第一頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日正態(tài)分布是應用最廣泛的一種連續(xù)型分布.正態(tài)分布在十九世紀前葉由高斯加以推廣，所以通常稱為高斯分布.德莫佛德莫佛最早發(fā)現(xiàn)了二項概率的一個近似公式，這一公式被認為是正態(tài)分布的首次露面.第二頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日不知你們是否注意到街頭的一種賭博活動?用一個釘板作賭具。

街頭請看第三頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日

也許很多人不相信，玩這種賭博游戲十有八九是要輸?shù)舻模簧偃丝傁肱雠鲞\氣，然而中大獎的概率實在是太低了。第四頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日

下面我們在計算機上模擬這個游戲：街頭賭博高爾頓釘板試驗第五頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日平時，我們很少有人會去關心小球下落位置的規(guī)律性，人們可能不相信它是有規(guī)律的。一旦試驗次數(shù)增多并且注意觀察的話，你就會發(fā)現(xiàn)，最后得出的竟是一條優(yōu)美的曲線。第六頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日高爾頓釘板試驗這條曲線就近似我們將要介紹的正態(tài)分布的密度曲線。第七頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日正態(tài)分布的定義是什么呢？對于連續(xù)型隨機變量，一般是給出它的概率密度函數(shù)。第八頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日

一、正態(tài)分布的定義若r.vX的概率密度為記作f(x)所確定的曲線叫作正態(tài)曲線.其中和都是常數(shù)，任意，>0，則稱X服從參數(shù)為和的正態(tài)分布.第九頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日正態(tài)分布有些什么性質呢？由于連續(xù)型隨機變量唯一地由它的密度函數(shù)所描述，我們來看看正態(tài)分布的密度函數(shù)有什么特點。正態(tài)分布請看演示第十頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日二、正態(tài)分布的圖形特點正態(tài)分布的密度曲線是一條關于對稱的鐘形曲線.特點是“兩頭小，中間大，左右對稱”.第十一頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日決定了圖形的中心位置，決定了圖形中峰的陡峭程度.正態(tài)分布的圖形特點第十二頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日能不能根據(jù)密度函數(shù)的表達式，得出正態(tài)分布的圖形特點呢？容易看到，f(x)≥0即整個概率密度曲線都在x軸的上方;第十三頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日故f(x)以μ為對稱軸，并在x=μ處達到最大值:令x=μ+c,

x=μ-c(c>0),分別代入f(x),可得f(μ+c)=f(μ-c)且f(μ+c)≤f(μ),f(μ-c)≤f(μ)第十四頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日這說明曲線f(x)向左右伸展時，越來越貼近x軸。即f(x)以x軸為漸近線。

當x→∞時，f(x)→0,第十五頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日用求導的方法可以證明，為f(x)的兩個拐點的橫坐標。x=μ

σ這是高等數(shù)學的內容，如果忘記了，課下再復習一下。第十六頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日根據(jù)對密度函數(shù)的分析，也可初步畫出正態(tài)分布的概率密度曲線圖。第十七頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日回憶我們在本章第三講中遇到過的年降雨量問題，我們用上海99年年降雨量的數(shù)據(jù)畫出了頻率直方圖。從直方圖，我們可以初步看出，年降雨量近似服從正態(tài)分布。第十八頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日下面是我們用某大學男大學生的身高的數(shù)據(jù)畫出的頻率直方圖。紅線是擬合的正態(tài)密度曲線可見，某大學男大學生的身高應服從正態(tài)分布。第十九頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日人的身高高低不等，但中等身材的占大多數(shù)，特高和特矮的只是少數(shù)，而且較高和較矮的人數(shù)大致相近，這從一個方面反映了服從正態(tài)分布的隨機變量的特點。第二十頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日請同學們想一想，實際生活中具有這種特點的隨機變量還有那些呢？第二十一頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日除了我們在前面遇到過的年降雨量和身高外,在正常條件下各種產品的質量指標，如零件的尺寸；纖維的強度和張力；農作物的產量，小麥的穗長、株高；測量誤差，射擊目標的水平或垂直偏差；信號噪聲等等，都服從或近似服從正態(tài)分布.第二十二頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日服從正態(tài)分布的隨機變量X的概率密度是X的分布函數(shù)P(X≤x)是怎樣的呢？第二十三頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日設X~,X的分布函數(shù)是第二十四頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日正態(tài)分布由它的兩個參數(shù)μ和σ唯一確定，當μ和σ不同時，是不同的正態(tài)分布。標準正態(tài)分布下面我們介紹一種最重要的正態(tài)分布第二十五頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日三、標準正態(tài)分布的正態(tài)分布稱為標準正態(tài)分布.其密度函數(shù)和分布函數(shù)常用

