福建省寧德市溪水電廠職工子弟學(xué)校高三數(shù)學(xué)理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.把一根長(zhǎng)度為7的鐵絲截成3段，如果三段的長(zhǎng)度均為正整數(shù)，則能構(gòu)成三角形的概率為參考答案：A【知識(shí)點(diǎn)】幾何概型．K3

解析：所有的“三段鐵絲的長(zhǎng)度”的情況共有：“1，1，5”、“1，2，4”、“1，3，3”、“2，2，3”，共計(jì)4種．其中能構(gòu)成三角形的情況有2種情況：“1，3，3”；“2，2，3”則所求的概率是p（A）==．故選：A.【思路點(diǎn)撥】設(shè)構(gòu)成三角形的事件為A，先求出基本事件數(shù)有4種，其中能構(gòu)成三角形的情況有2種情況，從而可求能構(gòu)成三角形的概率.2.函數(shù)f（x）=（x2﹣3）ex，當(dāng)m在R上變化時(shí)，設(shè)關(guān)于x的方程f2（x）﹣mf（x）﹣=0的不同實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)為n，則n的所有可能的值為（）A．3 B．1或3 C．3或5 D．1或3或5參考答案：A【考點(diǎn)】根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷．【分析】求f（x）的導(dǎo)數(shù)，單調(diào)區(qū)間和極值，作出f（x）的圖象，令t=f（x），則t2﹣mt﹣=0，由判別式和根與系數(shù)的關(guān)系可得方程有一正一負(fù)根，結(jié)合圖象可得原方程實(shí)根的個(gè)數(shù)．【解答】解：函數(shù)f（x）=（x2﹣3）ex的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=（x+3）（x﹣1）ex，當(dāng)x＞1或x＜﹣3時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增；當(dāng)﹣3＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減．即有f（x）在x=1處取得極小值﹣2e；在x=﹣3處取得極大值6e﹣3，作出f（x）的圖象，如圖所示；關(guān)于x的方程f2（x）﹣mf（x）﹣=0，由判別式為m2+＞0，方程有兩個(gè)不等實(shí)根，令t=f（x），則t2﹣mt﹣=0，t1t2=﹣＜0，則原方程有一正一負(fù)實(shí)根．當(dāng)t＞6e﹣3，y=t和y=f（x）有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)0＜t＜6e﹣3，y=t和y=f（x）有三個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)﹣2e＜t＜0時(shí)，y=t和y=f（x）有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)t＜﹣2e時(shí)，y=t和y=f（x）沒(méi)有交點(diǎn)，則x的方程f2（x）﹣mf（x）﹣=0的實(shí)根個(gè)數(shù)為3．故選：A．3.如圖：正方體，棱長(zhǎng)為1，黑白二蟻都從點(diǎn)出發(fā)，沿棱向前爬行，每走一條棱稱為“走完一段”.白蟻爬行的路線是黑蟻爬行的路線是它們都遵循如下規(guī)則：所爬行的第段所在直線與第段所在直線必須是異面直線（其中）.設(shè)黑白二蟻?zhàn)咄甑?014段后，各停止在正方體的某個(gè)頂點(diǎn)處，這時(shí)黑白蟻的距離是

(

)

A．1

B.

C.

D.0參考答案：B4.已知實(shí)數(shù)滿足，則的大小關(guān)系是A．

B．

C．

D．參考答案：D5.已知a，b都是實(shí)數(shù)，那么“”是“”的

(A)充分而不必要條件

(B)必要而不充分條件

(C)充分必要條件

(D)既不充分也不必要條件參考答案：D略6.已知?jiǎng)t

A．

B．

C．

D．參考答案：C：本題考查了指數(shù)與對(duì)數(shù)比較大小的方法以及數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題的能力，難度中等。

因?yàn)椋?/p>

而，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象知，所以因?yàn)樵赗上單調(diào)遞增，故有，即，故選C。7.已知集合，，則A.

B.

C.

