)均萍可表蝕示為先bn=其中{an}是公猛差d不為0的等催差數(shù)挪列，章則b1+b2+…匠+bn=３.求數(shù)獄列1，3+爭(zhēng)4，5+福6+淋7，7+饒8+橡9+沈10，9+榜10侄+1茶1+棵12混+1猴3，…的前n項(xiàng)和【解析】∵an=（2n士-1）+2策n+（2n乘+1）+…侵+［（2n意-1）+槍n-奧1］=第20講赴數(shù)列竟求和【小結(jié)】本題舍的關(guān)榮鍵是蛾找到序數(shù)列短的項(xiàng)包的規(guī)任律，規(guī)求出逆通項(xiàng)胸，再偉用裂叮項(xiàng)和憶求和映即可旗第20講贊數(shù)列百求和例5[2話00鳴7屆·北京咳海淀皇期中擱試題]已知獄數(shù)列{an}滿足滔：a1=1，an+彈1（1）求a2，a3；（2）當(dāng)n≥麗2時(shí)，烏求a2n掉-2與a2n的關(guān)咐系式紛，并猴求數(shù)外列{an}中偶孩數(shù)項(xiàng)宅的通雪項(xiàng)公以式；虹（3）求解數(shù)列{an}前10聲0項(xiàng)中倦所有徑奇數(shù)椅項(xiàng)的喝和.能力偵提升第20講導(dǎo)數(shù)列排求和第20講鄭數(shù)列境求和【解修析】（1牢）a2=,a3=（2弓）a2n螞-2危+1=a2n巨-2-2非(2推n-轉(zhuǎn)2)慎，即a2n除-1=a2n扯-2-2識(shí)(2擠n-爛2)幅.a2n竭-1扎+1=a2n但-1+(誓2n死-1擊)，眼即a2n=a2n糾-2-(灑2n影-2券)+雄(2聞n-潤(rùn)1)警.∴a2n=a2n糖-2+1疲.∴a2n-2寫(xiě)=得(構(gòu)a2n境-2-織2)梨，∴a2n=+2梯(n設(shè)∈N底*)疊.（3圓）∵戀當(dāng)n架=2賄k時(shí)送，a2k錘+1=a2k-2渡×2價(jià)k(仔k=綁1,慨2,陸…,京49體).紐奉∴疊滴加可監(jiān)得所撒有奇鉗數(shù)項(xiàng)待的和砌1-攔2×盞(2疲+4辟+…第+9壇8)激+a2+a4+…交+a98=-4勉80殲2.第20講雅數(shù)列揉求和1.若是注等差聰、等紋比數(shù)竹列求科和問(wèn)秘題，智則直薪接用盡公式刺求和透時(shí)，懇注意齡公式撞的應(yīng)謀用范筐圍(q繡=1和q≠掙1兩類).拖2.非