第五章 三角函數(shù)5.5

三角恒等變換5.5.1 兩角和與差的正弦、余弦和正切公式第3課時 兩角和與差的正切公式學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.能利用兩角和與差的正弦、余弦公式推導(dǎo)出兩角和與差的正切公式.1.通過利用公式進行化簡、證明等2.能利用兩角和與差的正切公式進行化簡、求值、證明．(重點)

3.熟悉兩角和與差的正切公式的常見變形，并能靈活應(yīng)用．(難點)問題，培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng).2.借助公式進行求值，提升數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).自

主

預(yù)習(xí)探

新知

tan

α＋tan

β

1－tan

αtanβ

tan

α－tan

β

1＋tan

αtanβ

tanα＋tanβC

[∵tan(α＋β)＝1－tan

αtan

β＝4，且tanα＋tan

β＝2，∴21－tan

αtanβ＝4，解得tanαtan1β＝2.]122．求值：tan11π＝.－2＋

3

[tan

11π

＝－tan

π

＝12

12－tan

－π

π4

6＝－πtanπ－tan4

6π1＋tan4tan6π＝－1－

3331＋

3＝－2＋

3.]3．已知tan

α＝2，則tanα＋

π

4＝

.－3

[tanα＋

π

4＝πtan

α＋tan41－tan

αtanπ4＝

2＋1

11－2×

＝－3.]tan

75°－tan15°4.

＝.3

[原式＝tan(75°－15°)＝tan1＋tan75°tan

15°60°＝

3.]合

作

探究提

素養(yǎng)兩角和與差的正切公式的正用π(1)41(2)7[(1)∵tan

α＝1，tan

β＝1，2

3∴tan(α＋β)＝1－tan

αtanβ＝1＋1

tan

α＋tan

β

2

3

11－2×31＝1.∵α，β均為銳角，∴α＋β∈(0，π)，π∴α＋β＝4.(2)∵AD⊥BC且BD∶CD∶AD＝2∶3∶6，∴tan∠BAD＝BD1AD＝3，CD

1tan∠CAD＝AD＝2，tan∠BAC＝tan(∠CAD－∠BAD)＝

tan∠CAD－tan∠BAD

＝1＋tan∠CADtan∠BAD1

12－31

11＋2×31＝7.]3

5π

1(1)2

(2)3

[(1)因為tanα－4

＝5，所以tan

α＝tanα－4＋5π

5π4＝tanα－5π

tan

5π4

＋451＋15π

5π＝

11－tanα－

4

tan

4

1－5×13＝2.5(2)因為cos

α＝3，α為銳角，所以sinα4

4＝5，tan

α＝3，所以tan

β＝tan[α－(α－β)]＝

tan

α－tan(α－β)1＋tan

αtan(α－β)＝43

－－

1

3431＋

×－

1

3＝3.]兩角和與差的正切公式的逆用(1)

3

(2)－1

[(1)原式＝

tan45°＋tan

15°1－tan

45°tan15°＝tan(45°＋15°)＝tan

60°＝

3.3－tan

75°(2)原式＝

3

31＋ 3tan

75°tan

30°－tan75°

＝1＋tan

30°tan75°＝tan(30°－75°)＝－tan

45°＝－1.]A

[∵sin

2α＝2sin

2β，∴sin[(α＋β)＋(α－β)]＝2sin[(α＋β)－(α－β)]，∴sin(α＋β)cos(α－β)＋cos(α＋β)sin(α－β)＝2sin(α＋β)cos(α－β)－2cos(α＋β)sin(α－β)，∴sin(α＋β)cos(α－β)＝3cos(α＋β)sin(α－β)，兩邊同除以cos(α－β)cos(α＋β)得tan(α＋β)＝3tan(α－β)．]提示：揭示了tan

αtan

β與tan

α＋tan

β，tan

αtan

β與tan

α－tan

β之間的關(guān)系．2．若tan

α、tan

β是關(guān)于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)的兩個根，則如何用a、b、c表示tan(α＋β)?

tan

α＋tan

β提示：tan(α＋β)＝1－tan

αtan

β＝b－a1－abcc＝－a－

.兩角和與差的正切公式的變形運用【例3】

(1)tan

67°－tan

22°－tan

67°tan

22°＝

.(2)已知△ABC中，tan

B＋tan

C＋3tan

Btan

C＝

3，且3tan

A＋3tan

B＝tan

Atan

B－1，試判斷△ABC的形狀．[思路點撥]