D.參考答案：B由可得，又中，則即，則，因此，故選B.8.

函數(shù)f(x)=(0<a<b)的圖象關(guān)于（

）對(duì)稱A.x軸

B.原點(diǎn)

C.y軸

D.直線y=x參考答案：答案:B9.已知偶函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則關(guān)于的方程在上實(shí)根的個(gè)數(shù)是（

）A．7

B．8

C.9

D．10參考答案：C由題意知，，所以是以2為周期的函數(shù)，在平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)的圖象與的圖象，如圖所示，觀察圖象可知這兩個(gè)函數(shù)的圖象在上的交點(diǎn)有9個(gè)，故選C.

10.“若則”與它的逆命題、否命題、逆否命題中，真命題的個(gè)數(shù)為（

）.4

.3

.2

.0參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在三棱錐P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，△PAC是等腰直角三角形，PA=6，AB⊥BC，CH⊥PB，垂足為H，D為PA的中點(diǎn)，則當(dāng)△CDH的面積最大時(shí)，CB=．參考答案：【考點(diǎn)】棱錐的結(jié)構(gòu)特征．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離．【分析】先證出△CHD是直角三角形，再利用基本不等式得出CH=DH=時(shí)△CDH的面積最大，再利用三角形的等積法求出BC的值．【解答】解：三棱錐P﹣ABC中，PC⊥面ABC，AB?平面ABC，∴PC⊥AB，又AB⊥BC，BC∩PC=C，∴AB⊥平面PBC，又CH?平面PBC，∴AB⊥CH，又CH⊥PB，PB∩AB=B，∴CH⊥平面PAB，又DH?平面PAB，∴CH⊥DH，又△PAC是等腰直角三角形，且PA=6，D是PA的中點(diǎn)，∴CD=PA=3，PC=AC==3，設(shè)CH=a，DH=b，則a2+b2=CD2=9，∴9=a2+b2≥2ab，即ab≤，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時(shí)，“=”成立，此時(shí)△CDH的面積最大；在Rt△PBC，設(shè)BC=x，則PB===，∴PC?BC=PB?CH，即3?x=?，解得x=，∴CB的長(zhǎng)是．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間幾何體的平行與垂直關(guān)系的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了面積公式的應(yīng)用問(wèn)題，考查了利用基本不等式求最值的問(wèn)題，是綜合性題目．12.設(shè)向量a＝(3，3)，b＝(1，－1)．若(a＋λb)⊥(a－λb)，則實(shí)數(shù)λ＝________．參考答案：±3

略13.已知函數(shù)若關(guān)于x的方程f（x）=k有兩個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_______參考答案：本題考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，難度較大．易知函數(shù)的圖像如下圖所示：

由上圖可知．14.設(shè)二面角α﹣CD﹣β的大小為45°，A點(diǎn)在平面α內(nèi)，B點(diǎn)在CD上，且∠ABC=45°，則AB與平面β所成角的大小為．參考答案：30°【考點(diǎn)】直線與平面所成的角．【分析】先根據(jù)題意畫(huà)出相應(yīng)的圖形，然后找出AB與面β的所成角，在直角三角形ABD中進(jìn)行求解即可．【解答】解：根據(jù)題意先畫(huà)出圖形作AD⊥β交面β于D，由題意可知∠ABC=45°，∠ACD=45°，設(shè)AD=1，則CD=1，AC=，BC=，AB=2，而AD=1，三角形ABD為直角三角形，∴∠ABD=30°．故答案為：30°．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了直線與平面所成角的度量，解題的關(guān)鍵是通過(guò)題意畫(huà)出相應(yīng)的圖形，屬于中檔題．15.A、B、C三所學(xué)校共有高三學(xué)生1500人，且A、B、C三所學(xué)校的高三學(xué)生人數(shù)成等差數(shù)列，在一次聯(lián)考后，準(zhǔn)備用分層抽樣的方法從所有高三學(xué)生中抽取容量為120的樣本，進(jìn)行成績(jī)分析，則應(yīng)從B校學(xué)生中抽取_________人．參考答案：40因?yàn)锳、B、C三所學(xué)校的高三學(xué)生人數(shù)成等差數(shù)列，所以設(shè)三校人數(shù)為，則，所以。則在B校學(xué)生中抽取的人數(shù)為人。16.(選修幾何證明選講）如圖,正方形的邊長(zhǎng)為,延長(zhǎng)至,使,連接、,則

