關(guān)于平面問(wèn)題極坐標(biāo)例題第1頁(yè)，講稿共79頁(yè)，2023年5月2日，星期三1、基本方程直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系xyo第2頁(yè)，講稿共79頁(yè)，2023年5月2日，星期三位移分量的關(guān)系問(wèn)題：逆關(guān)系？應(yīng)力分量的關(guān)系第3頁(yè)，講稿共79頁(yè)，2023年5月2日，星期三平衡微分方程

微元體的取法應(yīng)力的正負(fù)號(hào)切應(yīng)力互等第4頁(yè)，講稿共79頁(yè)，2023年5月2日，星期三

三個(gè)幾何方程第5頁(yè)，講稿共79頁(yè)，2023年5月2日，星期三

三個(gè)物理方程第6頁(yè)，講稿共79頁(yè)，2023年5月2日，星期三

應(yīng)力函數(shù)與用應(yīng)力分量表示的變形協(xié)調(diào)方程

(不計(jì)體力時(shí)）Where第7頁(yè)，講稿共79頁(yè)，2023年5月2日，星期三結(jié)論不計(jì)體力時(shí)，在極坐標(biāo)中求解平面問(wèn)題，就是要找到一個(gè)應(yīng)力函數(shù)，且按它求得的應(yīng)力分量滿足應(yīng)力邊界條件，對(duì)多連體，還需滿足位移單值條件。第8頁(yè)，講稿共79頁(yè)，2023年5月2日，星期三2厚壁筒問(wèn)題

對(duì)受內(nèi)壓和外壓的厚壁筒這類軸對(duì)稱問(wèn)題，應(yīng)力、應(yīng)變分布對(duì)稱于圓筒的中心軸線，任一點(diǎn)位移只有徑向分量和z方向分量，與角度無(wú)關(guān)。且由于垂直于oz軸的平面變形后仍為平面，固u只與ρ有關(guān)，w只與z有關(guān)。第9頁(yè)，講稿共79頁(yè)，2023年5月2日，星期三應(yīng)變分量為第10頁(yè)，講稿共79頁(yè)，2023年5月2日，星期三應(yīng)力分量為：應(yīng)力分量與角度無(wú)關(guān)第11頁(yè)，講稿共79頁(yè)，2023年5月2日，星期三平衡方程只有一個(gè)

用位移分量表示求出第12頁(yè)，講稿共79頁(yè)，2023年5月2日，星期三C1，C2為待定常數(shù)，由邊界條件確定，為此，先求出應(yīng)力分量第13頁(yè)，講稿共79頁(yè)，2023年5月2日，星期三邊界條件ab第14頁(yè)，講稿共79頁(yè)，2023年5月2日，星期三第15頁(yè)，講稿共79頁(yè)，2023年5月2日，星期三3半無(wú)限平面體問(wèn)題-鍥形體xyF應(yīng)力函數(shù)應(yīng)力分量第16頁(yè)，講稿共79頁(yè)，2023年5月2日，星期三邊界條件：如何寫？常數(shù)A由脫離體平衡條件確定：yFaaY方向合力自動(dòng)滿足X方向合力：x第17頁(yè)，講稿共79頁(yè)，2023年5月2日，星期三

半無(wú)限平面體問(wèn)題yxF第18頁(yè)，講稿共79頁(yè)，2023年5月2日，星期三應(yīng)力分量用直角坐標(biāo)系表示用x,y表示為：第19頁(yè)，講稿共79頁(yè)，2023年5月2日，星期三

相應(yīng)的位移按下列步驟求出：（2）代入幾何方程，（1）由物理方程求形變

對(duì)第一式積分，求出，含；

對(duì)第二式積分，求出，含；

第20頁(yè)，講稿共79頁(yè)，2023年5月2日，星期三

由對(duì)稱條件，代入第三式，分開(kāi)變量，求出和，得

（3）求剛體位移H,I,K。

x向無(wú)約束條件,I不能確定。

第21頁(yè)，講稿共79頁(yè)，2023年5月2日，星期三因剛體位移不能確定，用相對(duì)沉陷表示：

此解答用于基礎(chǔ)梁?jiǎn)栴}。地基一般為平面應(yīng)變問(wèn)題，故應(yīng)?。?）半平面體表面的沉陷,M點(diǎn)為

為基點(diǎn),s>>。

第22頁(yè)，講稿共79頁(yè)，2023年5月2日，星期三思考題1、試考慮書中的應(yīng)力解答(4-22)具有下列特點(diǎn)：在圖示直徑為OA=D的圓上，如圖，yxoFDAB都等于第23頁(yè)，講稿共79頁(yè)，2023年5月2日，星期三3、試考慮在下圖中，當(dāng)?shù)倪吔缟嫌芯級(jí)毫作用時(shí)，如何用量綱分析方法假設(shè)應(yīng)力的函數(shù)形式？