和

表示：第二十六頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日它的依據(jù)是下面的定理：標準正態(tài)分布的重要性在于，任何一個一般的正態(tài)分布都可以通過線性變換轉化為標準正態(tài)分布.根據(jù)定理1,只要將標準正態(tài)分布的分布函數(shù)制成表，就可以解決一般正態(tài)分布的概率計算問題.,則~N(0,1)

設定理1第二十七頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日書末附有標準正態(tài)分布函數(shù)數(shù)值表，有了它，可以解決一般正態(tài)分布的概率計算查表.四、正態(tài)分布表表中給的是x>0時,Φ(x)的值.當-x<0時第二十八頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日若~N(0,1)

若X～N(0,1),第二十九頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日由標準正態(tài)分布的查表計算可以求得，這說明，X的取值幾乎全部集中在[-3,3]區(qū)間內，超出這個范圍的可能性僅占不到0.3%.當X～N(0,1)時，P(|X|1)=2(1)-1=0.6826

P(|X|2)=2(2)-1=0.9544P(|X|3)=2(3)-1=0.9974五、3準則第三十頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日將上述結論推廣到一般的正態(tài)分布,時，可以認為，Y的取值幾乎全部集中在區(qū)間內.這在統(tǒng)計學上稱作“3準則”（三倍標準差原則）.第三十一頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日上一講我們已經(jīng)看到，當n很大，p接近0或1時，二項分布近似泊松分布;如果n很大，而p不接近于0或1，那么可以證明，二項分布近似于正態(tài)分布.下面我們不加證明地介紹有關二項分布近似于正態(tài)分布的一個定理，稱為棣莫佛－拉普拉斯定理.它是第五章要介紹的中心極限定理的一個最重要的特殊情況.第三十二頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日六、二項分布的正態(tài)近似定理(棣莫佛－拉普拉斯定理）設隨機變量服從參數(shù)n,p(0<p<1)的二項分布，則對任意x，有定理表明，當n很大，0<p<1是一個定值時（或者說，np(1-p)也不太小時），二項變量的分布近似正態(tài)分布N(np,np(1-p)).第三十三頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日二項分布的正態(tài)近似實用中，n30，np10時正態(tài)近似的效果較好.見教學軟件中的計算機演示第三十四頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日例1將一枚硬幣拋擲10000次，出現(xiàn)正面5800次，認為這枚硬幣不均勻是否合理?試說明理由.解:設X為10000次試驗中出現(xiàn)正面的次數(shù)，采用正態(tài)近似,np=5000,np(1-p)=2500,若硬幣是均勻的，X~B(10000，0.5),近似正態(tài)分布N(0,1).即第三十五頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日=1-Φ(16)≈0此概率接近于0，故認為這枚硬幣不均勻是合理的.P(X≥5800)=1-P(X<5800)近似正態(tài)分布N(0,1).第三十六頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日

例2

公共汽車車門的高度是按男子與車門頂頭碰頭機會在0.01以下來設計的.設男子身高X～N(170,62),問車門高度應如何確定?解:設車門高度為hcm,按設計要求P(X≥h)≤0.01或P(X<h)≥0.99，下面我們來求滿足上式的最小的h.再看一個應用正態(tài)分布的例子:第三十七頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日因為X～N(170,62),故P(X<h)=0.99查表得(2.33)=0.9901>0.99所以=2.33,即h=170+13.981