.參考答案：略17.已知函數(shù)，若方程f（x）+f（2﹣x）=t恰有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是．參考答案：（，2）【考點(diǎn)】根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷．【分析】方程f（x）+f（2﹣x）=t恰有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根?g（x）=f（x）+f（2﹣x）=與y=t的交點(diǎn)，畫(huà)出圖象，根據(jù)圖象即可求解．【解答】解：由，得f（2﹣x）=，g（x）=f（x）+f（2﹣x）=畫(huà)出函數(shù)g（x）的圖象（如圖），f（﹣）=f（）=．方程f（x）+f（2﹣x）=t恰有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是：（）故答案為：（）三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知橢圓C：+y2=1和圓O：x2+y2=1，過(guò)點(diǎn)A（m，0）（m＞1）作兩條互相垂直的直線l1，l2，l1于圓O相切于點(diǎn)P，l2與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)M，N．（1）若m=，求直線l1的方程；（2）求m的取值范圍；（3）求△OMN面積的最大值．參考答案：【考點(diǎn)】直線與橢圓的位置關(guān)系．【分析】（1）由題意設(shè)出直線l1的方程，由直線與圓相切的條件、點(diǎn)到直線的距離公式列出方程，可得直線l1的方程；（2）由條件對(duì)m分類討論，設(shè)直線l2、直線l1的方程，分別列出方程求出m和k關(guān)系，聯(lián)立橢圓方程化簡(jiǎn)后，利用△＞0列出方程化簡(jiǎn)后，求出m的取值范圍；（3）設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），由條件對(duì)m分類討論，先求出斜率不存在時(shí)△OMN面積，利用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式表示出△OMN面積，化簡(jiǎn)后利用換元法求出面積的最大值．【解答】解：（1）由題意可知：直線l1的斜率存在，設(shè)為k，則直線l1的方程為y=k（x﹣），即kx﹣y﹣k=0，∴圓O：x2+y2=1的圓心O（0，0）到直線l1的距離d=，化簡(jiǎn)得k=1或k=﹣1，∴直線l1的方程是或；（2）①當(dāng)1＜m

時(shí)，滿足條件；②當(dāng)m≥時(shí)，直線l2的斜率存在，設(shè)為k，則直線l2的方程為y=k（x﹣m），即kx﹣y﹣km=0，∵l1⊥l2，∴直線l1的方程為y=（x﹣m）（k≠0），即x+ky﹣m=0，∵l1于圓O相切于點(diǎn)P，∴，化簡(jiǎn)得m2=1+k2，由得，（2k2+1）x2﹣4mk2x+2k2m2﹣2=0，∴△=（﹣4mk2）2﹣4（2k2+1）（2m2k2﹣2）＞0，化簡(jiǎn)得，1+k2（2﹣m2）＞0，由m2=1+k2得，k2=m2﹣1，代入上式化簡(jiǎn)得，m4﹣3m2+1＜0，解得，又m≥，則，得，綜上得，m的取值范圍是；（3）設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），①當(dāng)1＜m

