2.2.2向量的正交分解與向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算高一數(shù)學(xué)組

如果e1和

e2是一平面內(nèi)的兩個不平行的向量，那么該平面內(nèi)的任一向量a，存在唯一的一對實(shí)數(shù)a1,a2

使a=a1e1+a2e2.平面向量基本定理:向量的基底:

不共線向量e1,e2

叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底記為.向量的線性運(yùn)算：向量的加法，減法，數(shù)乘運(yùn)算1.掌握平面向量正交分解及其坐標(biāo)表示

.

2.會用坐標(biāo)表示平面向量的加、減與數(shù)乘向量運(yùn)算.

（重點(diǎn)）3.會用向量的坐標(biāo)表示解決簡單的問題（難點(diǎn)）

類似地，由平面向量的分解定理，對于平面上的任意向量，均可以分解為不共線的兩個向量和，使得

.a→11λa→22λa→=a→11λa→+22λa→向量的直角坐標(biāo)1.如果兩個向量的基線互相垂直，則稱這兩個向量互相垂直。2.如果兩個基向量互相垂直,則稱{}為正交基底,在正交基底下的分解為正交分解。探究1

平面向量的直角坐標(biāo)

思考：我們知道，在平面直角坐標(biāo)系中，每一個點(diǎn)都可用一對有序?qū)崝?shù)（即它的坐標(biāo)）表示，直角坐標(biāo)平面內(nèi)的每一個向量，如何表示？問題1:以點(diǎn)O為始點(diǎn)，點(diǎn)P為終點(diǎn)的向量能否用坐標(biāo)表示？如何表示？Pyxo向量的坐標(biāo)表示向量

P（x

，y）向量坐標(biāo)與點(diǎn)坐標(biāo)一一對應(yīng)yx

在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，始點(diǎn)不在坐標(biāo)原點(diǎn)O的向量如何用坐標(biāo)來表示?問題2:oxy可通過向量的平移，將向量的始點(diǎn)移到坐標(biāo)的原點(diǎn)O處.解決方案:平面向量的坐標(biāo)表示分別取與x軸和y軸方向相同的兩個單位向量

，作為基底,在坐標(biāo)平面xOy內(nèi)，對任一向量，其中，叫做在x軸上的坐標(biāo)分量，叫做在y軸上的坐標(biāo)分量。有且只有一對實(shí)數(shù),，使=(,)（，）叫做向量a的坐標(biāo).①OxyaA(,)（）xy,,.1長度如圖所示.分別求它們的坐標(biāo).的方向和中，向量在直角坐標(biāo)系例cbaxOyO探究2

平面向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算設(shè)a

，b

，則

a+b=a+ba-b兩個向量和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差

數(shù)乘向量的積的坐標(biāo)等于數(shù)乘以向量相應(yīng)坐標(biāo)的積．

練習(xí)：已知=(2,1),

=(-3,4),求+,-,3+4的坐標(biāo)。例2.已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，求向量坐標(biāo)和線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)結(jié)論：一個向量的坐標(biāo)等于向量終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo).線段中點(diǎn)的坐標(biāo)計算公式（簡稱中點(diǎn)公式）練一練：求下列各點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對稱點(diǎn)：A（2,3）B（-3,5）C（-2，-4）D（3，-5）例3.已知ABCD的三個頂點(diǎn)A（-2，1），B（-1，3），C（3，4），求頂點(diǎn)D的坐標(biāo)(如圖).ABCDxyO所以頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，2）.思考與討論：若將例3改為：已知平行四邊形三個頂點(diǎn)A（-2，1），B（-1，3），C（3，4），求頂點(diǎn)D的坐標(biāo)。又將如何求？課堂訓(xùn)練1.求點(diǎn)A（-2，3），B（3，5）關(guān)于點(diǎn)M（1