2、試考慮在下圖中，o點(diǎn)有外力偶M作用時(shí)，如何用量綱分析方法假設(shè)應(yīng)力的函數(shù)形式？

（答案：）（答案：）第24頁(yè)，講稿共79頁(yè)，2023年5月2日，星期三M第25頁(yè)，講稿共79頁(yè)，2023年5月2日，星期三4壩體應(yīng)力xyoM分別寫出直角坐標(biāo)系與極坐標(biāo)系下的邊界條件液體密度：壩體材料密度：第26頁(yè)，講稿共79頁(yè)，2023年5月2日，星期三極坐標(biāo)直角坐標(biāo)第27頁(yè)，講稿共79頁(yè)，2023年5月2日，星期三5圓孔孔邊應(yīng)力集中xy2aqq第28頁(yè)，講稿共79頁(yè)，2023年5月2日，星期三

工程結(jié)構(gòu)中常開(kāi)設(shè)孔口最簡(jiǎn)單的為圓孔。

本節(jié)研究‘小孔口問(wèn)題’，應(yīng)符合（1）孔口尺寸＜＜彈性體尺寸，孔口引起的應(yīng)力擾動(dòng)局限于小范圍內(nèi)。（2）孔邊距邊界較遠(yuǎn)（＞1.5倍孔口尺寸）孔口與邊界不相互干擾。當(dāng)彈性體開(kāi)孔時(shí)，在小孔口附近，將發(fā)生應(yīng)力集中現(xiàn)象。第29頁(yè)，講稿共79頁(yè)，2023年5月2日，星期三1.帶小圓孔的矩形板，四邊受均布拉力q，圖(a)。第30頁(yè)，講稿共79頁(yè)，2023年5月2日，星期三內(nèi)邊界條件為，將外邊界改造成為圓邊界，作則有

利用圓環(huán)的軸對(duì)稱解答，取

且R＞＞r，得應(yīng)力解答：

第31頁(yè)，講稿共79頁(yè)，2023年5月2日，星期三2.帶小圓孔的矩形板，x,y向分別受拉壓力，圖(b)。所以應(yīng)力集中系數(shù)為2。內(nèi)邊界條件為最大應(yīng)力發(fā)生在孔邊，

作圓，求出外邊界條件為

第32頁(yè)，講稿共79頁(yè)，2023年5月2日，星期三用半逆解法求得的應(yīng)力解答為：在孔邊，，最大、最小應(yīng)力為，應(yīng)力集中系數(shù)為。

第33頁(yè)，講稿共79頁(yè)，2023年5月2日，星期三3.帶小圓孔的矩形板，只受x向均布拉力q。第34頁(yè)，講稿共79頁(yè)，2023年5月2日，星期三應(yīng)用圖示疊加原理（此時(shí)令）得應(yīng)力解答:第35頁(yè)，講稿共79頁(yè)，2023年5月2日，星期三

討論：（1）孔邊應(yīng)力，

最大應(yīng)力3q

，最小應(yīng)力-q。第36頁(yè)，講稿共79頁(yè)，2023年5月2日，星期三（2)y軸上應(yīng)力，可見(jiàn)，距孔邊1.5D處，由于孔口引起的應(yīng)力擾動(dòng)<5%。第37頁(yè)，講稿共79頁(yè)，2023年5月2日，星期三（3）x軸上應(yīng)力，同樣，距孔邊1.5D處，由于孔口引起的應(yīng)力擾動(dòng)<5%。第38頁(yè)，講稿共79頁(yè)，2023年5月2日，星期三4.小孔口的應(yīng)力集中現(xiàn)象（1）集中性--孔口附近應(yīng)力>>遠(yuǎn)處的應(yīng)力，孔口附近應(yīng)力>>無(wú)孔時(shí)的應(yīng)力。（2）局部性--應(yīng)力集中區(qū)域很小，約在距孔邊1.5倍孔徑（D）范圍內(nèi)。此區(qū)域外的應(yīng)力擾動(dòng)，一般<5%。第39頁(yè)，講稿共79頁(yè)，2023年5月2日，星期三（3）凹角的角點(diǎn)應(yīng)力高度集中，曲率半徑愈小，應(yīng)力愈大。