時(shí)，若直線l2的斜率不存在，則直線l2的方程x=m，不妨設(shè)M（m，），N（m，），∴|MN|=，則△OMN面積S==，由得1＜m2＜2，當(dāng)m2=1時(shí)，△OMN面積S取到最大值；②當(dāng)m≥時(shí)，直線l2的斜率存在，設(shè)為k，則直線l2的方程為y=k（x﹣m），即kx﹣y﹣km=0，∵l1⊥l2，∴直線l1的方程為y=（x﹣m）（k≠0），即x+ky﹣m=0，∵l1于圓O相切于點(diǎn)P，∴，化簡(jiǎn)得m2=1+k2，由得，（2k2+1）x2﹣4mk2x+2k2m2﹣2=0，則x1+x2=，x1x2=，1+k2（2﹣m2）|MN|===，又原點(diǎn)O（0，0）到直線l2的距離d=，∴△OMN面積S===，設(shè)t=，則S=，由以及m2=1+k2得，0＜t＜1，所以當(dāng)t=時(shí)，△OMN面積的最大值是，綜上得，△OMN面積的最大值是．19.（本小題滿分10分）已知命題p：不等式a2-5a-3≥3恒成立，命題q：不等式x2+ax+2＜0有解；若p為真命題，q為假命題，求a的取值范圍．參考答案：20.（本小題滿分14分）已知橢圓C：（a＞b＞0）與y軸的交點(diǎn)為A，B（點(diǎn)A位于點(diǎn)B的上方），F(xiàn)為左焦點(diǎn)，原點(diǎn)O到直線FA的距離為b．（Ⅰ）求橢圓C的離心率；（Ⅱ）設(shè)b=2，直線y=kx+4與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N，求證：直線BM與直線AN的交點(diǎn)G在定直線上．參考答案：（Ⅰ）（Ⅱ）見(jiàn)解析

【知識(shí)點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．菁H5H8解析：（Ⅰ）設(shè)F的坐標(biāo)為(–c，0)，依題意有bc=ab，∴橢圓C的離心率e==．

…………3分（Ⅱ）若b=2，由（Ⅰ）得a=2，∴橢圓方程為．…………5分聯(lián)立方程組化簡(jiǎn)得：(2k2+1)x2+16kx+24=0，由△=32(2k2–3)＞0，解得：k2＞由韋達(dá)定理得：xM+xN=…①，xMxN=…②

…………7分設(shè)M(xM，kxM+4)，N(xN，kxN+4)，MB方程為：y=x–2，……③NA方程為：y=x+2，……④

…………9分由③④解得：y=

…………11分===1即yG=1，∴直線BM與直線AN的交點(diǎn)G在定直線上．

…………14分【思路點(diǎn)撥】（Ⅰ）設(shè)F的坐標(biāo)為（﹣c，0），原點(diǎn)O到直線FA的距離為b，列出方程，即可求解橢圓的離心率．（Ⅱ）求出橢圓方程，聯(lián)立方程組，通過(guò)韋達(dá)定理，設(shè)M（xM，kxM+4），N（xN，kxN+4），求出MB方程，NA方程，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，推出結(jié)果．21.如圖，在三棱錐S﹣ABC中，SA⊥底面ABC，AC=AB=SA=2，AC⊥AB，D，E分別是AC，BC的中點(diǎn)，F(xiàn)在SE上，且SF=2FE．（1）求證：AF⊥平面SBC；（2）在線段上DE上是否存在點(diǎn)G，使二面角G﹣AF﹣E的大小為30°？若存在，求出DG的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案：【考點(diǎn)】MT：二面角的平面角及求法；LW：直線與平面垂直的判定．【分析】（1）通過(guò)證明AF與平面SBC內(nèi)的兩條相交直線垂直即可；（2）抓住兩點(diǎn)找到問(wèn)題的求解方向：一是點(diǎn)G的預(yù)設(shè)位置，二是二面角G﹣AF﹣E的位置，計(jì)算即可．【解答】（1）證明：由AC=AB=SA=2，AC⊥AB，E是BC的中點(diǎn)，得．因?yàn)镾A⊥底面ABC，所以SA⊥AE．在Rt△SAE中，，所以．因此AE2=EF?SE，又因?yàn)椤螦EF=∠AES，所以△EFA∽△EAS，則∠AFE=∠SAE=90°，即AF⊥SE．因?yàn)镾A⊥底面ABC，所以SA⊥BC，又B