2021年內(nèi)蒙古自治區(qū)呼和浩特市新賽特中英文民族中學高三數(shù)學理上學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.兩個非零向量滿足則向量與夾角為(

)A.

B.

C.

D.參考答案：C2.集合，，則A∩B=（

）A．（0,2） B．(1,2) C．(0,1) D．()參考答案：C3.已知函數(shù)，則的值等于（

）A.

B.

C.

D.0參考答案：C，所以，選C.4.中國古代數(shù)學著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：“三百七十八里關，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關，要見次日行里數(shù)，請公仔細算相還．”其大意為：“有一個人走了378里路，第一天健步行走，從第二天起因腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地．”問此人第4天和第5天共走了（）A．60里 B．48里 C．36里 D．24里參考答案：C【考點】函數(shù)模型的選擇與應用．【分析】由題意可知，每天走的路程里數(shù)構成以為公比的等比數(shù)列，由S6=378求得首項，再由等比數(shù)列的通項公式求得該人第4天和第5天共走的路程【解答】解：記每天走的路程里數(shù)為{an}，可知{an}是公比q=的等比數(shù)列，由S6=378，得S6=，解得：a1=192，∴，此人第4天和第5天共走了24+12=36里．故選：C．5.△ABC的三個內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，，則（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：A6.設為雙曲線上的一點，是該雙曲線的兩個焦點，若，則的面積為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D略7.某商場有四類食品,其中糧食類、植物油類、動物性食品類及果蔬類分別有40種、10種、30種、20種,現(xiàn)從中抽取一個容量為20的樣本進行食品安全檢測.若采用分層抽樣的方法抽取樣本,則抽取的植物油類與果蔬類食品種數(shù)之和是A．4

B．5

C．6

D．7參考答案：C略8.如果等差數(shù)列{an}中a3＋a4＋a5＝12，那么S7＝

（

）A．14B．21

C．28

D．35參考答案：C9.向量，，若，則λ=（）A．2 B．﹣2 C．﹣3 D．3參考答案：D【考點】9J：平面向量的坐標運算．【分析】根據(jù)平面向量的坐標運算與數(shù)量積運算，列出方程求出λ的值．【解答】解：向量，，則﹣=（﹣2，1），2+λ=（﹣2+λ，2），又，所以（﹣）?（2+λ）=﹣2（﹣2+λ）+1×2=0，解得λ=3．故選：D．10.數(shù)列｛an｝的通項公式為an＝4n－1，令bn＝，則數(shù)列｛bn｝的

前n項和為()A、n2

B、2n2＋4n

C、n2＋n

D、n2＋2n參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.雙曲線（p>0）的左焦點在拋物線y2＝2px的準線上，則該雙曲線的離心率

（

）A．1

B．

C．

D．2參考答案：B略12.中，是的中點，若，則

．參考答案：延長到,使,因為是的中點，所以是平行四邊形,因為,所以,,則,解得,所以.13.有一底面半徑為l，高為2的圓柱，點O為這個圓柱底面圓的圓心．在這個圓柱內(nèi)隨機取一點P，則點P到點O的距離大于1的概率為

.參考答案：14.下列四個幾何體中，每個幾何體的三視圖有且僅有兩個視圖的形狀相同的是

。

參考答案：②④15.已知向量，，滿足||=1，||=，+=（，1），則向量與的夾角是．參考答案：【考點】平面向量數(shù)量積的運算．

【專題】平面向量及應用．【分析】設向量與的夾角是θ，根據(jù)|+|===2，求得cosθ的值，可得θ的值．解：設向量與的夾角是θ，則=1××cosθ=cosθ，根據(jù)|+|====2，可得cosθ=0，∴θ=，故答案為：．【點評】本題主要考查兩個向量的數(shù)量積的定義，求向量的模，根據(jù)三角函數(shù)的值求角，屬于基礎題．16.已知雙曲線的一個頂點到它的一條漸近線的距離為，則m=