因此，工程上應(yīng)盡量避免接近直交的凹角出現(xiàn)。

如正方孔的角點(diǎn)，角點(diǎn)曲率半徑第40頁(yè)，講稿共79頁(yè)，2023年5月2日，星期三5.一般小孔口問(wèn)題的分析：

（1）假設(shè)無(wú)孔，求出結(jié)構(gòu)在孔心處的、

、

。（2）求出孔心處主應(yīng)力

（3）在遠(yuǎn)處的均勻應(yīng)力場(chǎng)作用下，求出孔口附近的應(yīng)力。

第41頁(yè)，講稿共79頁(yè)，2023年5月2日，星期三

為便于工程上的應(yīng)用，下圖為遠(yuǎn)處為(壓應(yīng)力場(chǎng))作用下，橢圓類孔口的應(yīng)力分布情況。-43/2ba11-2.2312/3-1101-31第42頁(yè)，講稿共79頁(yè)，2023年5月2日，星期三例題1

試考察應(yīng)力函數(shù)

能解決圖中所示彈性體的何種受力問(wèn)題？

yxaa0第43頁(yè)，講稿共79頁(yè)，2023年5月2日，星期三解：本題應(yīng)按逆解法求解。

首先校核相容方程，是滿足的。

然后，代入應(yīng)力公式，求出應(yīng)力分量：第44頁(yè)，講稿共79頁(yè)，2023年5月2日，星期三再求出邊界上的面力：讀者可由此畫出邊界上的面力分布。第45頁(yè)，講稿共79頁(yè)，2023年5月2日，星期三

半平面體表面受有均布水平力q，試用應(yīng)力函數(shù)求解應(yīng)力分量。例題2第46頁(yè)，講稿共79頁(yè)，2023年5月2日，星期三

解：首先檢驗(yàn)，已滿足。由求應(yīng)力，代入應(yīng)力公式得第47頁(yè)，講稿共79頁(yè)，2023年5月2日，星期三

再考察邊界條件。注意本題有兩個(gè)面,即，分別為面。在面上，應(yīng)力符號(hào)以正面正向、負(fù)面負(fù)向?yàn)檎Ｒ虼?，有代入公式，得?yīng)力解答，第48頁(yè)，講稿共79頁(yè)，2023年5月2日，星期三設(shè)半平面體在直邊界上受有集中力偶，單位寬度上的力矩為M，試求應(yīng)力分量。例題3第49頁(yè)，講稿共79頁(yè)，2023年5月2日，星期三

（2）將代入相容方程，得

（1）應(yīng)比應(yīng)力的長(zhǎng)度量綱高2次冪，可假設(shè)。刪去因子，得一個(gè)關(guān)于的常微分方程。令其解為，代入上式，可得到一個(gè)關(guān)于的特征方程，第50頁(yè)，講稿共79頁(yè)，2023年5月2日，星期三其解為于是得的四個(gè)解

；前兩項(xiàng)又可以組合為正弦、余弦函數(shù)。由此得本題中結(jié)構(gòu)對(duì)稱于的軸，而是反對(duì)稱荷載，因此，應(yīng)力應(yīng)反對(duì)稱于軸，為的奇函數(shù)，從而得

第51頁(yè)，講稿共79頁(yè)，2023年5月2日，星期三

（5）考察邊界條件。由于原點(diǎn)o有集中力偶作用，應(yīng)分別考察大邊界上的條件和原點(diǎn)附近的條件。

在的邊界上，有（4）由求得應(yīng)力分量，第52頁(yè)，講稿共79頁(yè)，2023年5月2日，星期三

為了考慮原點(diǎn)o附近有集中力偶的作用，取出以o為中心，為半徑的一小部分脫離體，并列出其平衡條件，前一式自然滿足，而第二式成為(a)第53頁(yè)，講稿共79頁(yè)，2023年5月2日，星期三上式中前兩式自然滿足，而第三式成為再由式（a）得出(b)代入應(yīng)力公式，得最后的應(yīng)力解答，第54頁(yè)，講稿共79頁(yè)，2023年5月2日，星期三