(1)看到tan

67°－tan

22°與tan

67°tan

22°想到將tan(67°－22°)展開變形，尋找解題思路．(2)先由關(guān)于角A，B的等式求出tan(A＋B)得角A＋B，然后求角C并代入關(guān)于角B，C的等式求角B，最后求角A，判斷△ABC的形狀．(1)1

[∵tan

67°－tan

22°＝tan(67°－22°)(1＋tan

67°tan

22°)＝tan

45°(1＋tan

67°tan

22°)＝1＋tan

67°tan

22°，∴tan

67°－tan

22°－tan

67°tan

22°＝1＋tan

67°tan

22°－tan

67°tan

22°＝1.](2)[解]

∵

3tan

A＋

3tan

B＝tan

Atan

B－1，∴

3(tan

A＋tan

B)＝tan

Atan

B－1，1－tan

Atan

Btan

A＋tan

B∴

＝－33

3，∴tan(A＋B)＝－

3

.6π又0＜A＋B＜π，∴A＋B＝5π

C＝

.，∴

63∵tan

B＋tan

C＋

3tan

Btan

C＝

3，tan

C＝

3，∴tan

B＋ 3＋tan

B＝

3，tan

B＝

3，3

3π

2π∴B＝6，∴A＝

3

，∴△ABC為等腰鈍角三角形．1＋tan

68°tan

23°[解]

∵tan

45°＝tan(68°－23°)＝

tan

68°－tan

23°

，∴1＋tan

68°tan

23°＝tan

68°－tan

23°，即tan

68°－tan

23°－tan

68°tan

23°＝1.2．能否為例3(1)和探究1歸納出一個一般結(jié)論？若能，試證明．[解]

一般結(jié)論：若α－β＝45°(α，β≠k×180°＋90°，k∈Z)，則tan

α－tan

β－tan

αtan

β＝1.

tan

α－tan

βtan

αtan

β，證明：∵tan

45°＝tan(α－β)＝1＋∴1＋tan

αtan

β＝tan

α－tan

β，即tan

α－tan

β－tan

αtan

β＝1.2．熟知變形：兩角和的正切公式的常見四種變形：(1)tan

α＋tan

β＝tan(α＋β)(1－tan

αtan

β)；tan

α＋tan

β1－tan

αtan

β＝

tan(α＋β)

；tan

α＋tan

β＋tan

α·tan

β·tan(α＋β)＝tan(α＋β)；(4)tan

α·tan

β＝1－tan

α＋tan

β.tan(α＋β)提醒：當(dāng)一個式子中出現(xiàn)兩角正切的和或差時，?？紤]使用兩角和或差的正切公式．當(dāng)

堂

達(dá)標(biāo)固

雙基1．思考辨析(1)存在α，β∈R，使tan(α＋β)＝tan

α＋tan

β成立．()

tan

α＋tan

β(2)對任意α，β∈R，tan(α＋β)＝1－tan

αtan

β都成立．(

)1－tan

αtan

β(3)tan(α＋β)＝

tan

α＋tan

β

等價于tan

α＋tan

β＝tan(α＋β)·(1－tanαtan

β)．(

)π3

π

3[提示]

(1)√.當(dāng)α＝0，β＝

時，tan(α＋β)＝tan0＋

＝tan

0＋tan3π，但一般情況下不成立．2(2)×.兩角和的正切公式的適用范圍是α，β，α＋β≠kπ＋π

k∈Z)．((3)√.當(dāng)α≠kπ＋π(k∈Z)，β≠kπ＋π(k∈Z)，α＋β≠kπ＋(k∈Z)時，π2

2

2由前一個式子兩邊同乘以1－tan

αtan

β可得后一個式子．[答案]

(1)√

(2)×

(3)√2．若tanβ＝3，tan(α－β)＝－2，則tanα＝(

)A.1

B．－17

7C．1

D．－1A

[tan

α＝tan[(α－β)＋β]＝

tan(α－β)＋tan

β

－2＋3

1－tan(α－β)tan

β＝

－(－2)×3＝171.]3．若tanπ

3－α＝3，則tan

α的值為．6－5

313[tanα