參考答案：417.計算：=．（i是虛數(shù)單位）參考答案：﹣i【考點】復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算；虛數(shù)單位i及其性質．【專題】數(shù)系的擴充和復數(shù)．【分析】由虛數(shù)單位i的運算性質化簡，然后利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡求值．【解答】解：=．故答案為：﹣i．【點評】本題考查了復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，是基礎的計算題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=（其中a≤2且a≠0），函數(shù)f（x）在點（1，f（1））處的切線過點（3，0）．（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；（Ⅱ）若函數(shù)f（x）與函數(shù)g（x）=a+2﹣x﹣的圖象在（0，2]有且只有一個交點，求實數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性；利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程．【專題】導數(shù)的綜合應用．【分析】（1）利用導數(shù)的幾何意義可得切線方程，對a分類討論、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性即可；（2）等價方程在（0，2]只有一個根，即x2﹣（a+2）x+alnx+2a+2=0在（0，2]只有一個根，令h（x）=x2﹣（a+2）x+alnx+2a+2，等價函數(shù)h（x）在（0，2]與x軸只有唯一的交點．由，對a分類討論、結合圖象即可得出．【解答】解：（1），∴f（1）=b，=a﹣b，∴y﹣b=（a﹣b）（x﹣1），∵切線過點（3，0），∴b=2a，∴，①當a∈（0，2]時，單調遞增，單調遞減，②當a∈（﹣∞，0）時，單調遞減，單調遞增．（2）等價方程在（0，2]只有一個根，即x2﹣（a+2）x+alnx+2a+2=0在（0，2]只有一個根，令h（x）=x2﹣（a+2）x+alnx+2a+2，等價函數(shù)h（x）在（0，2]與x軸只有唯一的交點，∴①當a＜0時，h（x）在x∈（0，1）遞減，x∈（1，2]的遞增，當x→0時，h（x）→+∞，要函數(shù)h（x）在（0，2]與x軸只有唯一的交點，∴h（1）=0或h（2）＜0，∴a=﹣1或．②當a∈（0，2）時，h（x）在遞增，的遞減，x∈（1，2]遞增，∵，當x→0時，h（x）→﹣∞，∵h（e﹣4）=e﹣8﹣e﹣4﹣2＜0，∴h（x）在與x軸只有唯一的交點，③當a=2，h（x）在x∈（0，2]的遞增，∵h（e﹣4）=e﹣8﹣e﹣4﹣2＜0，或f（2）=2+ln2＞0，∴h（x）在x∈（0，2]與x軸只有唯一的交點，故a的取值范圍是a=﹣1或或0＜a≤2．【點評】本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性極值與最值、導數(shù)的幾何意義，考查了恒成立問題的等價轉化方法，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．19.如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC，AB=AA1，∠A1AB=60°，D是AB的中點．（Ⅰ）求證：BC1∥平面A1CD；（Ⅱ）求證：AB⊥平面A1CD；（Ⅲ）若AB=AC=2，A1C=，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的體積．參考答案：【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積；直線與平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）連結AC1，A1C，交于點O，連結OD，推導出OD∥BC1，由此能證明BC1∥平面A1CD．（Ⅱ）連結A1B，推導出A1D⊥AB，DC⊥AB，由此能證明AB⊥平面A1CD．（Ⅲ）推導出A1D⊥平面ABC，由此能求出三棱柱ABC﹣A1B1C1的體積．【解答】證明：（Ⅰ）連結AC1，A1C，交于點O，連結OD，∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，ACC1A1是平行四邊形，∴O是AC1的中點，∵D是AB的中點，∴OD是△ABC1的中位線，∴OD∥BC1，∵BC1?平面A1CD，OD?平面A1CD，∴BC1∥平面A1CD．（Ⅱ）連結A1B，∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC，AB=AA1，∠A1AB=60°，D是AB的中點，∴△ABA1是等邊三角形，∴A1D⊥AB，DC⊥AB，∵A1D∩CD=D，∴AB⊥平面A1CD．解：（Ⅲ）∵AB=AC=2，，AC=BC，AB=AA1，∠A1AB=60°，D是AB的中點，∴AD=CD=，∴AD2+CD2=A1C2，∴A1D⊥CD，又A1D⊥AB，AB∩CD=D，∴A1D⊥平面ABC，∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的體積：V=S△ABC?A1D===3．20.（本小題滿分12分）如圖，多面體的直觀圖及三視圖如圖所示，分別

為的中點．

（1）求證：平面；

（2）求多面體的體積；

（3）求證：．參考答案：解析：（1）證明：由多面體的三視圖知，

三棱柱中,底面是等腰直

角三角形，，平面,

側面都是邊長為的正方形．

連結，則是的中點，

在△中，，

且平面，平面，

∴∥平面．

（2）因為平面，平面,

,

又⊥，所以，⊥平面，

∴四邊形是矩形,

且側面⊥平面

取的中點,,

且平面．

所以多面體的體積．

（3）∵平面，∥，

∴平面，

∴，

∵面是正方形，

∴，

∴，

∴．（本題也可以選擇用向量的方法去解決）21.．已知展開式的各項依次記為．設．（1）若的系數(shù)依次成等差數(shù)列，求的值；（2）求證：對任意，恒有.參考答案：（1）依題意，，的系數(shù)依次為，，，所以，解得；

………4分（2）設，則考慮到，將以上兩式相加得：所以又當時，恒成立，從而是上的單調遞增函數(shù)，所以對任意，．

………10分22.(本題滿分12分)已知函數(shù)f（x）＝2lnx+ax2－1（a∈R）(Ⅰ)求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；（Ⅱ）若a＝1，分別解答下面兩題，（i）若不等式f（1+x）+f（1－x）＜m對任意的0＜x＜1恒成立，求m的取值范圍；（ii）若x1，x2是兩個不相等的正數(shù)，且f（x1）+f（x2）＝0，求證x1+x2>2.參考答案：(Ⅰ)f(x)的定義域為，，

………………1分令，，

①當時，在恒成立，f(x)遞增區(qū)間是；

②當時，,又x>0,

遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是.

………4分（Ⅱ）