廣東省湛江市沙洲中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.函數(shù)的大致圖象為參考答案：C.由函數(shù)為偶函數(shù)，排除答案B與D；又由，知選C.2.空間作用在同一點(diǎn)的三個(gè)力兩兩夾角為，大小分別為，設(shè)它們的合力為，則（

）

A．，且與夾角余弦為

B．，且與夾角余弦為

C．，且與夾角余弦為

D．，且與夾角余弦為參考答案：C略3.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限參考答案：B【考點(diǎn)】A5：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．【分析】直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，求出在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，則答案可求．【解答】解：==，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為：（，），位于第二象限．故選：B．4.電視臺(tái)連續(xù)播放個(gè)廣告，其中個(gè)不同的商業(yè)廣告和個(gè)不同的奧運(yùn)宣傳廣告，要求最后播放的必須是奧運(yùn)宣傳廣告，且個(gè)奧運(yùn)宣傳廣告不能連續(xù)播放，則不同的播放方式有

A．種

B．種

C．種

D．種參考答案：答案：

C

5.某四面體的三視圖如圖所示，該四面體四個(gè)面的面積中，最大的是 A．8

B．

C．10

D．參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】由三視圖求面積、體積．G2

【答案解析】C

解析：三視圖復(fù)原的幾何體是一個(gè)三棱錐，如圖，四個(gè)面的面積分別為：8，6，，10，顯然面積的最大值10．故選C．【思路點(diǎn)撥】三視圖復(fù)原的幾何體是一個(gè)三棱錐，根據(jù)三視圖的圖形特征，判斷三棱錐的形狀，三視圖的數(shù)據(jù)，求出四面體四個(gè)面的面積中，最大的值．6.已知函數(shù)（），下列選項(xiàng)中不可能是函數(shù)圖象的是（

）參考答案：D7.已知偶函數(shù)上為減函數(shù)，又為銳角三角形的兩內(nèi)角，則必須（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：A8.若雙曲線實(shí)軸的頂點(diǎn)到它的漸近線的距離為，則該雙曲線的離心率為（

）A. B. C. D.參考答案：B【分析】由點(diǎn)到直線的距離公式求得的值，再由離心率公式求得離心率.【詳解】雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)為，一條漸近線為，點(diǎn)到直線的距離為，所以，所以雙曲線的方程為，則，故其離心率為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、漸近線方程、離心率計(jì)算，考查方程思想的應(yīng)用，求解時(shí)注意不能把的值弄錯(cuò).9.下面給出四個(gè)命題：①若平面//平面，是夾在間的線段，若//，則；②是異面直線，是異面直線，則一定是異面直線；③過(guò)空間任一點(diǎn)，可以做兩條直線和已知平面垂直；④平面//平面，，//，則；其中正確的命題是（

）

A．①②

B．①②③

C．①②④

D．①④參考答案：D略10.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在單調(diào)遞增的函數(shù)是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，則數(shù)列的通項(xiàng)公式__________．參考答案：∵∴，，∴．12.已知i為虛數(shù)單位，，則實(shí)數(shù)＝

．參考答案：13.有3個(gè)興趣小組，甲、乙兩位同學(xué)各參加其中一個(gè)小組，且他們參加各個(gè)興趣小組是等可能的，則甲、乙兩位同學(xué)參加同一個(gè)興趣小組的概率為

▲

．參考答案：14.若x10－x5=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a10(x－1)10，則a5=．參考答案：251【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理的應(yīng)用．【分析】根據(jù)x10﹣x5=[（x﹣1）+1]10﹣[（x﹣1）+1]5，利用二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，求得a5的值．【解答】解：∵x10﹣x5=[（x﹣1）+1]10﹣[（x﹣1）+1]5，∴a5=﹣=251，故答案為：251．15.（原創(chuàng)）直線過(guò)定點(diǎn)且與圓交于點(diǎn)，當(dāng)最小時(shí)，直線恰好和拋物線（）相切，則的值為

參考答案：略16.已知集合，．設(shè)集合同時(shí)滿足下列三個(gè)條件：

①；②若，則；③若，則．當(dāng)時(shí)，滿足條件的集合的個(gè)數(shù)為_(kāi)_____參考答案：1617.如圖是一個(gè)組合幾何體的三視圖，則該幾何體的體積是

▲

．參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知實(shí)數(shù)組成的數(shù)組滿足條件：①；

②.(Ⅰ)當(dāng)時(shí)，求，的值；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求證：；（Ⅲ）設(shè),且，

求證：.參考答案：(Ⅰ)解：

由（1）得，再由（2）知，且.當(dāng)時(shí)，.得，所以……………2分當(dāng)時(shí)，同理得………………4分（Ⅱ）證明：當(dāng)時(shí)，由已知,.所以.………………9分（Ⅲ）證明：因?yàn)?，?所以,即.……………11分).……………14分

略19.（12分）集合.（1）若集合只有一個(gè)元素，求實(shí)數(shù)的值；（2）若是的真子集，求實(shí)數(shù)的取值范圍.參考答案：解：（1）根據(jù)集合有有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，所以或；（2）根據(jù)條件，，是的真子集，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，根據(jù)（1）將分別代入集合檢驗(yàn)，當(dāng)，，不滿足條件，舍去；當(dāng)，，滿足條件；綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是．

20.（本題滿分14分）（理）已知是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)．(1)若，，求函數(shù)的解析式；(2)若，求實(shí)數(shù)的最大值；(3)設(shè)函數(shù)，若，且，求函數(shù)在內(nèi)的最小值．(用表示)參考答案：．(1)因?yàn)?，是函?shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，所以，．（2分）所以，，解得，．所以．（4分）(2)因?yàn)槭呛瘮?shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，所以，所以是方程的兩根，因?yàn)?，所以?duì)一切，恒成立，而，，又，所以，所以，由，得，所以．因?yàn)?，所以，即．令，則．當(dāng)時(shí)，，所以在(0，4)上是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，所以在(4，6)上是減函數(shù)．所以當(dāng)時(shí)，有極大值為96，所以在上的最大值是96，所以的最大值是．(3)因?yàn)槭欠匠痰膬筛?，且，所以，又，，所以，所以，其?duì)稱軸為，因?yàn)椋?，即，所以在?nèi)函數(shù)的最小值21.在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，且.（1）若，求cosC；（2）已知，證明：.參考答案：（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）先計(jì)算，，根據(jù)展開(kāi)計(jì)算得到答案.（2）利用余弦定理和均值不等式得到，再計(jì)算得到證明.【詳解】（1）；，故為銳角，；（2）利用余弦定理得到：當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，得證.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理，和差公式，均值不等式，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.22.（本小題共13分）在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與它到直線的距離相等．（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（Ⅱ）設(shè)動(dòng)直線與曲線相切于點(diǎn)，與直線相交于點(diǎn)．證明：以為直徑的圓恒過(guò)軸上某定點(diǎn)．

參考答案：（Ⅰ）解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)E的坐標(biāo)為，由拋物線定義知，動(dòng)點(diǎn)E的軌跡是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線，所以動(dòng)點(diǎn)E的軌跡C的方程為．

……………5分（Ⅱ）證明：由，消去得：．因?yàn)橹本€l與拋物線相切，所以，即．

……8分所以