設(shè)有厚度為1的無(wú)限大薄板，在板內(nèi)小孔中受集中力F，試用如下的應(yīng)力函數(shù)求解，例題4

xy0F第55頁(yè)，講稿共79頁(yè)，2023年5月2日，星期三（1）經(jīng)校核，上述滿足相容方程。

解：（2）代入應(yīng)力公式，得第56頁(yè)，講稿共79頁(yè)，2023年5月2日，星期三

（3）考察邊界條件。本題只有原點(diǎn)o附近的小孔口上作用有集中力F，可取出包含小孔口在內(nèi)的、半徑為的脫離體，列出其3個(gè)平衡條件：第57頁(yè)，講稿共79頁(yè)，2023年5月2日，星期三將應(yīng)力代入上式，其中第二、三式自然滿足，而第一式得出(a)第58頁(yè)，講稿共79頁(yè)，2023年5月2日，星期三

（4）由此可見(jiàn)，考慮了邊界條件后還不足以確定待定常數(shù)。注意到本題是多連體，應(yīng)考慮位移的單值條件。因此，先求出應(yīng)變分量，再積分求出位移分量，然后再考慮單值條件。

第59頁(yè)，講稿共79頁(yè)，2023年5月2日，星期三

由物理方程求出應(yīng)變分量，第60頁(yè)，講稿共79頁(yè)，2023年5月2日，星期三代入幾何方程，得由前兩式積分，得第61頁(yè)，講稿共79頁(yè)，2023年5月2日，星期三將代入第三式，并分開(kāi)變量，得第62頁(yè)，講稿共79頁(yè)，2023年5月2日，星期三

為了使上式在區(qū)域內(nèi)任意的都成立，兩邊都必須等于同一常數(shù)G。這樣，得到兩個(gè)常微分方程，由式（b）解出(b)第63頁(yè)，講稿共79頁(yè)，2023年5月2日，星期三將式（c）對(duì)求導(dǎo)一次，再求出再將上式的代入，得顯然，式（d）中第二項(xiàng)是多值項(xiàng)。為了保證位移的單值性，必須(d)(e)第64頁(yè)，講稿共79頁(yè)，2023年5月2日，星期三將式（a）代入上式，得

將式（a）、（f）代入應(yīng)力公式，得無(wú)限大薄板在小孔口受集中力F的解答：第65頁(yè)，講稿共79頁(yè)，2023年5月2日，星期三圓盤的直徑為d，在一直徑AB的兩端點(diǎn)受到一對(duì)大小相同，方向相反的集中力F的作用，試求其應(yīng)力。例題5第66頁(yè)，講稿共79頁(yè)，2023年5月2日，星期三解：本題可應(yīng)用半平面體受鉛直集中力的解答，進(jìn)行疊加而得出。

（a）假設(shè)GH以下為半平面體，在A點(diǎn)的F作用下，第67頁(yè)，講稿共79頁(yè)，2023年5月2日，星期三

（b）假設(shè)IJ以上為半平面體，在B點(diǎn)的F作用下，類似地得出

（c）對(duì)于圓周上的點(diǎn)M，分別作用且，并有顯然，在圓周上有第68頁(yè)，講稿共79頁(yè)，2023年5月2日，星期三

因此，圓盤在對(duì)徑受壓時(shí)，其應(yīng)力解是

(a),(b),(c)三部分解答之和。

兩者合成為圓周上的法向分布?jí)毫榱讼龍A周上的分布?jí)毫?，?yīng)在圓周上施加分布拉力其對(duì)應(yīng)的應(yīng)力分量為第69頁(yè)，講稿共79頁(yè)，2023年5月2日，星期三由于最大壓應(yīng)力發(fā)生在圓盤的中心，得到CD線上的應(yīng)力分量

現(xiàn)在來(lái)計(jì)算水平直徑CD線上的值。對(duì)于N點(diǎn)，設(shè)